Volná částice - Free particle - Wikipedia
v fyzika, a volná částice je částice, která v určitém smyslu není vázána vnější silou nebo ekvivalentně není v oblasti, kde se její potenciální energie mění. V klasické fyzice to znamená, že částice je přítomna v prostoru „bez pole“. V kvantové mechanice to znamená oblast jednotného potenciálu, obvykle nastavenou na nulu v oblasti zájmu, protože potenciál může být libovolně nastaven na nulu v kterémkoli bodě (nebo povrchu ve třech rozměrech) v prostoru.
Klasická volná částice
Klasická volná částice je charakterizována pevnou rychlost proti. The hybnost darováno
a Kinetická energie (rovná se celkové energii) o
kde m je hmotnost částice a proti je vektorová rychlost částice.
Kvantová volná částice

Matematický popis
Volná částice s hmotou v nerelativistické kvantové mechanice je popsán svobodnými Schrödingerova rovnice:
kde ψ je vlnová funkce částice v poloze r a čas t. Řešení částice s hybností str nebo vlnový vektor k, na úhlová frekvence ω nebo energie E, je dán komplex rovinná vlna:
s amplituda A a omezeno na:
a) má-li částice hmotnost : (nebo ekvivalent ).
b) pokud je částice nehmotná částice: .
Spektrum vlastních čísel je nekonečně degenerované, protože pro každé vlastní číslo E> 0, odpovídá nekonečný počet vlastních funkcí odpovídajících různým směrům .
The De Broglieho vztahy: aplikovat. Protože potenciální energie je (udává se) nula, celková energie E se rovná kinetické energii, která má stejnou formu jako v klasické fyzice:
Co se týče Všechno bez kvantových částic nebo vázaný, Heisenbergovy zásady nejistoty aplikovat. Je jasné, že protože rovinná vlna má určitou hybnost (určitou energii), je pravděpodobnost nalezení polohy částice v celém prostoru stejnoměrná a zanedbatelná. Jinými slovy, vlnová funkce není v euklidovském prostoru normalizovatelná, tyto stacionární nemohou odpovídat fyzickým realizovatelným stavům. [1]
Měření a výpočty
Integrál funkce hustoty pravděpodobnosti
kde * označuje komplexní konjugát, nad celým prostorem je pravděpodobnost nalezení částice v celém prostoru, což musí být jednota, pokud částice existuje:
Toto je podmínka normalizace vlnové funkce. Vlnová funkce není normalizovatelná pro rovinnou vlnu, ale je pro a balíček.


Fourierův rozklad
Funkce vln volných částic může být reprezentována superpozicí hybnost vlastní funkce s koeficienty danými Fourierova transformace počáteční vlnové funkce:[2]
kde je integrál nade vše k-prostor a (aby bylo zajištěno, že vlnový paket je řešením Schrödingerovy rovnice volných částic). Tady je hodnota vlnové funkce v čase 0 a je Fourierova transformace . (Fourierova transformace je v podstatě funkce hybnosti funkce poziční vlny , ale napsáno jako funkce spíše než .)
Očekávaná hodnota hybnosti str pro komplexní rovinnou vlnu je
- ,
a pro obecný vlnový paket to je
- .
Očekávaná hodnota energie E je
- .
Skupinová rychlost a fázová rychlost

The fázová rychlost je definována jako rychlost, při které se šíří řešení rovinné vlny, a to
- .
Všimněte si, že je ne rychlost klasické částice s hybností ; je to spíše polovina klasické rychlosti.
Mezitím předpokládejme, že funkce počáteční vlny je vlnový paket jehož Fourierova transformace je soustředěna v blízkosti konkrétního vlnového vektoru . Pak skupinová rychlost rovinné vlny je definována jako
- ,
který souhlasí s vzorcem pro klasickou rychlost částice. Skupinová rychlost je (přibližná) rychlost, při které se šíří celý vlnový paket, zatímco fázová rychlost je rychlost, při které se pohybují jednotlivé vrcholy vlnového paketu.[3] Obrázek ilustruje tento jev, kdy se jednotlivé vrcholy vlnového paketu šíří poloviční rychlostí než celkový paket.
Šíření vlnového balíčku
Pojem skupinové rychlosti je založen na lineární aproximaci disperzního vztahu blízko konkrétní hodnoty .[4] V této aproximaci se amplituda vlnového paketu pohybuje rychlostí rovnou rychlosti skupiny beze změny tvaru. Tento výsledek je aproximací, která nedokáže zachytit určité zajímavé aspekty evoluce volné kvantové částice. Je pozoruhodné, že šířka vlnového paketu, měřená nejistotou v poloze, roste lineárně v čase po velké časy. Tento jev se nazývá šíření vlnového paketu pro volnou částici.
Konkrétně není těžké vypočítat přesný vzorec pro nejistotu jako funkce času, kde je operátor polohy. Pro zjednodušení pracujeme v jedné prostorové dimenzi:[5]
- ,
kde je funkce časové nulové vlny. Výraz v závorkách ve druhém členu na pravé straně je kvantová kovariance a .
Pro velké pozitivní časy tedy nejistota v roste lineárně s koeficientem rovná . Pokud hybnost počáteční vlnové funkce je vysoce lokalizovaný, vlnový paket se bude šířit pomalu a aproximace skupinové rychlosti zůstane dlouho dobrá. Tento výsledek intuitivně říká, že pokud má počáteční vlnová funkce velmi ostře definovanou hybnost, pak má částice ostře definovanou rychlost a bude se (s dobrou aproximací) šířit touto rychlostí po dlouhou dobu.
Relativistické kvantové volné částice
Existuje celá řada rovnic popisujících relativistické částice: viz relativistické vlnové rovnice.
Viz také
Reference
- Kvantová mechanika, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
- Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání)R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
- Stacionární státy, A. Holden, College Physics Monographs (USA), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
- Hall, Brian C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN 978-1461471158
- Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546 9
- Základní kvantová mechanika, N.F. Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
- Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (USA), 1998, ISBN 007-0540187
- Charakteristický
Další čtení
- Nový kvantový vesmír, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1.
- Teorie kvantového pole, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
- Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 978-007-145533-6