Tabulka newtonovské řady - Table of Newtonian series - Wikipedia

v matematika, a Newtonovská série, pojmenoval podle Isaac Newton, je součet nad a sekvence ${ displaystyle a_ {n}}$ napsáno ve formě

${ displaystyle f (s) = součet _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} {s zvolit n} a_ {n} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-s) _ {n}} {n!}} a_ {n}}$

kde

${ displaystyle {s zvolit n}}$

je binomický koeficient a ${ displaystyle (y) _ {n}}$ je rostoucí faktoriál. Newtonovské řady se často objevují ve vztazích formy viděné v pupeční kalkul.

Seznam

Zobecněný binomická věta dává

${ displaystyle (1 + z) ^ {s} = součet _ {n = 0} ^ { infty} {s zvolit n} z ^ {n} = 1 + {s vybrat 1} z + {s vyberte 2} z ^ {2} + cdots.}$

Důkaz pro tuto identitu lze získat prokázáním, že splňuje diferenciální rovnici

${ displaystyle (1 + z) { frac {d (1 + z) ^ {s}} {dz}} = s (1 + z) ^ {s}.}$

The funkce digamma:

${ displaystyle psi (s + 1) = - gamma - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n}} {s zvolit n }.}$

The Stirlingova čísla druhého druhu jsou dány konečným součtem

${ displaystyle left {{ begin {matrix} n k end {matrix}} right } = { frac {1} {k!}} sum _ {j = 0} ^ {k } (- 1) ^ {kj} {k vyberte j} j ^ {n}.}$

Tento vzorec je zvláštním případem kth vpřed rozdíl z monomiální Xⁿ hodnoceno naX = 0:

${ displaystyle Delta ^ {k} x ^ {n} = součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj} {k vybrat j} (x + j) ^ {n} .}$

Související identita tvoří základ Nörlund – rýžový integrál:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} { frac {(-1) ^ {nk}} {sk}} = { frac {n!} {s (s -1) (s-2) cdots (sn)}} = { frac { Gamma (n + 1) Gamma (sn)} { Gamma (s + 1)}} = B (n + 1, sn), s notin {0, ldots, n }}$

kde ${ Displaystyle Gamma (x)}$ je Funkce gama a ${ displaystyle B (x, y)}$ je Funkce Beta.

The trigonometrické funkce mít umbral identity:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} {s zvolit 2n} = 2 ^ {s / 2} cos { frac { pi s} {4 }}}$

a

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} {s zvolit 2n + 1} = 2 ^ {s / 2} sin { frac { pi s} {4}}}$

Pupeční povaha těchto identit je o něco jasnější, když je zapíšeme ve smyslu klesající faktoriál ${ displaystyle (y) _ {n}}$. Prvních pár termínů ze série hříchů je

${ displaystyle s - { frac {(s) _ {3}} {3!}} + { frac {(s) _ {5}} {5!}} - { frac {(s) _ { 7}} {7!}} + Cdots}$

které lze rozpoznat jako podobné Taylor série za hříchX, s (s)_n stojící na místěXⁿ.

v analytická teorie čísel je zajímavé shrnout

${ displaystyle ! sum _ {k = 0} B_ {k} z ^ {k},}$

kde B jsou Bernoulliho čísla. Při použití generující funkce lze její Borelův součet vyhodnotit jako

${ displaystyle sum _ {k = 0} B_ {k} z ^ {k} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} { frac {tz} {e ^ {tz} -1}} dt = sum _ {k = 1} { frac {z} {(kz + 1) ^ {2}}}.}$

Obecný vztah dává Newtonovu řadu

${ displaystyle sum _ {k = 0} { frac {B_ {k} (x)} {z ^ {k}}} { frac {1-s vyberte k} {s-1}} = z ^ {s-1} zeta (s, x + z),}$^{[Citace je zapotřebí ]}

kde ${ displaystyle zeta}$ je Funkce Hurwitz zeta a ${ displaystyle B_ {k} (x)}$ the Bernoulliho polynom. Série se nesbližuje, identita platí formálně.

Další identita je ${ displaystyle { frac {1} { Gamma (x)}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} {xa zvolte k} součet _ {j = 0} ^ {k} { frac {(-1) ^ {kj}} { Gamma (a + j)}} {k vyberte j},}$který konverguje pro ${ displaystyle x> a}$. Vyplývá to z obecné formy Newtonovy řady pro ekvidistantní uzly (pokud existuje, tj. Je konvergentní)

${ displaystyle f (x) = součet _ {k = 0} {{ frac {xa} {h}} zvolit k} součet _ {j = 0} ^ {k} (- 1) ^ {kj } {k vyberte j} f (a + jh).}$

Viz také

• Binomická transformace
• Seznam faktoriálních a binomických témat
• Nörlund – rýžový integrál
• Carlsonova věta

Reference

• Philippe Flajolet a Robert Sedgewick, “Mellinovy ​​transformace a asymptotika: Konečné rozdíly a Riceovy integrály^{[trvalý mrtvý odkaz ]}", Teoretická informatika 144 (1995), str. 101–124.