Věta o zvonech - Bells theorem - Wikipedia

Bellova věta to dokazuje kvantová fyzika je nekompatibilní s lokální teorie skrytých proměnných. Byl zaveden fyzikem John Stewart Bell v dokumentu z roku 1964 s názvem „Na Paradox Einstein Podolsky Rosen “, s odkazem na rok 1935 myšlenkový experiment že Albert Einstein, Boris Podolský a Nathan Rosen tvrdil, že kvantová fyzika je „neúplná“ teorie.^[1][2] V roce 1935 již bylo zjištěno, že předpovědi kvantové fyziky jsou pravděpodobnostní. Einstein, Podolsky a Rosen představili scénář, který podle jejich názoru naznačoval, že kvantové částice jsou podobné elektrony a fotony, musí nést fyzikální vlastnosti nebo atributy, které nejsou obsaženy v kvantové teorii, a nejistoty v předpovědích kvantové teorie byly způsobeny neznalostí těchto vlastností, později nazývaných „skryté proměnné“. Jejich scénář zahrnuje dvojici široce oddělených fyzických objektů, připravených takovým způsobem, že kvantový stav z páru je zapletený.

Bell provedl analýzu kvantového zapletení mnohem dále. Vyvodil, že pokud se měření provádějí nezávisle na dvou oddělených polovinách páru, pak předpoklad, že výsledky závisí na skrytých proměnných v každé polovině, znamená omezení, jak jsou výsledky na obou polovinách korelovány. Toto omezení by později bylo pojmenováno Bell nerovnost. Bell poté ukázal, že kvantová fyzika předpovídá korelace, které narušují tuto nerovnost. Jediným způsobem, jak by skryté proměnné mohly vysvětlit předpovědi kvantové fyziky, je tedy to, že jsou „nelokální“, nějakým způsobem spojené s oběma polovinami dvojice a schopné okamžitě přenášet vlivy mezi nimi bez ohledu na to, jak jsou obě poloviny odděleny.^[3][4] Jak Bell později napsal: „Je-li [teorie skrytých proměnných] lokální, nebude souhlasit s kvantovou mechanikou a pokud souhlasí s kvantovou mechanikou, nebude lokální.“^[5]

V následujících letech bylo prokázáno několik variací na Bellovu větu, které zavedly další úzce související podmínky obecně známé jako Bell (nebo „Bellův typ“) nerovnosti. To byly experimentálně testováno ve fyzikálních laboratořích mnohokrát od roku 1972. Cílem těchto experimentů bylo často zmírnit problémy experimentálního designu nebo uspořádání, které by mohly v zásadě ovlivnit platnost zjištění dřívějších Bellových testů. Toto se nazývá zavírání mezery v Bell testovacích experimentech "Bellské testy doposud zjistily, že hypotéza místních skrytých proměnných je v rozporu se způsobem, jakým se ve skutečnosti chovají fyzické systémy."^[6][7]

Přesná povaha předpokladů požadovaných k prokázání omezení typu Bell na korelace byla diskutována fyziky a filozofové. I když o významu Bellovy věty není pochyb, jeho úplné důsledky pro interpretace kvantové mechaniky zůstávají nevyřešeny.

Historické pozadí

Na počátku 30. let znepokojovaly filozofické důsledky současných interpretací kvantové teorie mnoho významných fyziků té doby, včetně Albert Einstein. Ve známém článku z roku 1935 Boris Podolský a spoluautoři Einstein a Nathan Rosen (souhrnně "EPR") se snaží demonstrovat Paradox EPR ta kvantová mechanika byla neúplná. To poskytlo naději, že jednoho dne bude možné objevit úplnější (a méně znepokojivou) teorii. Tento závěr však spočíval na zdánlivě rozumných předpokladech lokalita a realismus (společně nazývané „místní realismus“ nebo „místní skryté proměnné ", často zaměnitelně). V lidovém jazyce Einstein: lokalita neznamenalo to okamžitě („strašidelná“) akce na dálku; realismus znamenal, že Měsíc je tam, i když není pozorován. Tyto předpoklady byly v komunitě fyziky živě diskutovány, zejména mezi Einsteinem a Nielsem Bohrem.

Ve svém průkopnickém příspěvku z roku 1964 „O paradoxu Einstein Podolsky Rosen“^[2][8] fyzik John Stewart Bell představil další vývoj založený na roztočit měření na párech zapletených elektronů, hypotetického paradoxu EPR. Použitím jejich uvažování by volba nastavení měření v okolí neměla ovlivnit výsledek měření daleko (a naopak). Poté, co na tomto základě poskytl matematickou formulaci lokality a realismu, ukázal konkrétní případy, kdy by to bylo v rozporu s předpovědi kvantové mechaniky.

V experimentálních testech podle Bellova příkladu, nyní s použitím Kvantové zapletení fotonů místo elektronů, John Clauser a Stuart Freedman (1972) a Alain Aspect et al. (1981) prokázali, že předpovědi kvantové mechaniky jsou v tomto ohledu správné, i když se spoléhají na další neověřitelné předpoklady, které otevírají mezery pro místní realismus. Pozdější experimenty pracovaly na uzavření těchto mezer.^[9][10]

Přehled

Tato sekce příliš se zaměřuje na konkrétní příklady bez vysvětlovat jejich důležitost k jeho hlavnímu předmětu. Prosím pomozte vylepšit tuto sekci citováním spolehlivé, sekundární zdroje že vyhodnotit a syntetizovat tyto nebo podobné příklady v rámci a širší kontext. (Červen 2019)

Věta je obvykle prokázána zvážením kvantové soustavy dvou zapletený qubits s původními testy, jak je uvedeno výše, provedenými na fotonech. Nejběžnější příklady se týkají systémů částic, které jsou zapleteny roztočit nebo polarizace. Kvantová mechanika umožňuje předpovědi korelací, které by byly pozorovány, pokud by tyto dvě částice měly svůj spin nebo polarizaci měřenou v různých směrech. Bell ukázal, že pokud platí teorie místních skrytých proměnných, pak by tyto korelace musely uspokojit určitá omezení, která se nazývají Bellovy nerovnosti.

S dvoustavovými částicemi a pozorovatelnými A, B a C (jako na obrázku) se naruší nerovnost Bellova typu. Podle kvantové mechaniky je součet pravděpodobností k získání stejných výsledků měření různých pozorovatelností 3/4. Ale za předpokladu předem stanovených výsledků (stejných pro stejné pozorovatelné), musí být tento součet alespoň 1, protože v každé dvojici jsou alespoň dvě ze tří pozorovatelných předurčeny jako stejné.

V návaznosti na argument v Paradox Einstein – Podolsky – Rosen (EPR) papír (ale na příkladu odstřeďování, jako v David Bohm Verze argumentu EPR^[11]), Bell považován za myšlenkový experiment ve kterém jsou "dvojice rotujících polovičních částic, které se nějak vytvořily v stav otáčení singletu a volně se pohybovat v opačných směrech. “^[2] Tyto dvě částice cestují od sebe navzájem do dvou vzdálených míst, ve kterých se provádí měření rotace, podél os, které jsou nezávisle zvoleny. Každý měření získá výsledek buď roztočení (+) nebo roztažení (-); to znamená, točit se v kladném nebo záporném směru vybrané osy.

Pravděpodobnost, že stejného výsledku bude dosaženo na dvou místech, závisí na relativních úhlech, ve kterých jsou dvě měření rotace prováděna, a je striktně mezi nulou a jedním pro všechny relativní úhly jiné než dokonale paralelní nebo antiparalelní zarovnání (0 ° nebo 180 ° ). Jelikož je celková momentová hybnost zachována a protože celkový spin je ve stavu singletu nulový, je pravděpodobnost stejného výsledku s paralelním (antiparalelním) zarovnáním 0 (1). Tato poslední předpověď je pravdivá jak klasicky, tak kvantově mechanicky.

Bellova věta se týká korelací definovaných z hlediska průměrů převzatých z mnoha pokusů experimentu. The korelace dvou binárních proměnných je v kvantové fyzice obvykle definován jako průměr součinů dvojic měření. Toto se liší od obvyklé definice korelace ve statistikách. „Korelace“ kvantového fyzika je statistickým „surovým (necentrovaným, nenormalizovaným) produktem okamžik "Jsou si podobné v tom, že s oběma definicemi, pokud jsou páry výsledků vždy stejné, je korelace +1; pokud jsou páry výsledků vždy opačné, korelace je −1; a pokud se páry výsledků shodují 50% času, pak je korelace 0. Korelace jednoduše souvisí s pravděpodobností stejných výsledků, konkrétně se rovná dvojnásobku pravděpodobnosti stejných výsledků, mínus jedna.

Měření rotace z těchto zapletených částic podél antiparalelních směrů (tj. směřujících přesně opačnými směry, možná vyrovnanými nějakou libovolnou vzdáleností) je soubor všech výsledků dokonale korelován. Na druhou stranu, pokud se měření provádějí v paralelních směrech (tj. Směřují přesně ve stejném směru, možná posunutém o libovolnou vzdálenost), vždy přinášejí opačné výsledky a sada měření vykazuje dokonalou antikorelaci. To je v souladu s výše uvedenými pravděpodobnostmi měření stejného výsledku v těchto dvou případech. A konečně, měření v kolmých směrech má 50% šanci na shodu a celková sada měření nesouvisí. Tyto základní případy jsou uvedeny v následující tabulce. Sloupce by měly být čteny jako příklady párů hodnot, které by Alice a Bob mohli zaznamenat s rostoucím časem směrem doprava.

Nejlepší možná lokální realistická imitace (červená) pro kvantovou korelaci dvou otočení ve stavu singletu (modrá), trvající na dokonalé antikorelaci při 0 °, dokonalá korelace při 180 °. Existuje mnoho dalších možností pro klasickou korelaci podle těchto vedlejších podmínek, ale všechny se vyznačují ostrými vrcholy (a údolími) při 0 °, 180 ° a 360 ° a žádná nemá extrémnější hodnoty (± 0,5) při 45 °, 135 °, 225 ° a 315 °. Tyto hodnoty jsou v grafu označeny hvězdičkami a jsou to hodnoty naměřené ve standardním experimentu typu Bell-CHSH: QM umožňuje ±1/√2 = ±0.7071…, místní realismus předpovídá ± 0,5 nebo méně.

S měřeními orientovanými na mezilehlé úhly mezi těmito základními případy by existence lokálních skrytých proměnných mohla souhlasit s / byla by v souladu s lineární závislostí korelace v úhlu, ale podle Bellovy nerovnosti (viz níže) nemohl souhlasit se závislostí předpovězenou kvantově mechanickou teorií, konkrétně s tím, že korelace je negativní kosinus úhlu. Experimentální výsledky odpovídají křivce predikované kvantovou mechanikou.^[3]

V průběhu let prošla Bellova věta celou řadou experimentálních testů. Nicméně různé běžné nedostatky při testování věty byly identifikovány, včetně detekční mezera^[12] a komunikační mezera.^[12] V průběhu let byly experimenty postupně vylepšovány, aby lépe řešily tyto mezery. V roce 2015 byl proveden první experiment, který současně řešil všechny mezery.^[9]

K dnešnímu dni je Bellova věta obecně považována za podporovanou podstatným množstvím důkazů a existuje jen málo příznivců místních skrytých proměnných, ačkoli věta je neustále předmětem studia, kritiky a zdokonalování.^[13][14]

Důležitost

Bellova věta, odvozená z jeho klíčového článku z roku 1964 s názvem „O paradoxu Einstein Podolsky Rosen“,^[2] byl nazýván, za předpokladu, že teorie je správná, „nejhlubší ve vědě“.^[15] Možná stejně důležitá je Bellova záměrná snaha povzbudit a přinést legitimitu pro práci na problémech úplnosti, které se dostaly do dobré pověsti.^[16] Později v životě Bell vyjádřil naději, že taková práce „bude i nadále inspirovat ty, kteří mají podezření, že to, co dokazují důkazy nemožnosti, je nedostatek fantazie.“^[16] N. David Mermin popsal hodnocení důležitosti Bellovy věty ve fyzikální komunitě od „lhostejnosti“ po „divokou extravaganci“.^[17] Henry Stapp prohlásil: „Bellova věta je nejhlubším objevem vědy.“^[18]

Název Bellova klíčového článku odkazuje na dokument z roku 1935 od Einstein, Podolsky a Rosen^[19] která zpochybnila úplnost kvantové mechaniky. Ve své práci Bell vycházel ze stejných dvou předpokladů jako EPR, konkrétně (i) realita (že mikroskopické objekty mají skutečné vlastnosti určující výsledky kvantově mechanických měření) a (ii) lokalita (skutečnost na jednom místě není ovlivněna měřením prováděným současně na vzdáleném místě). Bell dokázal z těchto dvou předpokladů odvodit důležitý výsledek, konkrétně Bellinu nerovnost. Teoretické (a později experimentální) porušení této nerovnosti znamená, že alespoň jeden ze dvou předpokladů musí být nepravdivý.

Ve dvou ohledech byl Bellův dokument z roku 1964 o krok vpřed ve srovnání s dokumentem EPR: zaprvé, zvažoval více skryté proměnné než jen prvek fyzické reality v dokumentu EPR; a Bellova nerovnost byla částečně experimentálně testovatelná, což zvýšilo možnost testování hypotézy místního realismu. Níže jsou uvedena omezení těchto testů. Zatímco Bellův článek pojednává pouze o deterministických teoriích skrytých proměnných, Bellova věta byla později zobecněna na stochastický teorie^[20] a také to bylo realizováno^[21] že věta není ani tak o skrytých proměnných, jako o výsledcích měření, která mohla být provedena namísto skutečně provedeného. Existence těchto proměnných se nazývá předpoklad realismu nebo předpoklad kontrafaktuální jednoznačnost.

Po dokumentu EPR byla kvantová mechanika v neuspokojivé pozici: buď byla neúplná v tom smyslu, že nezohlednila některé prvky fyzikální reality, nebo porušila zásadu rychlosti konečného šíření fyzikálních efektů. V upravené verzi myšlenkového experimentu EPR jsou dva hypotetické pozorovatelé, nyní běžně označované jako Alice a Bob, provádět nezávislá měření spinu na dvojici elektronů, připravená u zdroje ve zvláštním stavu zvaném a spin singlet Stát. Došlo k závěru EPR, že jakmile Alice změří otáčení v jednom směru (např. Na X osa), Bobovo měření v tomto směru je určeno s jistotou jako opačný výsledek než u Alice, zatímco bezprostředně před Aliciným měřením byl Bobův výsledek stanoven pouze statisticky (tj. byla pouze pravděpodobností, nikoli jistotou); tedy buď rotace v každém směru je prvek fyzické realitynebo efekty okamžitě přecházejí z Alice do Boba.

V QM jsou předpovědi formulovány z hlediska pravděpodobnosti - například pravděpodobnost, že elektron bude detekována na konkrétním místě, nebo pravděpodobnost, že její rotace je nahoru nebo dolů. Přetrvávala však myšlenka, že elektron má ve skutečnosti a určitý pozice a rotace a slabinou QM je neschopnost přesně předpovědět tyto hodnoty. Existovala možnost, že nějaká neznámá teorie, například a teorie skrytých proměnných, může být schopen tyto veličiny přesně předpovídat, přičemž je zároveň v naprostém souladu s pravděpodobnostmi předpovězenými QM. Pokud taková teorie skrytých proměnných existuje, pak by QM byla skrytými proměnnými nepopsána, což by byla neúplná teorie.

Místní realismus

Koncept místního realismu je formován tak, aby uváděl a dokazoval Bellovu větu a zobecnění. Společný přístup je následující:

1. Tady je pravděpodobnostní prostor Λ a pozorované výsledky Alice i Boba jsou výsledkem náhodného vzorkování (neznámého, „skrytého“) parametru λ ∈ Λ.
2. Hodnoty pozorované Alice nebo Bobem jsou funkce nastavení lokálního detektoru, stav příchozí události (rotace pro materiál nebo fáze pro foton) a pouze skrytý parametr. Existují tedy funkce A,B : S² × Λ → {-1, +1} , kde je nastavení detektoru modelováno jako umístění na jednotkové kouli S², takový, že
   • Hodnota pozorovaná Alice s nastavením detektoru A je A(A, λ)
   • Hodnota pozorovaná Bobem s nastavením detektoru b je B(b, λ)

Vyžadovala by dokonalá antikorelace B(C, λ) = −A(C, λ), C ∈ S². Implicitní v předpokladu 1) výše, skrytý prostor parametrů Λ má míra pravděpodobnosti μ a očekávání náhodné proměnné X na Λ s ohledem na μ je psáno

${ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ { Lambda} X ( lambda) p ( lambda) , d lambda,}$

kde pro přístupnost notace předpokládáme, že míra pravděpodobnosti má a hustota pravděpodobnosti p to tedy není negativní a integruje se do 1. Skrytý parametr je často považován za přidružený ke zdroji, ale stejně dobře může obsahovat i komponenty spojené se dvěma měřicími zařízeními.

Nerovnosti zvonu

Nerovnosti zvonu se týkají měření prováděných pozorovateli na párech částic, které interagovaly a poté se oddělily. Za předpokladu místního realismu je třeba dodržovat určitá omezení vztahů mezi korelacemi mezi následnými měřeními částic při různých možných nastaveních měření. Nechat A a B být jako výše. Definujte pro současné účely tři korelační funkce:

• Nechat C_E(A, b) označuje experimentálně měřenou korelaci definovanou vztahem

  ${ displaystyle C_ {e} (a, b) = { frac {N _ {++} + N _ {-} - N _ {+ -} - N _ {- +}} {N _ {++} + N_ { -} + N _ {+ -} + N _ {- +}}},}$

kde N₊₊ je počet měření poskytujících "roztočení" ve směru A měřeno Alicí (první dolní index +) a "roztočit se" ve směru b měřeno Bobem. Další výskyty N jsou definovány analogicky. Jinými slovy, tento výraz označuje počet, kolikrát Alice a Bob našli stejnou rotaci, minus počet případů, kdy našli pro danou dvojici úhlů opačnou rotaci, dělenou celkovým počtem měření.

• Nechat C_q(A, b) označit korelaci podle předpovědi kvantové mechaniky. To je dáno výrazem^{[Citace je zapotřebí ]}

  ${ displaystyle C_ {q} (a, b) = left langle Psi left | ({ boldsymbol { sigma}} cdot mathbf {b}) ^ {(2)} ({ boldsymbol { sigma}} cdot mathbf {a}) ^ {(1)} right | Psi right rangle,}$

kde ${ displaystyle Psi}$ je antisymetrická funkce rotace vln, ${ displaystyle { boldsymbol { sigma}}}$ je Pauli vektor. Tato hodnota se počítá jako

${ displaystyle C_ {q} (a, b) = - mathbf {a} cdot mathbf {b}.}$

kde ${ displaystyle mathbf {a}}$ a ${ displaystyle mathbf {b}}$ jsou jednotkové vektory, které představují každé měřicí zařízení a vnitřní produkt ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b}}$ se rovná kosinu úhlu mezi těmito vektory.

• Nechat C_h(A, b) označte korelaci podle předpovědi jakékoli skryté teorie proměnných. Při formalizaci výše je to tak

  ${ displaystyle C_ {h} (a, b) = E (A ( mathbf {a}, lambda) B ( mathbf {b}, lambda)) = int _ { Lambda} A ( mathbf {a}, lambda) B ( mathbf {b}, lambda) p ( lambda) , d lambda.}$

S touto notací lze udělat stručné shrnutí toho, co následuje.

• Teoreticky existuje A, b takhle

${ displaystyle C_ {q} neq C_ {h},}$

bez ohledu na konkrétní vlastnosti teorie skrytých proměnných, pokud se řídí pravidly místního realismu, jak jsou definována výše. To znamená, že žádná lokální teorie skrytých proměnných nemůže dělat stejné předpovědi jako kvantová mechanika.

• Experimentálně případy

${ displaystyle C_ {e} neq C_ {h}}$

byly nalezeny (bez ohledu na teorii skrytých proměnných), ale

${ displaystyle C_ {e} neq C_ {q} quad { text {(nenalezeno)}}}$

nebyl nikdy nalezen. To znamená, že předpovědi kvantové mechaniky nebyly nikdy experimentem zfalšovány. Tyto experimenty zahrnují takové, které mohou vyloučit místní teorie skrytých proměnných. Ale viz níže o možných mezerách.

Nerovnost původního Bell

Nerovnost, kterou Bell odvodil, lze zapsat jako:^[2]

${ displaystyle mid C_ {h} (a, b) -C_ {h} (a, c) mid leq 1 + C_ {h} (b, c),}$

kde a, b a C odkazují na tři libovolná nastavení dvou analyzátorů. Tato nerovnost je však ve své aplikaci omezena na poměrně zvláštní případ, kdy jsou výsledky na obou stranách experimentu vždy přesně antikorelující, kdykoli jsou analyzátory paralelní. Výhodou omezení pozornosti na tento speciální případ je výsledná jednoduchost odvození. V experimentální práci není nerovnost příliš užitečná, protože je těžké, ne-li nemožné, ji vytvořit perfektní antikorelace.

Tato jednoduchá forma má však intuitivní vysvětlení. Je ekvivalentní následujícímu elementárnímu výsledku z teorie pravděpodobnosti. Vezměme si tři (vysoce korelované a pravděpodobně zkreslené) převrácení mincí X, Y, a Z, s vlastností, která:

1. X a Y dát stejný výsledek (obě hlavy nebo oba ocasy) 99% času
2. Y a Z také dát stejný výsledek 99% času,

pak X a Z musí přinést stejný výsledek alespoň v 98% případů. Počet neshod mezi X a Y (1/100) plus počet neshod mezi nimi Y a Z (1/100) jsou společně maximálně možné počet neshod mezi X a Z (jednoduchý Boole – Fréchetova nerovnost ).

Představte si pár částic, které lze měřit na vzdálených místech. Předpokládejme, že měřicí zařízení mají nastavení, která jsou úhly - např. Zařízení měří něco, co se nazývá rotace v určitém směru. Experimentátor volí směry, jeden pro každou částici, zvlášť. Předpokládejme, že výsledek měření je binární (např. Roztočení, roztočení). Předpokládejme, že tyto dvě částice jsou dokonale antikorelované - v tom smyslu, že kdykoli se obě měří stejným směrem, získají se shodně opačné výsledky, když obě naměřené v opačném směru vždy dávají stejný výsledek. Jediným způsobem, jak si představit, jak to funguje, je to, že obě částice opustí svůj společný zdroj s výsledky, které přinášejí, pokud budou měřeny v libovolném směru. (Jak jinak by mohla částice 1 vědět, jak doručit stejnou odpověď jako částice 2, když se měří stejným směrem? Neví předem, jak se budou měřit ...). Měření částice 2 (po přepnutí znaménka) lze považovat za měření, které nám říká, co by dalo stejné měření částice 1.

Začněte jedním nastavením přesně opačným. Všechny páry částic dávají stejný výsledek (každá dvojice se buď roztočí nahoru nebo obě roztočí dolů). Nyní posuňte nastavení Alice o jeden stupeň ve srovnání s Bobovým. Nyní jsou o jeden stupeň přesněji proti sobě. Malý zlomek párů, řekněme F, nyní uveďte různé výsledky. Pokud bychom místo toho nechali Alicino nastavení beze změny, ale posunuli Bobovo o jeden stupeň (v opačném směru), pak zase zlomek F Ukázalo se, že dvojice částic dává různé výsledky. Nakonec zvažte, co se stane, když jsou implementovány oba posuny současně: obě nastavení jsou nyní přesně dva stupně od toho, aby byla naproti sobě. Podle argumentu nesoulad nemůže být šance na nesoulad na dvou stupních větší než dvojnásobek šance na nesoulad na jednom stupni: nemůže být více než 2F.

Porovnejte to s předpovědi kvantové mechaniky pro stav singletu. Pro malý úhel θ, měřeno v radiánech, je šance na jiný výsledek přibližně ${ displaystyle f_ {1} = theta ^ {2} / 4}$ jak vysvětlil aproximace v malém úhlu. Při dvojnásobku tohoto malého úhlu je tedy šance na nesoulad asi 4krát větší ${ displaystyle f_ {2} = (2 theta) ^ {2} / 4 = 2 ^ {2} theta ^ {2} / 4 přibližně 4f_ {1}}$. Ale my jsme jen tvrdili, že to nemůže být více než 2krát tak velké.

Tato intuitivní formulace je způsobena David Mermin. O limitu malého úhlu pojednává Bellův původní článek, a proto se vrací zpět k původu Bellových nerovností.^{[Citace je zapotřebí ]}

Nerovnost CHSH

Zevšeobecnění Bellovy původní nerovnosti,^[2] John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony a R. A. Holt představili Nerovnost CHSH,^[22] který klade klasické limity na sadu čtyř korelací v experimentu Alice a Boba bez jakéhokoli předpokladu dokonalých korelací (nebo antikorelací) při stejném nastavení

${ displaystyle (1) quad C_ {h} (a, b) + C_ {h} (a, b ') + C_ {h} (a', b) -C_ {h} (a ', b' ) leq 2.}$

Zvláštní volba ${ displaystyle a '= b + pi}$, označující ${ displaystyle b '= c}$, a za předpokladu dokonalé antikorelace při stejném nastavení, proto dokonalá korelace při opačném nastavení ${ displaystyle rho (a, a + pi) = 1}$ a ${ displaystyle rho (b, a + pi) = - rho (b, a)}$, nerovnost CHSH se snižuje na původní Bell nerovnost. V dnešní době (1) se také často jednoduše nazývá „Bellská nerovnost“, ale někdy úplněji „Bell-CHSH nerovnost“.

Odvození klasické vazby

Se zkrácenou notací

${ displaystyle A = A (a, lambda), A '= A (a', lambda), B = B (b, lambda), B '= B (b', lambda),}$

nerovnost CHSH lze odvodit následovně. Každá ze čtyř veličin je ${ displaystyle pm 1}$ a každý závisí na ${ displaystyle lambda}$. Z toho vyplývá, že pro všechny ${ displaystyle lambda v Lambda}$, jeden z ${ displaystyle B + B '}$ a ${ displaystyle B-B '}$ je nula a druhá je ${ displaystyle pm 2}$. Z toho vyplývá, že

${ displaystyle AB + AB '+ A'B-A'B' = A (B + B ') + A' (B-B ') leq 2,}$

a proto

${ displaystyle { begin {zarovnáno} C_ {h} (a, b) + C_ {h} (a, b ') + C_ {h} (a', b) -C_ {h} (a ', b ') & = int _ { Lambda} ABp , d lambda + int _ { Lambda} AB'p , d lambda + int _ { Lambda} A'Bp , d lambda - int _ { Lambda} A'B'p , d lambda & = int _ { Lambda} (AB + AB '+ A'B-A'B') p , d lambda & = int _ { Lambda} (A (B + B ') + A' (B-B ')) p , d lambda leq 2. end {zarovnáno}}}$

Jádrem této derivace je jednoduchá algebraická nerovnost týkající se čtyř proměnných, ${ displaystyle A, A ', B, B'}$, které berou hodnoty ${ displaystyle pm 1}$ pouze:

${ displaystyle AB + AB '+ A'B-A'B' = A (B + B ') + A' (B-B ') leq 2.}$

Je vidět, že nerovnost CHSH závisí pouze na následujících třech klíčových rysech místní teorie skrytých proměnných: (1) realismus: vedle výsledků skutečně provedených měření existují současně i výsledky potenciálně provedených měření; (2) lokalita, výsledky měření na Alicině částici nezávisí na tom, které měření se Bob rozhodne provést na druhé částici; (3) svoboda: Alice a Bob si mohou skutečně svobodně vybrat, která měření budou provádět.

The realismus předpoklad je ve skutečnosti poněkud idealistický a Bellova věta dokazuje pouze nelokalitu s ohledem na proměnné, které existovat z metafyzických důvodů^{[Citace je zapotřebí ]}. Před objevem kvantové mechaniky však realismus i lokalita byly zcela kontroverzními rysy fyzikálních teorií.

Kvantové mechanické předpovědi porušují nerovnosti CHSH

Měření prováděná Alice a Bobem jsou měření spinů na elektronech. Alice si může vybrat mezi dvěma označenými nastaveními detektoru ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle a '}$; tato nastavení odpovídají měření rotace podél ${ displaystyle z}$ nebo ${ displaystyle x}$ osa. Bob si může vybrat ze dvou označených nastavení detektoru ${ displaystyle b}$ a ${ displaystyle b '}$; to odpovídá měření rotace podél ${ displaystyle z '}$ nebo ${ displaystyle x '}$ osa, kde ${ displaystyle x'-z '}$ souřadnicový systém je otočen o 135 ° vzhledem k ${ displaystyle x-z}$ souřadnicový systém. Pozorovatelné rotace jsou reprezentovány maticemi 2 × 2 se samočinným spojením:

${ displaystyle S_ {x} = { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {bmatrix}}, quad S_ {z} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}} }$

Tohle jsou Pauli spin matice, o kterých je známo, že mají vlastní hodnoty rovna ${ displaystyle pm 1}$. Jak je obvyklé, použijeme braketová notace označit vlastní vektory ${ displaystyle S_ {z}}$ tak jako ${ displaystyle | 0 rangle, | 1 rangle}$, kde

$${ displaystyle | 0 rangle equiv { begin {pmatrix} 1 0 end {pmatrix}}, qquad | 1 rangle equiv { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}} .}$$

${ displaystyle | Phi ^ {-} rangle}$

$${ displaystyle | Phi ^ {-} rangle equiv { frac {1} { sqrt {2}}} left (| 0,1 rangle - | 1,0 rangle right),}$$

${ displaystyle | 0,1 rangle equiv | 0 rangle otimes | 1 rangle, | 1,0 rangle equiv | 1 rangle otimes | 0 rangle.}$

Podle kvantové mechaniky je volba měření zakódována do volby hermitovských operátorů aplikovaných na tento stav. Zvažte zejména následující operátory:

$${ displaystyle { begin {aligned} A (a) & = S_ {z} otimes I A (a ') & = S_ {x} otimes I B (b) & = { frac { -1} { sqrt {2}}} I otimes (S_ {z} + S_ {x}) B (b ') & = { frac {1} { sqrt {2}}} I otimes (S_ {z} -S_ {x}), end {aligned}}}$$

kde ${ displaystyle A (a), A (a ')}$ představují dvě možnosti měření Alice a ${ displaystyle B (b), B (b ')}$ dvě možnosti měření Boba.

K získání očekávané hodnoty dané danou volbou měření Alice a Boba je třeba vypočítat očekávanou hodnotu odpovídající dvojice operátorů (například ${ displaystyle A (a) B (b)}$ pokud jsou zvoleny vstupy ${ displaystyle a, b}$) přes sdílený stav ${ displaystyle | Phi ^ {-} rangle}$.

Například hodnota očekávání ${ displaystyle langle A (a) B (b) rangle}$ odpovídá Alice, která zvolila nastavení měření ${ displaystyle a}$ a Bob zvolí nastavení měření ${ displaystyle b}$ se počítá jako

$${ displaystyle langle A (a) B (b) rangle equiv langle Phi ^ {-} | left ({ frac {-1} { sqrt {2}}} S_ {z} otimes (S_ {x} + S_ {z}) right) | Phi ^ {-} rangle = - { frac {1} {2}} langle Phi ^ {-} | { Big [} | 0 rangle otimes (| 0 rangle - | 1 rangle) + | 1 rangle otimes (| 1 rangle + | 0 rangle) { Big]} = { frac {1} { sqrt { 2}}}.}$$

$${ displaystyle { begin {zarovnáno} vlevo langle A (a) B (b) vpravo rangle = vlevo langle A (a ') B (b) vpravo rangle = vlevo langle A ( a ') B (b') right rangle & = { frac {1} { sqrt {2}}} left langle A (a) B (b ') right rangle & = - { frac {1} { sqrt {2}}}. end {zarovnáno}}}$$

${ displaystyle S}$

${ Displaystyle left langle A (a) B (b) right rangle + left langle A (a ') B (b') right rangle + left langle A left (a ' right) B (b) right rangle - left langle A (a) B (b ') right rangle = { frac {4} { sqrt {2}}} = 2 { sqrt {2 }}> 2.}$

Bell's Theorem: If the quantum mechanical formalism is correct, then the system consisting of a pair of entangled electrons cannot satisfy the principle of local realism. Všimněte si, že ${ displaystyle 2 { sqrt {2}}}$ is indeed the upper bound for quantum mechanics called Tsirelson's bound. The operators giving this maximal value are always izomorfní to the Pauli matrices.^[23]

Testing by practical experiments

Scheme of a "two-channel" Bell test
The source S produces pairs of "photons", sent in opposite directions. Each photon encounters a two-channel polariser whose orientation (a or b) can be set by the experimenter. Emerging signals from each channel are detected and coincidences of four types (++, −−, +− and −+) counted by the coincidence monitor.

Experimental tests can determine whether the Bell inequalities required by local realism hold up to the empirical evidence.

Actually, most experiments have been performed using polarization of photons rather than spin of electrons (or other spin-half particles). The quantum state of the pair of entangled photons is not the singlet state, and the correspondence between angles and outcomes is different from that in the spin-half set-up. The polarization of a photon is measured in a pair of perpendicular directions. Relative to a given orientation, polarization is either vertical (denoted by V or by +) or horizontal (denoted by H or by -). The photon pairs are generated in the quantum state

${displaystyle {frac {1}{sqrt {2}}}left(|V angle otimes |V angle +|H angle otimes |H angle ight)}$

kde ${ displaystyle | V rangle}$ a ${ displaystyle | H rangle}$ denotes the state of a single vertically or horizontally polarized photon, respectively (relative to a fixed and common reference direction for both particles).

When the polarization of both photons is measured in the same direction, both give the same outcome: perfect correlation. When measured at directions making an angle 45° with one another, the outcomes are completely random (uncorrelated). Measuring at directions at 90° to one another, the two are perfectly anti-correlated. In general, when the polarizers are at an angle θ to one another, the correlation is cos(2θ). So relative to the correlation function for the singlet state of spin half particles, we have a positive rather than a negative cosine function, and angles are halved: the correlation is periodic with period π namísto 2π.

Bell's inequalities are tested by "coincidence counts" from a Bell test experiment such as the optical one shown in the diagram. Pairs of particles are emitted as a result of a quantum process, analysed with respect to some key property such as polarisation direction, then detected. The setting (orientations) of the analysers are selected by the experimenter.

Bell test experiments to date overwhelmingly violate Bell's inequality.

Two classes of Bell inequalities

The fair sampling problem was faced openly in the 1970s. In early designs of their 1973 experiment, Freedman and Clauser^[24] použitý fair sampling in the form of the Clauser–Horne–Shimony–Holt (CHSH^[22]) hypothesis. However, shortly afterwards Clauser and Horne^[20] made the important distinction between inhomogeneous (IBI) and homogeneous (HBI) Bell inequalities. Testing an IBI requires that we compare certain coincidence rates in two separated detectors with the singles rates of the two detectors. Nobody needed to perform the experiment, because singles rates with all detectors in the 1970s were at least ten times all the coincidence rates. So, taking into account this low detector efficiency, the QM prediction actually satisfied the IBI. To arrive at an experimental design in which the QM prediction violates IBI we require detectors whose efficiency exceeds 82.8% for singlet states,^[25] but have very low dark rate and short dead and resolving times. However, Eberhard (1976) discovered that with a variant of the Clauser-Horne inequality, and using less than maximally entangled states, only 66.67% detection efficiency was required. This was achieved in 2015 by two successful “loophole-free” Bell-type experiments, in Vienna (Giustina er al.) and at NIST in Boulder, Colorado (Shalm te al.) [references to be added].

Practical challenges

Because, at that time, even the best detectors didn't detect a large fraction of all photons, Clauser and Horne^[20] recognized that testing Bell's inequality required some extra assumptions. Představili No Enhancement Hypothesis (NEH):

A light signal, originating in an atomic cascade for example, has a certain probability of activating a detector. Then, if a polarizer is interposed between the cascade and the detector, the detection probability cannot increase.

Given this assumption, there is a Bell inequality between the coincidence rates with polarizers and coincidence rates without polarizers.

The experiment was performed by Freedman and Clauser,^[24] who found that the Bell's inequality was violated. So the no-enhancement hypothesis cannot be true in a local hidden variables model.

While early experiments used atomic cascades, later experiments have used parametric down-conversion, following a suggestion by Reid and Walls,^[26] giving improved generation and detection properties. As a result, recent experiments with photons no longer have to suffer from the detection loophole. This made the photon the first experimental system for which all main experimental loopholes were surmounted, although at first only in separate experiments. From 2015, experimentalists were able to surmount all the main experimental loopholes simultaneously; vidět Bell testovací experimenty.

Interpretations of Bell's theorem

Non-local hidden variables

Most advocates of the hidden-variables idea believe that experiments have ruled out local hidden variables. They are ready to give up locality, explaining the violation of Bell's inequality by means of a non-local hidden variable theory, in which the particles exchange information about their states. To je základ Bohm interpretation of quantum mechanics, which requires that all particles in the universe be able to instantaneously exchange information with all others. A 2007 experiment ruled out a large class of non-Bohmian non-local hidden variable theories.^[27]

Transactional interpretation of quantum mechanics

If the hidden variables can communicate with each other faster than light, Bell's inequality can easily be violated. Once one particle is measured, it can communicate the necessary correlations to the other particle. Since in relativity the notion of simultaneity is not absolute, this is unattractive. One idea is to replace instantaneous communication with a process that travels backwards in time along the past světelný kužel. This is the idea behind a transakční interpretace of quantum mechanics, which interprets the statistical emergence of a quantum history as a gradual coming to agreement between histories that go both forward and backward in time.^[28]

Many-worlds interpretation of quantum mechanics

The Many-Worlds interpretation is local and deterministic, as it consists of the unitary part of quantum mechanics without collapse. It can generate correlations that violate a Bell inequality because it doesn't satisfy the implicit assumption that Bell made that measurements have a single outcome. In fact, Bell's theorem can be proven in the Many-Worlds framework from the assumption that a measurement has a single outcome. Therefore a violation of a Bell inequality can be interpreted as a demonstration that measurements have multiple outcomes.^[29]

The explanation it provides for the Bell correlations is that when Alice and Bob make their measurements, they split into local branches. From the point of view of each copy of Alice, there are multiple copies of Bob experiencing different results, so Bob cannot have a definite result, and the same is true from the point of view of each copy of Bob. They will obtain a mutually well-defined result only when their future light cones overlap. At this point we can say that the Bell correlation starts existing, but it was produced by a purely local mechanism. Therefore the violation of a Bell inequality cannot be interpreted as a proof of non-locality.^[30]

Superdeterminism

Bell himself summarized one of the possible ways to address the theorem, superdeterminism, in a 1985 BBC Radio interview:

There is a way to escape the inference of superluminální speeds and spooky action at a distance. But it involves absolute determinismus in the universe, the complete absence of svobodná vůle. Suppose the world is super-deterministic, with not just inanimate nature running on behind-the-scenes clockwork, but with our behavior, including our belief that we are free to choose to do one experiment rather than another, absolutely predetermined, including the 'decision' by the experimenter to carry out one set of measurements rather than another, the difficulty disappears. There is no need for a faster-than-light signal to tell particle A what measurement has been carried out on particle B, because the universe, including particle A, already 'knows' what that measurement, and its outcome, will be.^[31]

A few advocates of deterministic models have not given up on local hidden variables. Například, Gerard 't Hooft has argued that the aforementioned superdeterminism loophole cannot be dismissed.^[32] Pro teorie skrytých proměnných, if Bell's conditions are correct, the results that agree with quantum mechanical theory appear to indicate superluminální (faster-than-light) effects, in contradiction to relativistic physics.

There have also been repeated claims that Bell's arguments are irrelevant because they depend on hidden assumptions that, in fact, are questionable. Například, E. T. Jaynes^[33] argued in 1989 that there are two hidden assumptions in Bell's theorem that limit its generality. According to Jaynes:

1. Bell interpreted conditional probability P(X | Y) as a causal influence, i.e. Y exerted a causal influence on X in reality. This interpretation is a misunderstanding of probability theory. As Jaynes shows,^[33] "one cannot even reason correctly in so simple a problem as drawing two balls from Bernoulli's Urn, if he interprets probabilities in this way."
2. Bell's inequality does not apply to some possible hidden variable theories. It only applies to a certain class of local hidden variable theories. In fact, it might have just missed the kind of hidden variable theories that Einstein is most interested in.

Richard D. Gill claimed that Jaynes misunderstood Bell's analysis. Gill points out that in the same conference volume in which Jaynes argues against Bell, Jaynes confesses to being extremely impressed by a short proof by Steve Gull presented at the same conference, that the singlet correlations could not be reproduced by a computer simulation of a local hidden variables theory.^[34] According to Jaynes (writing nearly 30 years after Bell's landmark contributions), it would probably take us another 30 years to fully appreciate Gull's stunning result.

In 2006 a flurry of activity about implications for determinism arose with John Horton Conway a Simon B. Kochen je free will theorem,^[35] which stated "the response of a spin 1 particle to a triple experiment is free—that is to say, is not a function of properties of that part of the universe that is earlier than this response with respect to any given inertial frame."^[36] This theorem raised awareness of a tension between determinism fully governing an experiment (on the one hand) and Alice and Bob being free to choose any settings they like for their observations (on the other).^[37][38] The philosopher David Hodgson supports this theorem as showing that determinism is nevědecký, thereby leaving the door open for our own free will.^[39]

General remarks

The violations of Bell's inequalities, due to quantum entanglement, provide near definitive demonstrations of something that was already strongly suspected: that quantum physics cannot be represented by any version of the classical picture of physics.^[40] Some earlier elements that had seemed incompatible with classical pictures included doplňkovost a zhroucení vlnové funkce. The Bell violations show that no resolution of such issues can avoid the ultimate strangeness of quantum behavior.^[41]

The EPR paper "pinpointed" the unusual properties of the entangled states, např. the above-mentioned singlet state, which is the foundation for present-day applications of quantum physics, such as kvantová kryptografie; one application involves the measurement of quantum entanglement as a physical source of bits for Rabin's lhostejný přenos protokol. This non-locality was originally supposed to be illusory, because the standard interpretation could easily do away with action-at-a-distance by simply assigning to each particle definite spin-states for all possible spin directions. The EPR argument was: therefore these definite states exist, therefore quantum theory is incomplete in the EPR sense, since they do not appear in the theory. Bell's theorem showed that the "entangledness" prediction of quantum mechanics has a degree of non-locality that cannot be explained away by any classical theory of local hidden variables.

What is powerful about Bell's theorem is that it doesn't refer to any particular theory of local hidden variables. It shows that nature violates the most general assumptions behind classical pictures, not just details of some particular models. No combination of local deterministic and local random hidden variables can reproduce the phenomena predicted by quantum mechanics and repeatedly observed in experiments.^[42]

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

The following are intended for general audiences.

• Amir D. Aczel, Entanglement: The greatest mystery in physics (Four Walls Eight Windows, New York, 2001).
• A. Afriat and F. Selleri, The Einstein, Podolsky and Rosen Paradox (Plenum Press, New York and London, 1999)
• J. Baggott, The Meaning of Quantum Theory (Oxford University Press, 1992)
• N. David Mermin, "Is the moon there when nobody looks? Reality and the quantum theory", in Fyzika dnes, April 1985, pp. 38–47.
• Louisa Gilder, The Age of Entanglement: When Quantum Physics Was Reborn (New York: Alfred A. Knopf, 2008)
• Brian Greene, Tkanina vesmíru (Vintage, 2004, ISBN  0-375-72720-5)
• Nick Herbert, Kvantová realita: Za novou fyzikou (Anchor, 1987, ISBN  0-385-23569-0)
• D. Wick, The infamous boundary: seven decades of controversy in quantum physics (Birkhauser, Boston 1995)
• R. Anton Wilson, Prometheus stoupá (New Falcon Publications, 1997, ISBN  1-56184-056-4)
• Gary Zukav "The Dancing Wu Li Masters " (Perennial Classics, 2001, ISBN  0-06-095968-1)
• Goldstein, Sheldon; et al. (2011). "Bell's theorem". Scholarpedia. 6 (10): 8378. Bibcode:2011SchpJ...6.8378G. doi:10.4249/scholarpedia.8378.
• Mermin, N. D. (1981). "Bringing home the atomic world: Quantum mysteries for anybody". American Journal of Physics. 49 (10): 940–943. Bibcode:1981AmJPh..49..940M. doi:10.1119/1.12594. S2CID  122724592.

externí odkazy

• Mermin: Spooky Actions At A Distance? Oppenheimer Lecture
• Quantum Entanglement, by Dr Andrew H. Thomas.
• Bellův teorém s Easy Math, David R. Schneider. Další jednoduché vysvětlení Belliny nerovnosti.
• Interaktivní experimenty s jednotlivými fotony: zapletení a Bellova věta
• Článek o Bellově teorému ve Stanfordské encyklopedii filozofie od Abnera Shimonyho
• „Bellova věta“. Internetová encyklopedie filozofie.
• "Nerovnosti zvonu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Strašidelná akce na dálku: vysvětlení Bellovy věty