Konzervované množství - Conserved quantity

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Konzervované množství“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, a konzervované množství a dynamický systém je funkcí závislých proměnných, jejichž hodnota zůstává konstantní podél každé trajektorie systému.^[1]

Ne všechny systémy mají konzervované veličiny a konzervované veličiny nejsou jedinečné, protože na konzervovanou veličinu lze vždy použít funkci, jako je přidání čísla.

Protože mnoho zákony fyziky vyjádřit nějaký druh zachování, konzervativní veličiny běžně existují v matematických modelech fyzikálních systémů. Například jakýkoli klasická mechanika model bude mít mechanická energie jako konzervované množství, pokud jsou zapojené síly konzervativní.

Diferenciální rovnice

Pro systém první objednávky diferenciální rovnice

${ displaystyle { frac {d mathbf {r}} {dt}} = mathbf {f} ( mathbf {r}, t)}$

kde tučně označuje vektor veličiny, skalární funkce H(r) je konzervované množství systému, pokud po celou dobu a počáteční podmínky v nějaké konkrétní doméně,

${ displaystyle { frac {dH} {dt}} = 0}$

Všimněte si, že pomocí pravidlo vícerozměrného řetězce,

${ displaystyle { frac {dH} {dt}} = nabla H cdot { frac {d mathbf {r}} {dt}} = nabla H cdot mathbf {f} ( mathbf {r }, t)}$

aby mohla být definice zapsána jako

${ displaystyle nabla H cdot mathbf {f} ( mathbf {r}, t) = 0}$

který obsahuje informace specifické pro systém a může být užitečné při hledání konzervovaných veličin nebo stanovení, zda konzervované množství existuje či nikoli.

Hamiltoniánská mechanika

Pro systém definovaný Hamiltonian H, funkce F zobecněných souřadnic q a zobecněný moment str má časový vývoj

${ displaystyle { frac { mathrm {d} f} { mathrm {d} t}} = {f, { mathcal {H}} } + { frac { parciální f} { parciální t }}}$

a proto je zachována právě tehdy ${ displaystyle {f, { mathcal {H}} } + { frac { částečné f} { částečné t}} = 0}$. Tady ${ displaystyle {f, { mathcal {H}} }}$ označuje Poissonova závorka.

Lagrangian mechanika

Předpokládejme, že systém je definován Lagrangian L se zobecněnými souřadnicemi q. Li L nemá žádnou výslovnou časovou závislost (takže ${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné t}} = 0}$), pak energie E definován

${ displaystyle E = sum _ {i} left [{ dot {q}} _ {i} { frac { částečné L} { částečné { dot {q}} _ {i}}} vpravo] -L}$

je zachována.

Kromě toho, pokud ${ displaystyle { frac { částečné L} { částečné q}} = 0}$, pak q se říká, že je to cyklická souřadnice a zobecněná hybnost str definován

${ displaystyle p = { frac { částečné L} { částečné { tečka {q}}}}}$

je zachována. To lze odvodit pomocí Euler-Lagrangeovy rovnice.

Viz také

• Konzervativní systém
• Lyapunovova funkce
• Hamiltonovský systém
• Zákon o ochraně přírody
• Noetherova věta
• Poplatek (fyzika)
• Invariant (fyzika)

Reference