Parsevalsova věta - Parsevals theorem - Wikipedia

v matematika, Parsevalova věta^[1] obvykle odkazuje na výsledek, který Fourierova transformace je unitární; volně, že součet (nebo integrál) čtverce funkce se rovná součtu (nebo integrálu) čtverce její transformace. Vychází z věty z roku 1799 o série podle Marc-Antoine Parseval, který byl později aplikován na Fourierova řada. Je také známý jako Rayleighova energetická větanebo Rayleighova identita, po John William Strutt, Lord Rayleigh.^[2]

Ačkoli termín “Parsevalova věta” je často používán k popisu unitarity žádný Fourierova transformace, zejména v fyzika, nejobecnější forma této vlastnosti se vhodněji nazývá Plancherelův teorém.^[3]

Prohlášení o Parsevalově větě

Předpokládejme to ${ displaystyle A (x)}$ a ${ displaystyle B (x)}$ jsou dvě funkce se složitou hodnotou ${ displaystyle mathbb {R}}$ období ${ displaystyle 2 pi}$ to jsou čtvercový integrovatelný (s respektem k Lebesgueovo opatření ) v intervalech délky období, s Fourierova řada

{ displaystyle A (x) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} e ^ {inx}}

a

{ displaystyle B (x) = součet _ {n = - infty} ^ { infty} b_ {n} e ^ {inx}}

resp. Pak

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} { overline {b_ {n}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} A (x) { overline {B (x)}} , mathrm {d} x,}

(Rovnice 1)

kde ${ displaystyle i}$ je imaginární jednotka a vodorovné pruhy označují komplexní konjugace.

Obecněji řečeno, vzhledem k abelian lokálně kompaktní skupina G s Pontryagin dual G ^, Parsevalova věta říká, že Pontryagin – Fourierova transformace je unitární operátor mezi Hilbertovými prostory L²(G) a L²(G ^) (s integrací v rozporu s patřičným měřítkem.) Haarova opatření na dvou skupinách.) Kdy G je jednotkový kruh T, G ^ je celá čísla, a to je případ, který byl popsán výše. Když G je skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ , G ^ je také ${ displaystyle mathbb {R}}$ a unitární transformace je Fourierova transformace na skutečné linii. Když G je cyklická skupina Z_nje opět sebe-duální a nazývá se Pontryagin-Fourierova transformace diskrétní Fourierova transformace v aplikovaných kontextech.

Parsevalovu větu lze také vyjádřit následovně: Předpokládejme ${ displaystyle f (x)}$ je funkce integrovatelná do čtverce ${ displaystyle [- pi, pi]}$ (tj., ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle f ^ {2} (x)}$ jsou integrovatelné v tomto intervalu) s Fourierovou řadou

{ displaystyle f (x) simeq { frac {a_ {0}} {2}} + součet _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} cos (nx) + b_ {n } sin (nx)).}

Pak^[4]^[5]^[6]

{ displaystyle { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f ^ {2} (x) , mathrm {d} x = { frac {a_ { 0} ^ {2}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}).}

Zápis používaný ve fyzice

v fyzika a inženýrství, Parsevalova věta se často píše jako:

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | x (t) | ^ {2} , mathrm {d} t = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} | X ( omega) | ^ {2} , mathrm {d} omega = int _ {- infty} ^ { infty} | X (2 pi f) | ^ {2} , mathrm {d} f}

kde ${ displaystyle X ( omega) = { mathcal {F}} _ { omega} {x (t) }}$ představuje spojitá Fourierova transformace (v normalizované, jednotné formě) ${ displaystyle x (t)}$ , a ${ displaystyle omega = 2 pi f}$ je frekvence v radiánech za sekundu.

Interpretace této formy věty je totální energie signálu lze vypočítat sečtením výkonu na vzorek v čase nebo spektrálního výkonu na frekvenci.

Pro diskrétní čas signály, věta se stává:

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} | x [n] | ^ {2} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} | X_ {2 pi} ({ phi}) | ^ {2} mathrm {d} phi}

kde ${ displaystyle X_ {2 pi}}$ je diskrétní Fourierova transformace (DTFT) z ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle phi}$ představuje úhlová frekvence (v radiány na vzorek) z ${ displaystyle x}$ .

Alternativně pro diskrétní Fourierova transformace (DFT) se vztah stává:

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N-1} | x [n] | ^ {2} = { frac {1} {N}} sum _ {k = 0} ^ {N- 1} | X [k] | ^ {2}}

kde ${ displaystyle X [k]}$ je DFT z ${ displaystyle x [n]}$ , obě délky ${ displaystyle N}$ .

Viz také

Parsevalova věta úzce souvisí s dalšími matematickými výsledky zahrnujícími unitární transformace:

Poznámky

^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants “představený před Académie des Sciences (Paříž) dne 5. dubna 1799. Tento článek byl publikoval v Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), sv. 1, strany 638–648 (1806).
^ Rayleigh, J.W.S. (1889) „O charakteru úplného záření při dané teplotě,“ Filozofický časopis, sv. 27, strany 460–469. Dostupný online tady.
^ Plancherel, Michel (1910) „Příspěvek na ilustraci arbitraire fontu integrace définies,“ Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, sv. 30, strany 298–335.
^ Arthur E. Danese (1965). Pokročilý počet. 1. Boston, MA: Allyn a Bacon, Inc. str. 439.
^ Wilfred Kaplan (1991). Pokročilý počet (4. vydání). Reading, MA: Addison Wesley. str.519. ISBN 0-201-57888-3.
^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourierova řada. Přeložil Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. str.119.

Reference

Parseval, MacTutor Historie archivu matematiky.
George B. Arfken a Hans J. Weber, Matematické metody pro fyziky (Harcourt: San Diego, 2001).
Hubert Kennedy, Osm matematických biografií (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
Alan V. Oppenheim a Ronald W. Schafer, Zpracování signálu v diskrétním čase 2. vydání (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999), s. 60.
William McC. Siebert, Obvody, signály a systémy (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), s. 410–411.
David W. Kammler, První kurz Fourierovy analýzy (Prentice – Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) str. 74.

externí odkazy

Parsevalova věta na Mathworld

[1] Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaire du second ordre, à coefficients constants “představený před Académie des Sciences (Paříž) dne 5. dubna 1799. Tento článek byl publikoval v Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savants, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savants étrangers.), sv. 1, strany 638–648 (1806).

[2] Rayleigh, J.W.S. (1889) „O charakteru úplného záření při dané teplotě,“ Filozofický časopis, sv. 27, strany 460–469. Dostupný online tady.

[3] Plancherel, Michel (1910) „Příspěvek na ilustraci arbitraire fontu integrace définies,“ Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, sv. 30, strany 298–335.

[4] Arthur E. Danese (1965). Pokročilý počet. 1. Boston, MA: Allyn a Bacon, Inc. str. 439.

[5] Wilfred Kaplan (1991). Pokročilý počet (4. vydání). Reading, MA: Addison Wesley. str.519. ISBN 0-201-57888-3.

[6] Georgi P. Tolstov (1962). Fourierova řada. Přeložil Silverman, Richard. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. str.119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]