Matematické pojmy Aplikace ve fyzice
The Diracova rovnice jako relativistické rovnice, která popisuje pin 1/2 částic v kvantová mechanika , lze psát ve smyslu Algebra fyzického prostoru (APS), což je případ a Cliffordova algebra nebo geometrická algebra který je založen na použití paravektory .
Přečte Diracova rovnice v APS, včetně elektromagnetické interakce
i ∂ ¯ Ψ E 3 + E A ¯ Ψ = m Ψ ¯ † { displaystyle i { bar { částečné}} Psi mathbf {e} _ {3} + e { bar {A}} Psi = m { bar { Psi}} ^ { dagger}} Další formu Diracovy rovnice z hlediska časoprostorové algebry dal dříve David Hestenes .
Obecně má Diracova rovnice ve formalismu geometrické algebry tu výhodu, že poskytuje přímou geometrickou interpretaci.
Vztah se standardním formulářem The spinor lze zapsat na nulu jako
Ψ = ψ 11 P 3 − ψ 12 P 3 E 1 + ψ 21 E 1 P 3 + ψ 22 P ¯ 3 , { displaystyle Psi = psi _ {11} P_ {3} - psi _ {12} P_ {3} mathbf {e} _ {1} + psi _ {21} mathbf {e} _ { 1} P_ {3} + psi _ {22} { bar {P}} _ {3},} taková, že reprezentace spinoru z hlediska Pauliho matice je
Ψ → ( ψ 11 ψ 12 ψ 21 ψ 22 ) { displaystyle Psi rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {11} & psi _ {12} psi _ {21} & psi _ {22} end {pmatrix}}} Ψ ¯ † → ( ψ 22 ∗ − ψ 21 ∗ − ψ 12 ∗ ψ 11 ∗ ) { displaystyle { bar { Psi}} ^ { dagger} rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {22} ^ {*} & - psi _ {21} ^ {*} - psi _ {12} ^ {*} & psi _ {11} ^ {*} end {pmatrix}}} Standardní tvar Diracovy rovnice lze získat rozložením spinoru v jeho pravých a levých komponentách spinoru, které jsou extrahovány pomocí projektoru
P 3 = 1 2 ( 1 + E 3 ) , { displaystyle P_ {3} = { frac {1} {2}} (1+ mathbf {e} _ {3}),} takhle
Ψ L = Ψ ¯ † P 3 { displaystyle Psi _ {L} = { bar { Psi}} ^ { dagger} P_ {3}} Ψ R = Ψ P 3 { displaystyle Psi _ {R} = Psi P_ {3} ^ {}} s následující maticovou reprezentací
Ψ L → ( ψ 22 ∗ 0 − ψ 12 ∗ 0 ) { displaystyle Psi _ {L} rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {22} ^ {*} & 0 - psi _ {12} ^ {*} & 0 end {pmatrix}}} Ψ R → ( ψ 11 0 ψ 21 0 ) { displaystyle Psi _ {R} rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {11} & 0 psi _ {21} & 0 end {pmatrix}}} Diracova rovnice může být také zapsána jako
i ∂ Ψ ¯ † E 3 + E A Ψ ¯ † = m Ψ { displaystyle i částečný { bar { Psi}} ^ { dagger} mathbf {e} _ {3} + eA { bar { Psi}} ^ { dagger} = m Psi} Bez elektromagnetické interakce se získá následující rovnice ze dvou ekvivalentních forem Diracovy rovnice
( 0 i ∂ ¯ i ∂ 0 ) ( Ψ ¯ † P 3 Ψ P 3 ) = m ( Ψ ¯ † P 3 Ψ P 3 ) { displaystyle { begin {pmatrix} 0 & i { bar { částečné}} i částečné & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { bar { Psi}} ^ { dagger} P_ {3} Psi P_ {3} end {pmatrix}} = m { begin {pmatrix} { bar { Psi}} ^ { dagger} P_ {3} Psi P_ {3} end {pmatrix}}} aby
( 0 i ∂ 0 + i ∇ i ∂ 0 − i ∇ 0 ) ( Ψ L Ψ R ) = m ( Ψ L Ψ R ) { displaystyle { begin {pmatrix} 0 & i částečný _ {0} + i nabla i částečný _ {0} -i nabla & 0 end {pmatrix}} { začátek {pmatrix} Psi _ { L} Psi _ {R} end {pmatrix}} = m { begin {pmatrix} Psi _ {L} Psi _ {R} end {pmatrix}}} nebo v maticové reprezentaci
i ( ( 0 1 1 0 ) ∂ 0 + ( 0 σ − σ 0 ) ⋅ ∇ ) ( ψ L ψ R ) = m ( ψ L ψ R ) , { displaystyle i left ({ begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} částečný _ {0} + { begin {pmatrix} 0 & sigma - sigma & 0 end {pmatrix} } cdot nabla right) { begin {pmatrix} psi _ {L} psi _ {R} end {pmatrix}} = m { begin {pmatrix} psi _ {L} psi _ {R} end {pmatrix}},} kde druhý sloupec pravého a levého spinoru lze vynechat definováním chirálních spinorů jednoho sloupce jako
ψ L → ( ψ 22 ∗ − ψ 12 ∗ ) { displaystyle psi _ {L} rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {22} ^ {*} - psi _ {12} ^ {*} end {pmatrix}}} ψ R → ( ψ 11 ψ 21 ) { displaystyle psi _ {R} rightarrow { begin {pmatrix} psi _ {11} psi _ {21} end {pmatrix}}} Standardní relativistický kovarianční tvar Diracova rovnice ve Weylově vyjádření lze snadno identifikovat i y μ ∂ μ ψ = m ψ , { displaystyle i gamma ^ { mu} částečný _ { mu} psi = m psi,}
ψ = ( ψ 22 ∗ − ψ 12 ∗ ψ 11 ψ 21 ) { displaystyle psi _ {=} { začátek {pmatrix} psi _ {22} ^ {*} - psi _ {12} ^ {*} psi _ {11} psi _ {21} end {pmatrix}}} Vzhledem k tomu, dva rotory Ψ { displaystyle Psi} Φ { displaystyle Phi} ψ { displaystyle psi} ϕ { displaystyle phi}
ϕ † y 0 ψ = ⟨ Φ ¯ Ψ + ( Ψ ¯ Φ ) † ⟩ S { displaystyle phi ^ { dagger} gamma ^ {0} psi = langle { bar { Phi}} Psi + ({ bar { Psi}} Phi) ^ { dagger} rangle _ {S}} takhle
ψ † y 0 ψ = 2 ⟨ Ψ ¯ Ψ ⟩ S R { displaystyle psi ^ { dagger} gamma ^ {0} psi = 2 langle { bar { Psi}} Psi rangle _ {SR}} Elektromagnetický měřič Diracova rovnice je neměnná pod globální pravou rotací aplikovanou na spinor typu
Ψ → Ψ ′ = Ψ R 0 { displaystyle Psi rightarrow Psi ^ { prime} = Psi R_ {0}} takže kinetický člen Diracovy rovnice se transformuje jako
i ∂ ¯ Ψ E 3 → i ∂ ¯ Ψ R 0 E 3 R 0 † R 0 = ( i ∂ ¯ Ψ E 3 ′ ) R 0 , { displaystyle i { bar { částečné}} Psi mathbf {e} _ {3} rightarrow i { bar { částečné}} Psi R_ {0} mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ { dagger} R_ {0} = (i { bar { partial}} Psi mathbf {e} _ {3} ^ { prime}) R_ {0},} kde identifikujeme následující rotaci
E 3 → E 3 ′ = R 0 E 3 R 0 † { displaystyle mathbf {e} _ {3} rightarrow mathbf {e} _ {3} ^ { prime} = R_ {0} mathbf {e} _ {3} R_ {0} ^ { dýka }} Hromadný člen se transformuje jako
m Ψ † ¯ → m ( Ψ R 0 ) † ¯ = m Ψ † ¯ R 0 , { displaystyle m { overline { Psi ^ { dagger}}} rightarrow m { overline {( Psi R_ {0}) ^ { dagger}}} = m { overline { Psi ^ { dýka}}} R_ {0},} abychom mohli ověřit invariantnost formy Diracova rovnice. Náročnějším požadavkem je, aby Diracova rovnice bylainvariantní při transformaci místního rozchodu typu R = exp ( − i E χ E 3 ) { displaystyle R = exp (-ie chi mathbf {e} _ {3})}
V tomto případě se kinetický člen transformuje jako
i ∂ ¯ Ψ E 3 → ( i ∂ ¯ Ψ ) R E 3 + ( E ∂ ¯ χ ) Ψ R { displaystyle i { bar { částečné}} Psi mathbf {e} _ {3} rightarrow (i { bar { částečné}} Psi) R mathbf {e} _ {3} + ( e { bar { částečné}} chi) Psi R} takže levá strana Diracova rovnice se transformuje kovariantně jako
i ∂ ¯ Ψ E 3 − E A ¯ Ψ → ( i ∂ ¯ Ψ R E 3 R † − E ( A + ∂ χ ) ¯ Ψ ) R , { displaystyle i { bar { částečné}} Psi mathbf {e} _ {3} -e { bar {A}} Psi rightarrow (i { bar { částečné}} Psi R mathbf {e} _ {3} R ^ { dagger} -e { overline {(A + částečné chi)}} Psi) R,} kde identifikujeme potřebu provést transformaci elektromagnetického měřidla. Hmotnostní člen se transformuje jako v případě globální rotace, takže forma Diracova rovnice zůstává neměnná.
Aktuální Proud je definován jako
J = Ψ Ψ † , { displaystyle J = Psi Psi ^ { dagger},} který splňuje rovnici kontinuity
⟨ ∂ ¯ J ⟩ S = 0 { displaystyle left langle { bar { partial}} J right rangle _ {S} = 0} Diracova rovnice druhého řádu Aplikace Diracova rovnice sama o sobě vede k Diracově rovnici druhého řádu
( − ∂ ∂ ¯ + A A ¯ ) Ψ − i ( 2 E ⟨ A ∂ ¯ ⟩ S + E F ) Ψ E 3 = m 2 Ψ { displaystyle (- částečný { bar { částečný}} + A { bar {A}}) Psi -i (2e levý langle A { bar { částečný}} pravý rangle _ { S} + eF) Psi mathbf {e} _ {3} = m ^ {2} Psi} Roztoky volných částic Pozitivní energetická řešení Řešení pro volné částice s hybností p = p 0 + p { displaystyle p = p ^ {0} + mathbf {p}} p 0 > 0 { displaystyle p ^ {0}> 0}
Ψ = p m R ( 0 ) exp ( − i ⟨ p X ¯ ⟩ S E 3 ) . { displaystyle Psi = { sqrt { frac {p} {m}}} R (0) exp (-i left langle p { bar {x}} right rangle _ {S} mathbf {e} _ {3}).} Toto řešení je unimodulární
Ψ Ψ ¯ = 1 { displaystyle Psi { bar { Psi}} = 1} a proud se podobá klasické vlastní rychlosti
u = p m { displaystyle u = { frac {p} {m}}} J = Ψ Ψ † = p m { displaystyle J = Psi { Psi} ^ { dagger} = { frac {p} {m}}} Negativní energetická řešení Řešení pro volné částice se zápornou energií a hybností p = − | p 0 | − p = − p ′ { displaystyle p = - | p ^ {0} | - mathbf {p} = -p ^ { prime}}
Ψ = i p ′ m R ( 0 ) exp ( i ⟨ p ′ X ¯ ⟩ S E 3 ) , { displaystyle Psi = i { sqrt { frac {p ^ { prime}} {m}}} R (0) exp (i left langle p ^ { prime} { bar {x} } right rangle _ {S} mathbf {e} _ {3}),} Toto řešení je anti-unimodulární
Ψ Ψ ¯ = − 1 { displaystyle Psi { bar { Psi}} = - 1} a proud se podobá klasické vlastní rychlosti u = p m { displaystyle u = { frac {p} {m}}}
J = Ψ Ψ † = − p m , { displaystyle J = Psi { Psi} ^ { dagger} = - { frac {p} {m}},} ale s pozoruhodnou vlastností: „čas běží pozpátku“
d t d τ = ⟨ p m ⟩ S < 0 { displaystyle { frac {dt} {d tau}} = levý langle { frac {p} {m}} pravý rangle _ {S} <0} Dirac Lagrangian Dirac Lagrangian je
L = ⟨ i ∂ Ψ ¯ † E 3 Ψ ¯ − E A Ψ ¯ † Ψ ¯ − m Ψ Ψ ¯ ⟩ S { displaystyle L = langle i částečný { bar { Psi}} ^ { dagger} mathbf {e} _ {3} { bar { Psi}} - eA { bar { Psi}} ^ { dagger} { bar { Psi}} - m Psi { bar { Psi}} rangle _ {S}} Viz také Reference Učebnice Baylis, William (2002). Elektrodynamika: moderní geometrický přístup (2. vyd.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8 W. E. Baylis, redaktor, Cliffordova (geometrická) algebra s aplikacemi ve fyzice, matematice a inženýrství , Birkhäuser, Boston 1996. ISBN 0-8176-3868-7 Články 
