Volná částice - Free particle - Wikipedia

v fyzika, a volná částice je částice, která v určitém smyslu není vázána vnější silou nebo ekvivalentně není v oblasti, kde se její potenciální energie mění. V klasické fyzice to znamená, že částice je přítomna v prostoru „bez pole“. V kvantové mechanice to znamená oblast jednotného potenciálu, obvykle nastavenou na nulu v oblasti zájmu, protože potenciál může být libovolně nastaven na nulu v kterémkoli bodě (nebo povrchu ve třech rozměrech) v prostoru.

Klasická volná částice

Klasická volná částice je charakterizována pevnou rychlost proti. The hybnost darováno

{ displaystyle mathbf {p} = m mathbf {v}}

a Kinetická energie (rovná se celkové energii) o

{ displaystyle E = { frac {1} {2}} mv ^ {2} = { frac {p ^ {2}} {2m}}}

kde m je hmotnost částice a proti je vektorová rychlost částice.

Kvantová volná částice

Propagace de Broglieho vlny v 1d - skutečná část komplex amplituda je modrá, imaginární část je zelená. Pravděpodobnost (zobrazena jako barva neprůhlednost ) nalezení částice v daném bodě X je rozprostřen jako křivka, neexistuje určitá poloha částice. Jak se amplituda zvyšuje nad nulu, zakřivení klesá, takže se opět snižuje a naopak - výsledkem je střídavá amplituda: vlna. Horní: Rovinná vlna. Dno: Vlnový paket.

Matematický popis

Volná částice s hmotou ${ displaystyle m}$ v nerelativistické kvantové mechanice je popsán svobodnými Schrödingerova rovnice:

{ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi ( mathbf {r}, t) = i hbar { frac { částečné} { parciální t}} psi ( mathbf {r}, t)}

kde ψ je vlnová funkce částice v poloze r a čas t. Řešení částice s hybností str nebo vlnový vektor k, na úhlová frekvence ω nebo energie E, je dán komplex rovinná vlna:

{ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = Ae ^ {i ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)} = Ae ^ {i ( mathbf {p} cdot mathbf {r} -Et) / hbar}}

s amplituda A a omezeno na:

a) má-li částice hmotnost ${ displaystyle m}$ : ${ displaystyle omega = { frac { hbar k ^ {2}} {2m}}}$ (nebo ekvivalent ${ displaystyle E = { frac {p ^ {2}} {2m}}}$ ).

b) pokud je částice nehmotná částice: ${ displaystyle omega = kc}$ .

Spektrum vlastních čísel je nekonečně degenerované, protože pro každé vlastní číslo E> 0, odpovídá nekonečný počet vlastních funkcí odpovídajících různým směrům ${ displaystyle mathbf {p}}$ .

The De Broglieho vztahy: ${ displaystyle mathbf {p} = hbar mathbf {k}, quad E = hbar omega}$ aplikovat. Protože potenciální energie je (udává se) nula, celková energie E se rovná kinetické energii, která má stejnou formu jako v klasické fyzice:

{ displaystyle E = T , rightarrow , { frac { hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} = hbar omega}

Co se týče Všechno bez kvantových částic nebo vázaný, Heisenbergovy zásady nejistoty ${ displaystyle Delta p_ {x} Delta x geq { frac { hbar} {2}}}$ aplikovat. Je jasné, že protože rovinná vlna má určitou hybnost (určitou energii), je pravděpodobnost nalezení polohy částice v celém prostoru stejnoměrná a zanedbatelná. Jinými slovy, vlnová funkce není v euklidovském prostoru normalizovatelná, tyto stacionární nemohou odpovídat fyzickým realizovatelným stavům. ^[1]

Měření a výpočty

Integrál funkce hustoty pravděpodobnosti

{ displaystyle rho ( mathbf {r}, t) = psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) psi ( mathbf {r}, t) = | psi ( mathbf {r }, t) | ^ {2}}

kde * označuje komplexní konjugát, nad celým prostorem je pravděpodobnost nalezení částice v celém prostoru, což musí být jednota, pokud částice existuje:

{ displaystyle int _ { mathrm {all , mezera}} | psi ( mathbf {r}, t) | ^ {2} d ^ {3} mathbf {r} = 1}

Toto je podmínka normalizace vlnové funkce. Vlnová funkce není normalizovatelná pro rovinnou vlnu, ale je pro a balíček.

Zvyšující se množství lokalizace balíčku vln, což znamená, že částice bude více lokalizována.

V limitu ħ → 0, bude přesně známa poloha a hybnost částice.

Interpretace vlnové funkce pro jednu částici spin-0 v jedné dimenzi. Zobrazené vlnové funkce jsou spojité, konečné, jednohodnotové a normalizované. Barevná neprůhlednost (%) částic odpovídá hustotě pravděpodobnosti (která může měřit v%) nalezení částice v bodech na ose x.

Fourierův rozklad

Funkce vln volných částic může být reprezentována superpozicí hybnost vlastní funkce s koeficienty danými Fourierova transformace počáteční vlnové funkce:^[2]

{ displaystyle psi ( mathbf {r}, t) = { frac {1} {({ sqrt {2 pi}}) ^ {3}}} int _ { mathrm {vše , { textbf {k}} , mezera}} { hat { psi}} _ {0} ( mathbf {k}) e ^ {i ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)} d ^ {3} mathbf {k}}

kde je integrál nade vše k-prostor a ${ displaystyle omega = omega ( mathbf {k}) = { frac { hbar mathbf {k} ^ {2}} {2m}}}$ (aby bylo zajištěno, že vlnový paket je řešením Schrödingerovy rovnice volných částic). Tady ${ displaystyle psi _ {0}}$ je hodnota vlnové funkce v čase 0 a ${ displaystyle { hat { psi}} _ {0}}$ je Fourierova transformace ${ displaystyle psi _ {0}}$ . (Fourierova transformace ${ displaystyle { hat { psi}} _ {0} ( mathbf {k})}$ je v podstatě funkce hybnosti funkce poziční vlny ${ displaystyle psi _ {0} ( mathbf {r})}$ , ale napsáno jako funkce ${ displaystyle mathbf {k}}$ spíše než ${ displaystyle mathbf {p} = hbar mathbf {k}}$ .)

Očekávaná hodnota hybnosti str pro komplexní rovinnou vlnu je

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = left langle psi left | -i hbar nabla right | psi right rangle = hbar mathbf {k}}

,

a pro obecný vlnový paket to je

{ displaystyle langle mathbf {p} rangle = int _ { mathrm {vše , mezera}} psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) (- i hbar nabla) psi ( mathbf {r}, t) d ^ {3} mathbf {r} = int _ { mathrm {all , { textbf {k}} , mezera}} hbar mathbf {k} | { hat { psi}} _ {0} ( mathbf {k}) | ^ {2} d ^ {3} mathbf {k}}

.

Očekávaná hodnota energie E je

{ displaystyle langle E rangle = left langle psi left | - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} right | psi right rangle = int _ { mathrm {all , space}} psi ^ {*} ( mathbf {r}, t) left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} right) psi ( mathbf {r}, t) d ^ {3} mathbf {r}}

.

Skupinová rychlost a fázová rychlost

Šíření vlnového paketu s pohybem jediného vrcholu zastíněného fialovou barvou. Vrcholy se pohybují fázovou rychlostí, zatímco celkový paket se pohybuje skupinovou rychlostí.

The fázová rychlost je definována jako rychlost, při které se šíří řešení rovinné vlny, a to

{ displaystyle v_ {p} = { frac { omega} {k}} = { frac { hbar k} {2m}} = { frac {p} {2m}}}

.

Všimněte si, že ${ displaystyle { frac {p} {2m}}}$ je ne rychlost klasické částice s hybností ${ displaystyle p}$ ; je to spíše polovina klasické rychlosti.

Mezitím předpokládejme, že funkce počáteční vlny ${ displaystyle psi _ {0}}$ je vlnový paket jehož Fourierova transformace ${ displaystyle { hat { psi}} _ {0}}$ je soustředěna v blízkosti konkrétního vlnového vektoru ${ displaystyle mathbf {k}}$ . Pak skupinová rychlost rovinné vlny je definována jako

{ displaystyle v_ {g} = nabla omega ( mathbf {k}) = { frac { hbar mathbf {k}} {m}} = { frac { mathbf {p}} {m} }}

,

který souhlasí s vzorcem pro klasickou rychlost částice. Skupinová rychlost je (přibližná) rychlost, při které se šíří celý vlnový paket, zatímco fázová rychlost je rychlost, při které se pohybují jednotlivé vrcholy vlnového paketu.^[3] Obrázek ilustruje tento jev, kdy se jednotlivé vrcholy vlnového paketu šíří poloviční rychlostí než celkový paket.

Šíření vlnového balíčku

Pojem skupinové rychlosti je založen na lineární aproximaci disperzního vztahu ${ displaystyle omega (k)}$ blízko konkrétní hodnoty ${ displaystyle k}$ .^[4] V této aproximaci se amplituda vlnového paketu pohybuje rychlostí rovnou rychlosti skupiny beze změny tvaru. Tento výsledek je aproximací, která nedokáže zachytit určité zajímavé aspekty evoluce volné kvantové částice. Je pozoruhodné, že šířka vlnového paketu, měřená nejistotou v poloze, roste lineárně v čase po velké časy. Tento jev se nazývá šíření vlnového paketu pro volnou částici.

Konkrétně není těžké vypočítat přesný vzorec pro nejistotu ${ displaystyle Delta _ { psi (t)} X}$ jako funkce času, kde ${ displaystyle X}$ je operátor polohy. Pro zjednodušení pracujeme v jedné prostorové dimenzi:^[5]

{ displaystyle ( Delta _ { psi (t)} X) ^ {2} = { frac {t ^ {2}} {m ^ {2}}} ( Delta _ { psi _ {0} } P) ^ {2} + { frac {2t} {m}} left ( left langle { frac {XP + PX} {2}} right rangle _ { psi _ {0}} - left langle X right rangle _ { psi _ {0}} left langle P right rangle _ { psi _ {0}} right) + ( Delta _ { psi _ { 0}} X) ^ {2}}

,

kde ${ displaystyle psi _ {0}}$ je funkce časové nulové vlny. Výraz v závorkách ve druhém členu na pravé straně je kvantová kovariance ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle P}$ .

Pro velké pozitivní časy tedy nejistota v ${ displaystyle X}$ roste lineárně s koeficientem ${ displaystyle t}$ rovná ${ displaystyle ( Delta _ { psi _ {0}} P) / m}$ . Pokud hybnost počáteční vlnové funkce ${ displaystyle psi _ {0}}$ je vysoce lokalizovaný, vlnový paket se bude šířit pomalu a aproximace skupinové rychlosti zůstane dlouho dobrá. Tento výsledek intuitivně říká, že pokud má počáteční vlnová funkce velmi ostře definovanou hybnost, pak má částice ostře definovanou rychlost a bude se (s dobrou aproximací) šířit touto rychlostí po dlouhou dobu.

Relativistické kvantové volné částice

Existuje celá řada rovnic popisujících relativistické částice: viz relativistické vlnové rovnice.

Viz také

Reference

Kvantová mechanika, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání)R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
Stacionární státy, A. Holden, College Physics Monographs (USA), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3
Hall, Brian C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN 978-1461471158
Demystifikovaná kvantová mechanika, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546 9
Základní kvantová mechanika, N.F. Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5
Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (USA), 1998, ISBN 007-0540187

Charakteristický

^ „Přednáška 9“ (PDF).
^ Hall 2013 Oddíl 4.1
^ Hall 2013 Oddíly 4.3 a 4.4
^ Hall 2013 Rovnice 4.24
^ Hall 2013 Návrh 4.10

Další čtení

Nový kvantový vesmír, T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1.
Teorie kvantového pole, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 978-007-145533-6

[1] „Přednáška 9“ (PDF).

[2] Hall 2013 Oddíl 4.1

[3] Hall 2013 Oddíly 4.3 a 4.4

[4] Hall 2013 Rovnice 4.24

[5] Hall 2013 Návrh 4.10

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]