Projektivní unitární skupina - Projective unitary group
v matematika, projektivní unitární skupina PU (n) je kvocient z jednotná skupina U (n) správným násobením jeho centrum, U (1), vložený jako skaláry. Abstraktně je to holomorfní izometrická skupina z složitý projektivní prostor, stejně jako projektivní ortogonální skupina je izometrická skupina skutečný projektivní prostor.
Ve smyslu matice, prvky U (n) jsou složité n×n unitární matice a prvky středu jsou diagonální matice rovné Eiθ vynásoben maticí identity. Tedy prvky PU (n) odpovídají třídám ekvivalence unitárních matic při násobení konstantní fází θ.
Abstraktně, vzhledem k Poustevnický prostor PROTI, skupina PU (PROTI) je obraz jednotné skupiny U (PROTI) ve skupině automorfismu projektivního prostoru P(PROTI).
Projektivní speciální unitární skupina
Projektivní speciální jednotná skupina PSU (n) se rovná projektivní jednotkové skupině, na rozdíl od ortogonálního případu.
Spojení mezi U (n), SU (n), jejich centra a projektivní unitární skupiny jsou zobrazeny vpravo.
The centrum z speciální jednotná skupina je skalární matice nth kořeny jednoty:
Přírodní mapa
je izomorfismus věta o druhém izomorfismu, tím pádem
a speciální jednotná skupina SU (n) je n- skládací obal projektivní unitární skupiny.
Příklady
Na n = 1, U (1) je abelian a tak se rovná jeho středu. Proto PU (1) = U (1) / U (1) je a triviální skupina.
Na n = 2, , přičemž všechny jsou reprezentovatelné čtverci jednotkových norem a přes:
Konečná pole
Lze také definovat jednotné skupiny přes konečná pole: dané pole pořadí q, na vektorových prostorech je nedegenerovaná hermitovská struktura jedinečný až do jednotné kongruence a odpovídajícím způsobem označená skupina matic nebo a rovněž speciální a projektivní unitární skupiny. Pro usnadnění tento článek používá konvence.
Odvolej to skupina jednotek konečného pole je cyklická, takže skupina jednotek a tedy skupina invertibilních skalárních matic v je cyklická skupina řádu Centrum města má pořádek q + 1 a skládá se ze skalárních matic, které jsou jednotné, tj. Z těchto matic s Střed speciální unitární skupiny má řád gcd (n, q + 1) a skládá se z těch unitárních skalárů, které mají také dělení řádků n.
Kvocient jednotkové skupiny podle jejího středu je projektivní unitární skupina, a podíl speciální unitární skupiny podle jejího středu je projektivní speciální jednotná skupina Většinou (n ≥ 2 a ), je dokonalá skupina a je konečný jednoduchá skupina, (Grove 2002, Thm. 11.22 a 11.26).
Topologie PU (H)
PU (H) je klasifikační prostor pro svazky kruhů
Stejnou konstrukci lze použít pro matice působící na nekonečně dimenzionální Hilbertův prostor .
Nechť U (H) označují prostor nečleněných operátorů v Hilbertově prostoru nekonečné dimenze. Když F: X → U (H) je spojité mapování kompaktního prostoru X do jednotné skupiny lze použít konečnou dimenzionální aproximaci jejího obrazu a jednoduchý trik K-teoretický
ukázat, že je vlastně homotopický k triviální mapě do jediného bodu. To znamená, že U (H) je slabě smluvní a další argument ukazuje, že je ve skutečnosti smluvní. Všimněte si, že se jedná o čistě nekonečný dimenzionální jev, na rozdíl od konečných trojrozměrných bratranců U (n) a jejich limit U (∞) pod inkluzními mapami, které nejsou smluvně přijímající homotopicky netriviální spojitá zobrazení na U (1) dané determinantem matic.
Střed nekonečně rozměrné jednotné skupiny je, stejně jako v konečném dimenzionálním případě, U (1), které opět působí na jednotnou skupinu prostřednictvím násobení fází. Protože unitární skupina neobsahuje nulovou matici, je tato akce zdarma. Tím pádem je kontraktovatelný prostor s akcí U (1), která jej identifikuje jako EU (1) a prostor U (1) obíhá jako BU (1), třídicí prostor pro U (1).
Homotopie a (ko) homologie PU (H)
je přesně definován jako prostor oběžných drah akce U (1) , tím pádem je realizace klasifikačního prostoru BU (1). Zejména pomocí izomorfismu
mezi homotopické skupiny prostoru X a skupin homotopy jeho klasifikačního prostoru BX v kombinaci s typem homotopy kruhu U (1)
najdeme homotopické skupiny
tedy identifikace jako zástupce Eilenberg – MacLaneův prostor K (Z, 2).
Jako následek, musí být stejného typu homotopy jako nekonečno-dimenzionální složitý projektivní prostor, což také představuje K (Z, 2). To zejména znamená, že jsou izomorfní homologie a kohomologie skupiny:
Zastoupení
Adjunkční reprezentace
PU (n) obecně nemá č n-dimenzionální reprezentace, stejně jako SO (3) nemá žádné dvojrozměrné reprezentace.
PU (n) má adjunktní akci na SU (n), tedy má -dimenzionální reprezentace. Když n = 2 to odpovídá trojrozměrné reprezentaci SO (3). Akce adjunktu je definována přemýšlením o prvku PU (n) jako třída ekvivalence prvků U (n), které se liší fázemi. Poté lze provést adjunktní akci s ohledem na kterékoli z těchto U (n) zástupci a fáze dojíždějí se vším, a tak se ruší. Akce je tedy nezávislá na výběru zástupce, a proto je dobře definována.
Projektivní reprezentace
V mnoha aplikacích PU (n) nejedná v žádném lineárním vyjádření, ale v a projektivní reprezentace, což je reprezentace až do fáze, která je nezávislá na vektoru, na který působí. Ty jsou užitečné v kvantové mechanice, protože fyzikální stavy jsou definovány pouze po fázi. Například masivní fermionické stavy se transformují pod projektivní reprezentací, ale ne pod reprezentací malé skupiny PU (2) = SO (3).
Projektivní reprezentace skupiny jsou klasifikovány podle jejího druhého integrálu kohomologie, což v tomto případě je
nebo
Skupiny cohomology v konečném případě lze odvodit z dlouhá přesná sekvence pro svazky a výše uvedená skutečnost, že SU (n) je Z/n svazek přes PU (n). Kohomologie v nekonečném případě byla argumentována výše z izomorfismu s kohomologií nekonečného komplexu projektivního prostoru.
Tedy PU (n) těší n projektivní reprezentace, z nichž první je základní reprezentací její SU (n) kryt, zatímco má spočítatelné nekonečné číslo. Jako obvykle jsou projektivní reprezentace skupiny obyčejnými reprezentacemi a centrální prodloužení skupiny. V tomto případě je centrální rozšířená skupina odpovídající první projektivní reprezentaci každé projektivní jednotkové skupiny pouze originál jednotná skupina z nichž jsme při definici PU vzali kvocient z U (1).
Aplikace
Zkroucená K-teorie
Adjungovaná akce nekonečné projektivní jednotné skupiny je užitečná v geometrických definicích zkroucená K-teorie. Zde adjunktní akce nekonečno-dimenzionální buď na Provozovatelé Fredholm nebo nekonečný jednotná skupina se používá.
V geometrických konstrukcích zkroucené K-teorie s kroucením H, je vlákno svazku a různé zvraty H odpovídají různým fibracím. Jak je vidět níže, topologicky představuje Eilenberg – Maclaneův prostor K (Z, 2), tedy klasifikační prostor svazky je prostor Eilenberg – Maclane K (Z, 3). K (Z, 3) je také klasifikační prostor pro třetí integrál kohomologie skupina tedy svazky jsou klasifikovány podle třetí integrální kohomologie. Výsledkem je možné zvraty H zkroucené K-teorie jsou přesně prvky třetí integrální kohomologie.
Teorie měřidla Pure Yang – Mills
V čistém Yang – Mills SU (n) teorie měřidel, což je teorie měřidla pouze s gluony a žádná základní hmota, všechna pole se transformují v sousední skupině měřidel SU (n). The Z/n centrum SU (n) dojíždí, je ve středu, s SU (n) hodnotná pole, a tak je adjunktní akce středu triviální. Proto je symetrie měřidla kvocientem SU (n) od Z/n, což je PU (n) a působí na pole pomocí výše popsané adjunktové akce.
V této souvislosti je rozdíl mezi SU (n) a PU (n) má důležitý fyzický důsledek. SU (n) je jednoduše připojen, ale základní skupina PU (n) je Z/n, cyklická skupina řádu n. Proto PU (n) teorie měřidel s adjunktickými skaláry bude mít netriviální kodimenzionální rozměr 2 víry ve kterém se očekávané hodnoty skalárů vlní kolem PU (n) je netriviální cyklus, protože člověk obklopuje vír. Tyto víry proto mají také poplatky Z/n, což znamená, že se navzájem přitahují a kdy n přicházejí do styku, které ničí. Příkladem takového víru je řetězec Douglas – Shenker v SU (n) Teorie měřidla Seiberg – Witten.
Reference
- Grove, Larry C. (2002), Klasické skupiny a geometrická algebra, Postgraduální studium matematiky, 39„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2019-3, PAN 1859189