Cykloidní - Cycloid

Cykloid generovaný valivým kruhem

v geometrie, a cykloidní je křivka sledován bodem na a kruh jak se valí podél a přímka bez sklouznutí. Cykloid je specifická forma trochoid a je příkladem a ruleta, křivka generovaná křivkou valící se na jiné křivce.

Cykloid, s vrcholy směřující nahoru, je křivka nejrychlejšího sestupu pod konstantou gravitace (dále jen brachistochronová křivka ). Je to také forma křivky, pro kterou doba objektu v jednoduchý harmonický pohyb (opakovaně rolování nahoru a dolů) podél křivky nezávisí na výchozí poloze objektu ( tautochronová křivka ).

Dějiny

Právě v levém zkušebním hrnci Pequodu, který kolem mě pilně kroužil mastek, mě poprvé nepřímo zasáhla pozoruhodná skutečnost, že v geometrii všechna těla klouzající po cykloidu, například můj mastek, sestoupí z jakýkoli bod přesně ve stejnou dobu.

Moby Dick podle Herman Melville, 1851

Cykloid se jmenuje „The Helen Geometers “, protože to mezi matematiky 17. století způsobilo časté hádky.^[1]

Historici matematiky navrhli několik kandidátů na objevitele cykloidu. Matematický historik Paul koželužna citoval podobnou práci syrského filozofa Iamblichus jako důkaz, že křivka byla známá již ve starověku.^[2] Anglický matematik John Wallis psaní v roce 1679 připsal objev Nicholas of Cusa,^[3] ale následné stipendium naznačuje, že buď Wallis se mýlil, nebo důkazy, které použil, jsou nyní ztraceny.^[4] Galileo Galilei Jméno bylo uvedeno na konci 19. století^[5] a alespoň jeden autor uvádí, že byl kredit udělen Marin Mersenne.^[6] Počínaje prací Moritz Cantor^[7] a Siegmund Günther,^[8] vědci nyní upřednostňují francouzského matematika Charles de Bovelles^[9]^[10]^[11] na základě jeho popisu cykloidu v jeho Úvod do geometriamu, publikovaný v roce 1503.^[12] V této práci Bovelles chyby oblouk vystopovat valivým kolem jako součást většího kruhu s poloměrem 120% větší než menší kolo.^[4]

Termín vytvořil Galileo cykloidní a byl první, kdo vážně studoval křivku.^[4] Podle jeho studenta Evangelista Torricelli,^[13] v roce 1599 se Galileo pokusil o kvadratura cykloidu (určující plochu pod cykloidem) neobvykle empirickým přístupem, který zahrnoval sledování jak generující kružnice, tak výsledného cykloidu na plechu, jejich vyříznutí a zvážení. Zjistil, že poměr byl zhruba 3: 1, ale nesprávně dospěl k závěru, že poměr byl iracionální zlomek, který by znemožnil kvadraturu.^[6] Kolem roku 1628, Gilles Persone de Roberval pravděpodobně se o kvadraturním problému dozvěděl od Père Marin Mersenne a uskutečnil kvadraturu v roce 1634 pomocí Cavalieriho věta.^[4] Tato práce však byla publikována až v roce 1693 (v jeho Traité des Indivisibles).^[14]

Stavba tečna z cykloidu se datuje do srpna 1638, kdy Mersenne dostal jedinečné metody od Robervala, Pierre de Fermat a René Descartes. Mersenne předal tyto výsledky Galileovi, který je předal svým studentům Torricelli a Vivianě, kteří byli schopni vytvořit kvadraturu. Tento výsledek a další publikoval Torricelli v roce 1644,^[13] což je také první tištěná práce o cykloidu. To vedlo k tomu, že Roberval obvinil Torricelliho z plagiátorství, přičemž kontroverze byla zkrácena Torricelliho předčasnou smrtí v roce 1647.^[14]

V roce 1658 se Blaise Pascal vzdal matematiky pro teologii, ale přestože ho bolel zub, začal uvažovat o několika problémech týkajících se cykloidu. Bolest zubů zmizela a on to vzal jako nebeské znamení, aby mohl pokračovat ve svém výzkumu. O osm dní později dokončil svoji esej a pro zveřejnění výsledků navrhl soutěž. Pascal navrhl tři otázky týkající se centrum gravitace, plocha a objem cykloidu, přičemž vítěz nebo vítězové obdrží ceny ve výši 20 a 40 španělských dublony. Pascal, Roberval a senátor Carcavy byli soudci a ani jeden ze dvou podání (autor) John Wallis a Antoine de Lalouvère ) byly posouzeny jako přiměřené.^[15]^:198 Zatímco soutěž probíhala, Christopher Wren poslal Pascalovi návrh na důkaz náprava cykloidu; Roberval okamžitě tvrdil, že o důkazu věděl roky. Wallis zveřejnil Wrenův důkaz (ve prospěch Wrena) ve Wallisově Tractus Duo, což dává Wrenovi přednost za první publikovaný důkaz.^[14]

O patnáct let později Christiaan Huygens nasadil cykloidní kyvadlo ke zlepšení chronometrů a zjistil, že částice projde segmentem obráceného cykloidního oblouku ve stejnou dobu bez ohledu na jeho počáteční bod. V roce 1686 Gottfried Wilhelm Leibniz použila analytickou geometrii k popisu křivky pomocí jediné rovnice. V roce 1696 Johann Bernoulli položil brachistochrone problém, jehož roztokem je cykloid.^[14]

Rovnice

Cykloid přes počátek, s vodorovnou základnou danou $X$ -osa, generovaná kruhem o poloměru $r$ převrácení "kladné" strany základny ( $y \geq 0$ ), skládá se z bodů $(X, y)$ , s

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = r (t- sin t) y & = r (1- cos t), end {zarovnáno}}}

kde $t$ je skutečný parametr, což odpovídá úhlu, o který se valivá kružnice otáčí. Za dané $t$ , střed kruhu leží na $(X, y) = (rt, r)$ .

Řešení pro $t$ a nahrazení Kartézská rovnice je shledáno jako:

{ displaystyle x = r cos ^ {- 1} left (1 - { frac {y} {r}} right) - { sqrt {y (2r-y)}}.}

Když $y$ je zobrazena jako funkce $X$ , cykloid je rozlišitelný všude kromě na vrcholy, kde narazí na $X$ -os, s derivací směřující k ${ displaystyle infty}$ nebo ${ displaystyle - infty}$ jak se člověk blíží k vrcholu. Mapa z $t$ na $(X, y)$ je diferencovatelná křivka nebo parametrická křivka třídy $C$ ^∞a singularita, kde je derivát 0, je obyčejný hrot.

Cykloidní segment z jednoho hrotu na druhý se nazývá oblouk cykloidu. První oblouk cykloidu se skládá z takových bodů ${ displaystyle 0 leq t leq 2 pi.}$

Rovnice cykloidu vyhovuje diferenciální rovnice:^[16]

{ displaystyle left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2} = { frac {2r} {y}} - 1.}

Evolventní

Generování evolventního cyklu cykloidu rozbalování napjatého drátu umístěného na polovičním cykloidním oblouku (červeně označené)

The evolventní cykloidu má tu vlastnost, že je přesně stejný cykloid, ze kterého pochází. To lze jinak vidět z hrotu drátu původně ležícího na polovičním oblouku cykloidu, který popisuje cykloidní oblouk rovný tomu, na kterém ležel jednou rozbalený (viz také cykloidní kyvadlo a délka oblouku ).

Demonstrace

Demonstrace vlastností evolventního cykloidního systému

Existuje několik ukázek tvrzení. Ten, který je zde uveden, používá fyzikální definici cykloidu a kinematickou vlastnost, že okamžitá rychlost bodu je tečná k jeho trajektorii. S odkazem na sousední obrázek ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ jsou dva tečné body patřící do dvou kružnic. Dva kruhy se začnou valit stejnou rychlostí a stejným směrem bez smyku. ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ začněte kreslit dva cykloidní oblouky jako na obrázku. Vzhledem k připojení linky ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ v libovolném okamžiku (červená čára) je možné to dokázat čára je kdykoli tečna ${ displaystyle P_ {2}}$ do spodního oblouku a ortogonální k dotyčnici v ${ displaystyle P_ {1}}$ horního oblouku. Jeden vidí to volání ${ displaystyle Q}$ společný bod mezi horním a dolním kruhem:

${ displaystyle P_ {1}, Q, P_ {2}}$ jsou zarovnány, protože ${ displaystyle { widehat {P_ {1} O_ {1} Q}} = { widehat {P_ {2} O_ {2} Q}}}$ (stejná rychlost válcování), a proto ${ displaystyle { widehat {O_ {1} QP_ {1}}} = { widehat {O_ {2} QP_ {2}}}}$ . Bod ${ displaystyle Q}$ leží na lince ${ displaystyle O_ {1} O_ {2}}$ proto ${ displaystyle { widehat {P_ {1} QO_ {1}}} + { widehat {P_ {1} QO_ {2}}} = pi}$ analogicky ${ displaystyle { widehat {P_ {2} QO_ {2}}} + { widehat {P_ {2} QO_ {1}}} = pi}$ . Z rovnosti ${ displaystyle { widehat {O_ {1} QP_ {1}}}}$ a ${ displaystyle { widehat {O_ {2} QP_ {2}}}}$ jeden to také má ${ displaystyle { widehat {P_ {1} QO_ {2}}} = { widehat {P_ {2} QO_ {1}}}}$ . Následuje ${ displaystyle { widehat {P_ {1} QO_ {1}}} + { widehat {P_ {2} QO_ {1}}} = pi}$ .
Li ${ displaystyle A}$ je místem setkání mezi svislicí z ${ displaystyle P_ {1}}$ na rovinu ${ displaystyle O_ {1} O_ {2}}$ a tečnu kružnice v ${ displaystyle P2}$ , pak trojúhelník ${ displaystyle P_ {1} AP_ {2}}$ je rovnoramenný, protože ${ displaystyle { widehat {QP_ {2} A}} = { frac {1} {2}} { widehat {P_ {2} O_ {2} Q}}}$ a ${ displaystyle { widehat {QP_ {1} A}} = { frac {1} {2}} { widehat {QO_ {1} R}} =}$ (lze snadno prokázat konstrukci) ${ displaystyle = { frac {1} {2}} { widehat {QO_ {1} P_ {1}}}}$ . Pro předchozí uvedenou rovnost mezi ${ displaystyle { widehat {P_ {1} O_ {1} Q}}}$ a ${ displaystyle { widehat {QO_ {2} P_ {2}}}}$ pak ${ displaystyle { widehat {QP_ {1} A}} = { widehat {QP_ {2} A}}}$ a ${ displaystyle P_ {1} AP_ {2}}$ je rovnoramenný.
Dirigování od ${ displaystyle P_ {2}}$ ortogonální rovně k ${ displaystyle O_ {1} O_ {2}}$ , z ${ displaystyle P_ {1}}$ přímka tečna k hornímu kruhu a volání ${ displaystyle B}$ místo setkání je to nyní snadno vidět ${ displaystyle P_ {1} AP_ {2} B}$ je kosočtverec, pomocí vět o úhlech mezi rovnoběžkami
Nyní zvažte rychlost ${ displaystyle V_ {2}}$ z ${ displaystyle P_ {2}}$ . Lze to vidět jako součet dvou složek, rychlosti válcování ${ displaystyle V_ {a}}$ a rychlost driftování ${ displaystyle V_ {d}}$ . Obě rychlosti jsou v modulu stejné, protože kruhy se otáčejí bez smyku. ${ displaystyle V_ {d}}$ je paralelní s ${ displaystyle P_ {1} A}$ a ${ displaystyle V_ {a}}$ je tečna k dolnímu kruhu v ${ displaystyle P_ {2}}$ proto je paralelní s ${ displaystyle P_ {2} A}$ . Kosočtverec tvořený složkami ${ displaystyle V_ {d}}$ a ${ displaystyle V_ {a}}$ je tedy podobný (stejné úhly) kosočtverci ${ displaystyle BP_ {1} AP_ {2}}$ protože mají paralelní strany. Celková rychlost ${ displaystyle P_ {2}, V_ {2}}$ je pak paralelní s ${ displaystyle P_ {2} P_ {1}}$ protože oba jsou úhlopříčky dvou kosočtverců s rovnoběžnými stranami a mají společné s ${ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ kontaktní místo ${ displaystyle P_ {2}}$ . Z toho vyplývá, že vektor rychlosti ${ displaystyle V_ {2}}$ leží na prodloužení ${ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ . Protože ${ displaystyle V_ {2}}$ je tečna k oblouku cykloidu v ${ displaystyle P_ {2}}$ (vlastnost rychlosti trajektorie), z toho také vyplývá ${ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ se shoduje s tangensou k dolnímu cykloidnímu oblouku ${ displaystyle P_ {2}}$ .
Analogicky lze snadno prokázat, že ${ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ je kolmý na ${ displaystyle V_ {1}}$ (jiná úhlopříčka kosočtverce).
Špička neroztažitelného drátu se zpočátku napínala na poloviční oblouk spodního cykloidu a směřovala k hornímu kruhu dovnitř ${ displaystyle P_ {1}}$ poté bude následovat bod podél jeho cesty beze změny jeho délky protože rychlost hrotu je v každém okamžiku kolmá k drátu (bez roztahování nebo stlačení). Drát bude současně tečný ${ displaystyle P_ {2}}$ do spodního oblouku, protože napětí a předvedené předměty. Pokud by to nebylo tečné, pak by v něm byla diskontinuita ${ displaystyle P_ {2}}$ a následně by existovaly nevyvážené napínací síly.

Plocha

Použití výše uvedené parametrizace pro jeden oblouk cykloidu generovaného kruhem o poloměru $r$ ,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = r (t- sin t) y & = r (1- cos t) end {zarovnáno}}}

pro ${ displaystyle 0 leq t leq 2 pi,}$ plocha pod obloukem je dána vztahem

{ displaystyle { begin {aligned} A & = int _ {x = 0} ^ {2 pi r} y , dx & = int _ {t = 0} ^ {2 pi} r ^ {2} (1- cos t) ^ {2} dt & = 3 pi r ^ {2}. End {zarovnáno}}}

Tento výsledek a některé zevšeobecnění lze získat bez výpočtu podle Mamikona vizuální kalkul.

Délka oblouku

Délka cykloidu jako důsledek vlastnosti jeho evolventnosti

Délka oblouku $S$ jednoho oblouku je dán

{ displaystyle { begin {aligned} S & = int _ {0} ^ {2 pi} { sqrt { left ({ frac {dx} {dt}} right) ^ {2} + left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2}}} dt & = int _ {0} ^ {2 pi} r { sqrt {2-2 cos t}} , dt & = 2r int _ {0} ^ {2 pi} sin { frac {t} {2}} , dt & = 8r. end {zarovnáno}}}

Další okamžitý způsob, jak vypočítat délku cykloidu vzhledem k vlastnostem evolventní je všimnout si, že když byl drát popisující evolventní evoluci zcela rozbalen, prodlužuje se o dva průměry, délku $4 r$ . Protože drát během rozbalování nemění délku, vyplývá z toho, že délka poloviny cykloidního oblouku je $4 r$ a to úplného oblouku je $8 r$ .

Cykloidní kyvadlo

Schéma cykloidního kyvadla.

Pokud je jednoduché kyvadlo zavěšeno na špičce obráceného cykloidu, tak, že je „struna“ omezena mezi sousedními oblouky cykloidu a délkou kyvadla L se rovná délce poloviny délky oblouku cykloidu (tj. dvojnásobek průměru generující kružnice, L = 4r), bob z kyvadlo také sleduje cykloidní cestu. Takové cykloidní kyvadlo je izochronní, bez ohledu na amplitudu. Po zavedení souřadnicového systému se středem v poloze hrotu je pohybová rovnice dána vztahem:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = r [2 theta (t) + sin (2 theta (t))] y & = r [-3- cos (2 theta (t)) ], end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel přímé části řetězce vzhledem ke svislé ose a je dán vztahem

{ displaystyle sin theta (t) = A cos ( omega t), qquad omega ^ {2} = { frac {g} {L}} = { frac {g} {4r}} ,}

kde A <1 je „amplituda“, ${ displaystyle omega}$ je radiánová frekvence kyvadla a G gravitační zrychlení.

Pět izochronních cykloidních kyvadel s různými amplitudami.

Holandský matematik ze 17. století Christiaan Huygens objevil a prokázal tyto vlastnosti cykloidu při hledání přesnějších návrhů kyvadlových hodin, které by se mohly použít v navigaci.^[17]

Související křivky

Několik křivek souvisí s cykloidem.

Trochoid: zobecnění cykloidu, ve kterém bod sledující křivku může být uvnitř válcovací kružnice (curtate) nebo venku (prolate).
Hypocykloid: varianta cykloidu, ve které se místo čáry valí kruh na vnitřní straně jiného kruhu.
Epicykloid: varianta cykloidu, ve které se místo čáry válí kruh na vnější straně jiného kruhu.
Hypotrochoid: zobecnění hypocykloidu, kde zdrojový bod nemusí být na okraji válcovacího kruhu.
Epitrochoid: zobecnění epicykloidu, kde generující bod nemusí být na okraji klouzavého kruhu.

Všechny tyto křivky jsou rulety s kruhem válcovaným podél další křivky uniformy zakřivení. Cykloid, epicykloidy a hypocykloidy mají tu vlastnost, že každý z nich je podobný k jeho evoluce. Li q je produkt této křivky s poloměrem kruhu, znaménko kladné pro epi- a záporné pro hypo-, pak křivka: evolutní poměr podobnosti je 1 + 2q.

Klasika Spirograf hračka sleduje hypotrochoid a epitrochoid křivky.

Jiná použití

Cykloidní oblouky u Muzeum umění Kimbell

Cykloidní oblouk použil architekt Louis Kahn v jeho návrhu pro Muzeum umění Kimbell v Fort Worth, Texas. To bylo také používáno v designu Hopkinsovo centrum v Hanover, New Hampshire.^{[Citace je zapotřebí ]}

Časné výzkumy ukázaly, že některé příčné klenuté křivky desek houslí zlatého věku jsou úzce modelovány curtátovými cykloidními křivkami.^[18] Pozdější práce naznačuje, že curtate cykloidy neslouží jako obecné modely pro tyto křivky,^[19] které se značně liší.

Viz také

Reference

^ Cajori, Florian (1999). Dějiny matematiky. New York: Chelsea. p. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2.
^ Tannery, Paul (1883), „Pour l'histoire des lignes et povrchy courbes dans l'antiquité“, Bulletin des sciences mathèmatique, Paříž: 284 (citováno v Whitman 1943);
^ Wallis, D. (1695). „Výňatek z dopisu dr. Wallise ze dne 4. května 1697 týkajícího se cykloidů známých kardinálovi Cusanovi z roku 1450; a Caroluse Bovilla z roku 1500“ (PDF). Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 19 (215–235): 561–566. doi:10.1098 / rstl.1695.0098. (Citováno v Günther, s. 5)
^ ^A ^b ^C ^d Whitman, E. A. (květen 1943), „Několik historických poznámek o cykloidu“, Americký matematický měsíčník, 50 (5): 309–315, doi:10.2307/2302830, JSTOR 2302830 (vyžadováno předplatné)
^ Cajori, Florian (1999), Dějiny matematiky (5. vydání), s. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Poznámka: první (1893) vydání a jeho dotisky uvádějí, že Galileo vynalezl cykloid. Podle Phillipsa to bylo opraveno ve druhém (1919) vydání a zůstalo až do posledního (pátého) vydání.)
^ ^A ^b Roidt, Tom (2011). Cykloidy a cesty (PDF) (SLEČNA). Státní univerzita v Portlandu. p. 4.
^ Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Lipsko: B. G. Teubner, OCLC 25376971
^ Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften, Lipsko: Druck und Verlag Von B. G. Teubner, s. 352, OCLC 2060559
^ Phillips, J. P. (květen 1967), „Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid - Apple of Discord“, Učitel matematiky, 60 (5): 506–508, JSTOR 27957609(vyžadováno předplatné)
^ Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: Intelektuální biografie, str. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
^ Martin, J. (2010). „Helen of Geometry“. The College Mathematics Journal. 41: 17–28. doi:10.4169 / 074683410X475083.
^ de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam ... Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione koule. Perspectiva introductio., OCLC 660960655
^ ^A ^b Torricelli, Evangelista (1644), Opera geometrica, OCLC 55541940
^ ^A ^b ^C ^d Walker, Evelyn (1932), Studie Robervalova Traité des Indivisibles, Columbia University (citováno v Whitman 1943);
^ Conner, James A. (2006), Pascal's Wager: The Man Who Played Dice with God (1. vyd.), HarperCollins, str.224, ISBN 9780060766917
^ Roberts, Charles (2018). Elementární diferenciální rovnice: aplikace, modely a výpočty (2. ilustrované vydání). CRC Press. p. 141. ISBN 978-1-4987-7609-7. Výňatek ze strany 141, rovnice (f) s jejich K.=2r
^ C. Huygens, „Kyvadlové hodiny nebo geometrické ukázky týkající se pohybu kyvadla (sic) při aplikaci na hodiny,“ překládal R. J. Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, USA, 1986).
^ Playfair, Q. „Curtate Cycloid Arching in Golden Age Cremonese Violin Family Instruments“. Catgut Acoustical Society Journal. II. 4 (7): 48–58.
^ Mottola, RM (2011). „Porovnání vyklenutých profilů houslí zlatého věku Cremonese a některých matematicky vytvořených křivek“. Savart Journal. 1 (1).

Další čtení

Aplikace z fyziky: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: cykloidní brázda a válec trhání přes list. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
Edward Kasner a James Newman (1940) Matematika a představivost, str. 196–200, Simon & Schuster.
Wells D (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

externí odkazy

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Cykloidní", MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
Weisstein, Eric W. "Cykloidní". MathWorld. Získaný 27. dubna 2007.
Cykloidy na cut-the-uzel

Pojednání o cykloidu a všech formách cykloidních křivek, monografie Richard A. Proctor, B.A. zveřejnil Cornell University Library.
Cykloidní křivky autor Sean Madsen s příspěvky Davida von Seggerna, Demonstrační projekt Wolfram.
Cykloid na PlanetPTC (Mathcad)
VIZUÁLNÍ přístup k problémům CALCULUS Tom Apostol

[1] Cajori, Florian (1999). Dějiny matematiky. New York: Chelsea. p. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2.

[Tannery-2] Tannery, Paul (1883), „Pour l'histoire des lignes et povrchy courbes dans l'antiquité“, Bulletin des sciences mathèmatique, Paříž: 284 (citováno v Whitman 1943);

[Wallis-3] Wallis, D. (1695). „Výňatek z dopisu dr. Wallise ze dne 4. května 1697 týkajícího se cykloidů známých kardinálovi Cusanovi z roku 1450; a Caroluse Bovilla z roku 1500“ (PDF). Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. 19 (215–235): 561–566. doi:10.1098 / rstl.1695.0098. (Citováno v Günther, s. 5)

[Whitman-4] A ^b ^C ^d Whitman, E. A. (květen 1943), „Několik historických poznámek o cykloidu“, Americký matematický měsíčník, 50 (5): 309–315, doi:10.2307/2302830, JSTOR 2302830 (vyžadováno předplatné)

[Cajori-5] Cajori, Florian (1999), Dějiny matematiky (5. vydání), s. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Poznámka: první (1893) vydání a jeho dotisky uvádějí, že Galileo vynalezl cykloid. Podle Phillipsa to bylo opraveno ve druhém (1919) vydání a zůstalo až do posledního (pátého) vydání.)

[Roidt-6] A ^b Roidt, Tom (2011). Cykloidy a cesty (PDF) (SLEČNA). Státní univerzita v Portlandu. p. 4.

[Cantor-7] Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Lipsko: B. G. Teubner, OCLC 25376971

[Gunther-8] Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften, Lipsko: Druck und Verlag Von B. G. Teubner, s. 352, OCLC 2060559

[Phillips-9] Phillips, J. P. (květen 1967), „Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid - Apple of Discord“, Učitel matematiky, 60 (5): 506–508, JSTOR 27957609(vyžadováno předplatné)

[Victor-10] Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: Intelektuální biografie, str. 42, ISBN 978-2-600-03073-1

[Martin-11] Martin, J. (2010). „Helen of Geometry“. The College Mathematics Journal. 41: 17–28. doi:10.4169 / 074683410X475083.

[Bovelles-12] Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam ... Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione koule. Perspectiva introductio., OCLC 660960655

[Torricelli-13] A ^b Torricelli, Evangelista (1644), Opera geometrica, OCLC 55541940

[Walker-14] A ^b ^C ^d Walker, Evelyn (1932), Studie Robervalova Traité des Indivisibles, Columbia University (citováno v Whitman 1943);

[Conner-15] Conner, James A. (2006), Pascal's Wager: The Man Who Played Dice with God (1. vyd.), HarperCollins, str.224, ISBN 9780060766917

[16] Roberts, Charles (2018). Elementární diferenciální rovnice: aplikace, modely a výpočty (2. ilustrované vydání). CRC Press. p. 141. ISBN 978-1-4987-7609-7. Výňatek ze strany 141, rovnice (f) s jejich K.=2r

[17] C. Huygens, „Kyvadlové hodiny nebo geometrické ukázky týkající se pohybu kyvadla (sic) při aplikaci na hodiny,“ překládal R. J. Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, USA, 1986).

[18] Playfair, Q. „Curtate Cycloid Arching in Golden Age Cremonese Violin Family Instruments“. Catgut Acoustical Society Journal. II. 4 (7): 48–58.

[19] Mottola, RM (2011). „Porovnání vyklenutých profilů houslí zlatého věku Cremonese a některých matematicky vytvořených křivek“. Savart Journal. 1 (1).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]