To lze motivovat prohlížením každého τ jako představující třídu izomorfismu eliptických křivek. Každá eliptická křivka E přes C je komplexní torus, a lze jej tedy identifikovat pomocí mřížky 2. úrovně; tj. dvourozměrná mřížka C. Tuto mříž lze otáčet a měnit její velikost (operace, které zachovávají třídu izomorfismu), takže je generována 1 a τ ∈ H. Tato mřížka odpovídá eliptické křivce (vidět Weierstrassovy eliptické funkce ).
Všimněte si, že j je definován všude v H protože modulární diskriminátor je nenulový. To je způsobeno odpovídajícím kubickým polynomem, který má odlišné kořeny.
Základní region
Základní doména modulární skupiny působící na horní polovinu roviny.
To lze ukázat Δ je modulární forma o hmotnosti dvanáct a G2 jeden o hmotnosti čtyři, takže jeho třetí síla je také o hmotnosti dvanácti. Tedy jejich podíl, a proto j, je modulární funkce s nulovou hmotností, zejména holomorfní funkce H → C invariantní pod akcí SL (2, Z). Kvocient z jeho středu {± I} výnosy modulární skupina, které můžeme identifikovat s projektivní speciální lineární skupinaPSL (2, Z).
Vhodnou volbou transformace patřící do této skupiny
můžeme snížit τ na hodnotu, která dává stejnou hodnotu pro j, a leží v základní region pro j, který se skládá z hodnot pro τ splnění podmínek
Funkce j(τ) i když je omezen na tuto oblast, stále přebírá každou hodnotu v komplexní číslaC přesně jednou. Jinými slovy, pro každého C v C, v základní oblasti existuje jedinečný τ takový C = j(τ). Tím pádem, j má vlastnost mapování základní oblasti na celou komplexní rovinu.
Navíc dvě hodnoty τ, τ '∈H vytvoří stejnou eliptickou křivku iff τ = T (τ ') pro některé T ∈ PSL (2, Z). To znamená j poskytuje bijekci ze sady eliptických křivek C do složité roviny.[1]
Jako Riemannova plocha má základní oblast rod 0, a každá (úroveň jedna) modulární funkce je a racionální funkce v j; a naopak každá racionální funkce v j je modulární funkce. Jinými slovy, pole modulárních funkcí je C(j).
Teorie polního pole a j
The j-invariant má mnoho pozoruhodných vlastností:
Rozšíření pole Q[j(τ), τ]/Q(τ) je abelian, to znamená, že má abelian Galoisova skupina.
Nechat Λ být mřížkou v C generováno uživatelem {1, τ}. Je snadné vidět, že všechny prvky Q(τ) který opravit Λ při násobení tvoří prsten s jednotkami, který se nazývá an objednat. Ostatní mřížky s generátory {1, τ ′}, přidružené stejným způsobem ke stejnému pořadí definovat algebraické konjugátyj(τ ′) z j(τ) přes Q(τ). Seřazeno podle zařazení, jedinečné maximální pořadí v Q(τ) je kruh algebraických celých čísel Q(τ)a hodnoty τ mít ji jako přidruženou objednávku vede k unramified rozšíření z Q(τ).
Tyto klasické výsledky jsou výchozím bodem pro teorii komplexní násobení.
Transcendenční vlastnosti
V roce 1937 Theodor Schneider prokázal výše uvedený výsledek, že pokud τ je kvadratické iracionální číslo v horní polovině roviny j(τ) je algebraické celé číslo. Navíc dokázal, že pokud τ je algebraické číslo ale pak ne imaginární kvadratický j(τ) je transcendentální.
The j funkce má řadu dalších transcendentálních vlastností. Kurt Mahler předpokládal konkrétní výsledek transcendence, který se často označuje jako Mahlerova domněnka, i když se to ukázalo jako důsledek výsledků Yu. V. Nesterenko a Patrice Phillipon v 90. letech. Mahlerova domněnka byla, že kdyby τ byl tehdy v horní polovině roviny E2πiτ a j(τ) nikdy nebyli oba současně algebraičtí. Nyní jsou známy silnější výsledky, například pokud E2πiτ je algebraické, pak následující tři čísla jsou algebraicky nezávislá, a tedy alespoň dvě z nich transcendentální:
The q-expanze a měsíční svit
Několik pozoruhodných vlastností j mít co do činění s jeho q-expanze (Fourierova řada expanze), psáno jako a Laurentova řada ve smyslu q = E2πiτ (čtverec ne já ), který začíná:
Všimněte si, že j má jednoduchá tyč na vrcholu, takže jeho q-expanze nemá níže žádné podmínky q−1.
Pozoruhodnější je, že Fourierovy koeficienty pro kladné exponenty z q jsou rozměry odstupňované části nekonečně dimenzionální odstupňovaná algebra zastoupení skupina příšer volal modul moonshine - konkrétně koeficient qn je rozměr třídyn část modulu moonshine, přičemž prvním příkladem je Griessova algebra, který má rozměr 196 884, což odpovídá termínu 196884q. Toto překvapivé pozorování, poprvé provedené uživatelem John McKay, bylo výchozím bodem pro teorie měsíčního svitu.
Studium hypotézy Moonshine vedlo John Horton Conway a Simon P. Norton podívat se na modulární funkce nulového rodu. Pokud jsou normalizováni, aby měli formu
pak John G. Thompson ukázal, že existuje pouze konečný počet takových funkcí (určité konečné úrovně), a Chris J. Cummins později ukázal, že je jich přesně 6486, z nichž 616 má integrální koeficienty.[5]
poměr Jacobi theta funkceθm, a je druhou mocninou eliptického modulu k(τ).[6] Hodnota j se nemění, když λ se nahrazuje kteroukoli ze šesti hodnot parametru křížový poměr:[7]
Zatím jsme uvažovali j jako funkce komplexní proměnné. Avšak jako invariant pro třídy izomorfismu eliptických křivek jej lze definovat čistě algebraicky.[9] Nechat
být rovinnou eliptickou křivkou nad jakýmkoli polem. Pak můžeme provést postupné transformace, abychom dostali výše uvedenou rovnici do standardní podoby y2 = 4X3 − G2X − G3 (všimněte si, že tuto transformaci lze provést pouze v případě, že charakteristika pole není rovna 2 nebo 3). Výsledné koeficienty jsou:
Jeden kořen dává τa druhý dává −1/τ, ale od j(τ) = j(−1/τ), nezáleží na tom, které α je vybrán. Poslední tři metody lze nalézt v Ramanujan teorie o eliptické funkce k alternativním základnám.
Inverze použitá ve vysoce přesných výpočtech období eliptických funkcí, i když se jejich poměry stanou neomezenými. Souvisejícím výsledkem je vyjádření hodnot kvadratických radikálů j v bodech imaginární osy, jejichž velikosti jsou mocninami 2 (tedy dovolují konstrukce kompasu a pravítka ). Druhý výsledek je stěží patrný, protože modulární rovnice úrovně 2 je kubický.
Zde je několik dalších speciálních hodnot uvedených v rámci alternativní notace J(τ) ≡ 1/1728j(τ) (pouze první čtyři z nich jsou dobře známé):
Selhání klasifikace eliptických křivek přes jiná pole
The -invariant je citlivý pouze na třídy izomorfismu eliptických křivek nad komplexními čísly, nebo obecněji algebraicky uzavřené pole. Nad jinými poli existují příklady eliptických křivek, jejichž -invariant je stejný, ale není izomorfní. Například nechte být eliptické křivky spojené s polynomy
oba mají -invariantní . Poté racionální body lze vypočítat jako
od té doby
a pro , existují pouze iracionální body
pro . To lze zobrazit pomocí Cardanův vzorec. Na druhou stranu, obsahuje množinu bodů
od rovnice dává rovnici
Pro existuje řešení , tak předpokládejme . Potom vydělením rovnice dává
který lze přepsat jako kvadratickou rovnici
Pomocí kvadratického vzorce to dává
proto je to racionální číslo. Nyní, pokud jsou tyto křivky považovány za skončené , existuje izomorfismus odesílání
Reference
^Gareth A. Jones a David Singerman. (1987) Komplexní funkce: algebraické a geometrické hledisko. Cambridge UP. [1]
Apostol, Tom M. (1976), Modulární funkce a Dirichletova řada v teorii čísel, Postgraduální texty z matematiky, 41, New York: Springer-Verlag, PAN0422157. Poskytuje velmi čitelný úvod a různé zajímavé identity.
Cox, David A. (1989), Prvočísla formy x ^ 2 + ny ^ 2: Fermat, teorie polního pole a komplexní násobení, New York: Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons Inc., PAN1028322 Představuje invariant j a diskutuje související teorii pole třídy.