Fourierova transformace na konečných grupách - Fourier transform on finite groups

v matematika, Fourierova transformace na konečných grupách je zobecněním diskrétní Fourierova transformace z cyklický na libovolné konečné skupiny.

Definice

The Fourierova transformace funkce ${ displaystyle f: G rightarrow mathbb {C} ,}$v a zastoupení ${ displaystyle varrho: G rightarrow GL (d _ { varrho}, mathbb {C}) ,}$ z ${ displaystyle G ,}$ je

${ displaystyle { widehat {f}} ( varrho) = součet _ {a v G} f (a) varrho (a).}$

Pro každou reprezentaci ${ displaystyle varrho ,}$ z ${ displaystyle G ,}$, ${ displaystyle { widehat {f}} ( varrho) ,}$ je ${ displaystyle d _ { varrho} krát d _ { varrho} ,}$ matice, kde ${ displaystyle d _ { varrho} ,}$ je stupeň ${ displaystyle varrho ,}$.

The inverzní Fourierova transformace na prvku ${ displaystyle a ,}$ z ${ displaystyle G ,}$ je dána

${ displaystyle f (a) = { frac {1} {| G |}} součet _ {i} d _ { varrho _ {i}} { text {Tr}} left ( varrho _ {i } (a ^ {- 1}) { widehat {f}} ( varrho _ {i}) right).}$

Vlastnosti

Transformace konvoluce

The konvoluce dvou funkcí ${ displaystyle f, g: G rightarrow mathbb {C} ,}$ je definován jako

${ displaystyle (f ast g) (a) = součet _ {b v G} f (ab ^ {- 1}) g (b).}$

Fourierova transformace konvoluce v jakékoli reprezentaci ${ displaystyle varrho ,}$ z ${ displaystyle G ,}$ je dána

${ displaystyle { widehat {f ast g}} ( varrho) = { hat {f}} ( varrho) { hat {g}} ( varrho).}$

Plancherelův vzorec

Pro funkce ${ displaystyle f, g: G rightarrow mathbb {C} ,}$uvádí Plancherelův vzorec

${ displaystyle sum _ {a v G} f (a ^ {- 1}) g (a) = { frac {1} {| G |}} sum _ {i} d _ { varrho _ { i}} { text {Tr}} left ({ hat {f}} ( varrho _ {i}) { hat {g}} ( varrho _ {i}) right),}$

kde ${ displaystyle varrho _ {i} ,}$ jsou neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle G. ,}$

Fourierova transformace pro konečné abelianské skupiny

Pokud skupina G je konečný abelianská skupina, situace se značně zjednodušuje:

• všechny neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle varrho _ {i}}$ jsou stupně 1, a proto se rovnají neredukovatelným znakům skupiny. Tak se v tomto případě stane Fourierova transformace s maticovou hodnotou skalární.

• Sada neredukovatelná G-reprezentace má samostatnou přirozenou strukturu skupiny, kterou lze se skupinou identifikovat ${ displaystyle { widehat {G}}: = mathrm {Hom} (G, S ^ {1})}$ z skupinové homomorfismy z G na ${ displaystyle S ^ {1} = {z v mathbb {C}, | z | = 1 }}$. Tato skupina je známá jako Pontryagin dual z G.

Fourierova transformace funkce ${ displaystyle f: G rightarrow mathbb {C}}$ je funkce ${ displaystyle { widehat {f}}: { widehat {G}} to mathbb {C}}$ dána

${ displaystyle { widehat {f}} ( chi) = součet _ {a v G} f (a) { bar { chi}} (a).}$

Inverzní Fourierova transformace je pak dána vztahem

${ displaystyle f (a) = { frac {1} {| G |}} součet _ { chi v { widehat {G}}} { widehat {f}} ( chi) chi ( A).}$

Pro ${ displaystyle G = mathbb {Z} / n}$, volba primitiva n-th kořen jednoty ${ displaystyle zeta}$ poskytuje izomorfismus

${ displaystyle G to { widehat {G}},}$

dána ${ displaystyle m mapsto (r mapsto zeta ^ {mr})}$. V literatuře je běžná volba ${ displaystyle zeta = e ^ {2 pi i / n}}$, což vysvětluje vzorec uvedený v článku o diskrétní Fourierova transformace. Takový izomorfismus však není kanonický, podobně jako v situaci, kdy konečný trojrozměrný vektorový prostor je izomorfní s jeho dvojí, ale dát izomorfismus vyžaduje volbu základu.

Vlastností, která je často pravděpodobná, je to, že Fourierova transformace rovnoměrného rozdělení je jednoduše ${ displaystyle delta _ {a, 0}, ,}$ kde 0 je identita skupiny a ${ displaystyle delta _ {i, j} ,}$ je Kroneckerova delta.

Fourierovu transformaci lze provést také na kosetech skupiny.

Vztah s teorií reprezentace

Existuje přímý vztah mezi Fourierovou transformací na konečných skupinách a teorie reprezentace konečných grup. Sada funkcí s komplexní hodnotou na konečné skupině, ${ displaystyle G}$spolu s operacemi bodového sčítání a konvoluce tvoří kruh, který je přirozeně identifikován s skupinové vyzvánění z ${ displaystyle G}$ přes komplexní čísla, ${ displaystyle mathbb {C} [G]}$. Moduly tohoto prstenu jsou to samé jako reprezentace. Maschkeova věta to naznačuje ${ displaystyle mathbb {C} [G]}$ je polojednoduchý prsten, tak podle Artin – Wedderburnova věta rozkládá se jako přímý produkt z maticové kroužky. Fourierova transformace na konečných skupinách výslovně vykazuje tento rozklad s maticovým prstencem dimenze ${ displaystyle d _ { varrho}}$ pro každou neredukovatelnou reprezentaci. Konkrétněji Peter-Weylova věta (pro konečné skupiny) uvádí, že existuje izomorfismus

${ displaystyle mathbb {C} [G] cong bigoplus _ {i} mathrm {End} (V_ {i})}$

dána

${ displaystyle sum _ {g v G} a_ {g} g mapsto left ( sum a_ {g} rho _ {i} (g): V_ {i} do V_ {i} doprava )}$

Levá strana je skupinová algebra z G. Přímý součet je přes celou sadu nerovnoměrných neredukovatelných G-reprezentace ${ displaystyle varrho _ {i}: G to mathrm {GL} (V_ {i})}$.

Fourierova transformace pro konečnou skupinu je právě tento izomorfismus. Výše uvedený vzorec produktu odpovídá tvrzení, že tato mapa je a kruhový izomorfismus.

Aplikace

Toto zobecnění diskrétní Fourierovy transformace se používá v numerická analýza. A cirkulační matice je matice, kde každý sloupec je a cyklický posun předchozího. Matice oběhového systému mohou být diagonalizováno rychle pomocí rychlá Fourierova transformace, a to poskytuje rychlou metodu řešení soustavy lineárních rovnic s oběhovými matricemi. Podobně lze Fourierovu transformaci na libovolných skupinách použít k získání rychlých algoritmů pro matice s jinými symetriemi (Åhlander & Munthe-Kaas 2005 ). Tyto algoritmy lze použít pro konstrukci numerické metody řešení parciálních diferenciálních rovnic které zachovávají symetrie rovnic (Munthe-Kaas 2006 ).

Viz také

• Fourierova transformace
• Teorie reprezentace konečných grup
• Teorie znaků

Reference