Carlesonsova věta - Carlesons theorem - Wikipedia

Carlesonova věta je zásadním výsledkem v matematická analýza kterým se zřizuje bodově (Lebesgue ) téměř všude konvergence z Fourierova řada z L² funkce, prokázáno Lennart Carleson  (1966 ). Název se také často používá k označení rozšíření výsledku o Richard Hunt  (1968 ) až L^p funkce pro p ∈ (1, ∞] (také známý jako Carleson – Huntova věta) a analogické výsledky pro bodovou konvergenci téměř všude Fourierovy integrály, které lze prokázat jako rovnocenné metodami přenosu.

Výrok věty

Výsledek v podobě jeho rozšíření Huntem lze formálně uvést následovně:

Nechat ƒ být L^p periodická funkce pro některé p ∈ (1, ∞], s Fourierovy koeficienty ${ displaystyle { hat {f}} (n)}$. Pak

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} sum _ {| n | leq N} { hat {f}} (n) e ^ {inx} = f (x)}$

téměř pro každéhoX.

Analogický výsledek pro Fourierovy integrály lze formálně uvést následovně:

Nechat ƒ ∈ L^p(R) pro některé p ∈ (1, 2] mít Fourierova transformace ${ displaystyle { hat {f}} ( xi)}$. Pak

${ displaystyle lim _ {R rightarrow infty} int _ {| xi | leq R} { hat {f}} ( xi) e ^ {2 pi ix xi} , d xi = f (x)}$

pro skoro každý X ∈ R.

Dějiny

Základní otázkou týkající se Fourierovy řady položenou samotným Fourierem na počátku 19. století je, zda konverguje Fourierova řada spojité funkce bodově k funkci.

Mírným posílením předpokladu kontinuity lze snadno ukázat, že Fourierova řada konverguje všude. Například pokud má funkce ohraničená variace pak jeho Fourierova řada konverguje všude k místnímu průměru funkce. Zejména pokud je funkce kontinuálně diferencovatelná, pak její Fourierova řada k ní konverguje všude. To dokázal Dirichlet, který vyjádřil přesvědčení, že bude brzy schopen rozšířit svůj výsledek tak, aby pokryl všechny nepřetržité funkce. Dalším způsobem, jak získat konvergenci všude, je změnit metodu sčítání. Například, Fejérova věta ukazuje, že pokud nahradíme obyčejný součet znakem Cesàro součet pak Fourierova řada jakékoli spojité funkce konverguje rovnoměrně k funkci. Dále je snadné ukázat, že Fourierova řada jakýchkoli L² funkce k tomu konverguje L² norma.

Po Dirichletově výsledku uvedlo několik odborníků, včetně Dirichleta, Riemanna, Weierstrassa a Dedekinda, své přesvědčení, že Fourierova řada jakékoli spojité funkce se bude sbíhat všude. Toto bylo vyvráceno uživatelem Paul du Bois-Reymond, který v roce 1876 ukázal, že existuje spojitá funkce, jejíž Fourierova řada se v jednom bodě rozchází.

Téměř všude konvergence Fourierovy řady pro L² funkce postuloval N. N. Luzin  (1915 ) a problém byl znám jako Luzinova domněnka (až do jeho prokázání Carleson (1966) ). Kolmogorov (1923) ukázal, že analogie Carlesonova výsledku pro L¹ je nepravdivé, když se najde taková funkce, jejíž Fourierova řada se rozchází téměř všude (v roce 1926 se mírně zlepšila a rozchází se všude). Před Carlesonovým výsledkem je nejznámější odhad částečných součtů s_n Fourierovy řady funkce v L^p byl

${ displaystyle s_ {n} (x) = o ( log (n) ^ {1 / p}) { text {téměř všude}}, ,}$

prokázal Kolmogorov – Seliverstov – Plessner pro p = 2, podle G. H. Hardy pro p = 1, a Littlewood – Paley pro p > 1 (Zygmund 2002 ). Tento výsledek nebyl vylepšen po několik desetiletí, což vedlo některé odborníky k podezření, že to bylo nejlepší možné a že Luzinova domněnka byla falešná. Kolmogorovův protiklad L¹ byl neomezený v jakémkoli intervalu, ale předpokládalo se, že je jen otázkou času, než bude nalezen souvislý protiklad. Carleson řekl v rozhovoru s Raussen & Skau (2007) že začal tím, že se pokusil najít souvislý protipříklad, a v jednu chvíli si myslel, že má metodu, která by ho mohla postavit, ale nakonec si uvědomil, že jeho přístup nemůže fungovat. Poté se místo toho pokusil dokázat Luzinovu domněnku, protože neúspěch jeho protikladu ho přesvědčil, že je to pravděpodobně pravda.

Carlesonův původní důkaz je výjimečně těžko čitelný, a ačkoli několik autorů argument zjednodušilo, stále neexistují jednoduché důkazy o jeho teorém. Carleson (1966) zahrnout Kahane (1995), Mozzochi (1971), Jørsboe & Mejlbro (1982), a Arias de Reyna (2002).Charles Fefferman  (1973 ) zveřejnil nový důkaz o Huntově prodloužení, který pokračoval ohraničením a maximální operátor. To zase inspirovalo mnohem zjednodušený důkaz L² výsledek od Michael Lacey a Christoph Thiele (2000 ), podrobněji vysvětleno v Lacey (2004). Knihy Fremlin (2003) a Grafakos (2009) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFGrafakos2009 (Pomoc) také podejte důkazy Carlesonovy věty.

Katznelson (1966) ukázal, že pro libovolnou množinu míry 0 existuje spojitá periodická funkce, jejíž Fourierova řada se rozchází ve všech bodech množiny (a případně i jinde). V kombinaci s Carlesonovou větou to ukazuje, že existuje spojitá funkce, jejíž Fourierova řada se odchyluje ve všech bodech dané množiny realit právě tehdy, má-li množina míru 0.

Rozšíření Carlesonovy věty na L^p pro p > 1 bylo uvedeno jako „dosti zřejmé“ rozšíření případu p = 2 v novinách Carlesona a bylo prokázáno Hunt (1968). Carlesonův výsledek byl dále vylepšen oSjölin (1971) do vesmíru Llog₊(L) log₊log₊(L) a Antonov (1996) do vesmíru Llog₊(L) log₊log₊log₊(L). (Zde se přihlaste₊(L) je log (L) pokud L> 1 a 0 jinak, a pokud φ je funkce, pakφ (L) znamená prostor funkcí F takové, že φ (|F(X) |) je integrovatelný.)

Konyagin (2000) vylepšil Kolmogorovův protiklad tím, že našel funkce s všude divergentní Fourierovou řadou v prostoru o něco větším než Llog₊(L)^1/2Lze se zeptat, zda existuje v určitém smyslu největší přirozený prostor funkcí, jejichž Fourierovy řady se sbíhají téměř všude. Nejjednodušší kandidát na takový prostor, který odpovídá výsledkům Antonova a Konyagina, je Llog₊(L).

Rozšíření Carlesonovy věty na Fourierovu řadu a integrály v několika proměnných je komplikovanější, protože existuje mnoho různých způsobů, jak lze sečíst koeficienty; například lze shrnout zvětšování koulí nebo zvětšení obdélníků. Konvergence pravoúhlých částečných součtů (a skutečně obecných polygonálních částečných součtů) vyplývá z jednorozměrného případu, ale problém sférického součtu je stále otevřený pro L².

Provozovatel Carleson

Provozovatel Carleson C je nelineární operátor definovaný

${ displaystyle Cf (x) = sup _ {N} vlevo | int _ {- N} ^ {N} { hat {f}} (y) e ^ {2 pi ixy} , dy vpravo |}$

Je poměrně snadné ukázat, že Carlesonova-Huntova věta vyplývá z omezenost operátora Carleson z L^p(R) k sobě za 1 <p <∞. Dokázat, že je to omezené, je však obtížné, a to Carleson ve skutečnosti dokázal.

Viz také

• Konvergence Fourierových řad

Reference

• Antonov, N. Yu. (1996), „Konvergence Fourierových řad“, East Journal o aproximacích, 2 (2): 187–196, PAN  1407066
• Arias de Reyna, Juan (2002), Bodová konvergence Fourierovy řadyPřednášky z matematiky, 1785, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / b83346, ISBN  978-3-540-43270-8, PAN  1906800
• Carleson, Lennart (1966), „O konvergenci a růstu dílčích součtů Fourierových řad“, Acta Mathematica, 116 (1): 135–157, doi:10.1007 / BF02392815, PAN  0199631
• Fefferman, Charles (1973), „Bodová konvergence Fourierovy řady“, Annals of Mathematics, Druhá série, 98 (3): 551–571, doi:10.2307/1970917, JSTOR  1970917, PAN  0340926
• Fremlin, David H. (2003), Teorie měření, 2Torres Fremlin, Colchester, ISBN  978-0-9538129-2-9, PAN  2462280, archivovány z originál dne 01.11.2010, vyvoláno 2010-09-09
• Grafakos, Loukas (2014). Klasická Fourierova analýza. Postgraduální texty z matematiky. 249 (Třetí vydání.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4939-1194-3. ISBN  978-1-4939-1193-6. PAN  3243734.
• Grafakos, Loukas (2014). Moderní Fourierova analýza. Postgraduální texty z matematiky. 250 (Třetí vydání.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4939-1230-8. ISBN  978-1-4939-1229-2. PAN  3243741.
• Hunt, Richard A. (1968), „O konvergenci Fourierových řad“, Ortogonální expanze a jejich spojité analogy Proc. Conf., Edwardsville, Ill., 1967, Carbondale, Ill.: Southern Illinois Univ. Press, str. 235–255, PAN  0238019
• Jørsboe, Ole G .; Mejlbro, Leif (1982), Carleson-Huntova věta o Fourierově sériiPřednášky z matematiky, 911, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0094072, ISBN  978-3-540-11198-6, PAN  0653477
• Kahane, Jean-Pierre (1995), „Sommes partielles des séries de Fourier (d'après L. Carleson)“, Seminář Bourbaki, 9, Paříž: Société Mathématique de France, str. 491–507, PAN  1610981
• Katznelson, Yitzhak (1966), „Sur les ensembles de divergence des séries trigonométriques“, Studia Mathematica, 26 (3): 301–304, doi:10,4064 / sm-26-3-305-306, PAN  0199632
• Kolmogorov, Andrej Nikolajevič (1923), „Une série de Fourier – Lebesgue divergente presque partout“, Fundamenta Mathematicae, 4: 324–328, doi:10,4064 / fm-4-1-324-328
• Konyagin, S. V. (2000), „O divergenci všude v trigonometrické Fourierově řadě“, Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Matematicheskii Sbornik, 191 (1): 103–126, Bibcode:2000SbMat.191 ... 97K, doi:10.1070 / sm2000v191n01abeh000449, PAN  1753494
• Lacey, Michael T. (2004), „Carlesonova věta: důkaz, doplňky, variace“, Publikace Matemàtiques, 48 (2): 251–307, arXiv:matematika / 0307008, doi:10.5565 / publmat_48204_01, PAN  2091007
• Lacey, Michael; Thiele, Christoph (2000), „Důkaz omezenosti operátora Carleson“, Dopisy o matematickém výzkumu, 7 (4): 361–370, doi:10.4310 / mrl.2000.v7.n4.a1, PAN  1783613, archivovány z originál dne 2008-07-05
• Luzin, N.N. (1915), Integrální a trigonometrická řada (v ruštině), Moskva-Leningrad (Diplomová práce; také: Collected Works, sv. 1, Moskva, 1953, s. 48–212)
• Mozzochi, Charles J. (1971), O bodové konvergenci Fourierových řad, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 199, 199, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0061167, ISBN  978-3-540-05475-7, PAN  0445205 „Tato monografie je podrobným a v zásadě samostatným zpracováním díla Carlesona a Hunta.“
• Raussen, Martin; Skau, Christian (2007), „Rozhovor s příjemcem ceny Abela Lennartem Carlesonem“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 54 (2): 223–229, PAN  2285126
• Sjölin, Per (1971), „Konvergence téměř všude určitých singulárních integrálů a více Fourierových řad“, Pro Matematik, 9 (1–2): 65–90, Bibcode:1971ArM ..... 9 ... 65S, doi:10.1007 / BF02383638, PAN  0336222
• Telyakovskii, S.A. (2001) [1994], „Carlesonova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometrická řada. Sv. I, II, Cambridge Mathematical Library (3. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-89053-3, PAN  1963498