Minimální spojka - Minimal coupling

v analytická mechanika a kvantová teorie pole, minimální vazba označuje spojení mezi pole který zahrnuje pouze nabít distribuce a ne vyšší vícepólové momenty distribuce poplatků. Tato minimální vazba je na rozdíl od například Pauliho spojka, který zahrnuje magnetický moment z elektron přímo v Lagrangian.

Elektrodynamika

v elektrodynamika, pro zohlednění všech elektromagnetických interakcí stačí minimální vazba. Vyšší momenty částic jsou důsledky minimální vazby a nenulové roztočit.

Nerelativistické nabité částice v elektromagnetickém poli

v Kartézské souřadnice, Lagrangian nerelativistické klasické částice v elektromagnetickém poli je (v Jednotky SI ):

${ displaystyle { mathcal {L}} = sum _ {i} { tfrac {1} {2}} m { dot {x}} _ {i} ^ {2} + sum _ {i} q { dot {x}} _ {i} A_ {i} -q varphi}$

kde q je elektrický náboj částice, φ je elektrický skalární potenciál a A_i jsou komponenty potenciál magnetického vektoru na kterém mohou všichni výslovně záviset ${ displaystyle x_ {i}}$ a ${ displaystyle t}$.

Tento Lagrangian v kombinaci s Euler-Lagrangeova rovnice, vyrábí Lorentzova síla zákon

${ displaystyle m { ddot { mathbf {x}}} = q mathbf {E} + q { dot { mathbf {x}}} times mathbf {B} ,,}$

a je volán minimální vazba.

Všimněte si, že hodnoty skalárního potenciálu a vektorového potenciálu by se během a transformace měřidla^[1]a Lagrangian sám vyzvedne také další podmínky; Ale zvláštní termíny v Lagrangeově sčítají celkovou časovou derivaci skalární funkce, a proto stále produkují stejnou Euler-Lagrangeovu rovnici.

The kanonický moment jsou dány:

${ displaystyle p_ {i} = { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný { dot {x}} _ {i}}} = m { dot {x}} _ {i } + qA_ {i}}$

Všimněte si, že kanonické momenty nejsou měřidlo neměnné a nejsou fyzicky měřitelné. Nicméně kinetická hybnost

${ displaystyle P_ {i} equiv m { dot {x}} _ {i} = p_ {i} -qA_ {i}}$

je měřidlo neměnné a fyzicky měřitelné.

The Hamiltonian jako Legendární transformace Lagrangeova, je tedy:

${ displaystyle { mathcal {H}} = vlevo { součet _ {i} { tečka {x}} _ {i} p_ {i} doprava } - { mathcal {L}} = součet _ {i} { frac { vlevo (p_ {i} -qA_ {i} vpravo) ^ {2}} {2m}} + q varphi}$

Tato rovnice se často používá v kvantová mechanika.

Transformace pod měřidlem:

${ displaystyle mathbf {A} rightarrow mathbf {A} + nabla f ,, quad varphi rightarrow varphi - { dot {f}} ,,}$

kde F(r,t) je jakákoli skalární funkce prostoru a času, zmíněná Lagrangeova, kanonická hybnost a Hamiltonova transformace jako:

${ displaystyle L rightarrow L '= L + q { frac {df} {dt}} ,, quad mathbf {p} rightarrow mathbf {p'} = mathbf {p} + q nabla f ,, quad H rightarrow H '= Hq { frac { částečné f} { částečné t}} ,,}$

který stále produkuje stejnou Hamiltonovu rovnici:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} vlevo. { frac { částečné H '} { částečné {x_ {i}}}} vpravo | _ {p' _ {i}} & = vlevo. { frac { částečné} { částečné {x_ {i}}}} pravé | _ {p '_ ​​{i}} ({ dot {x}} _ {i} p' _ {i} -L ' ) = - vlevo. { frac { částečné L '} { částečné {x_ {i}}}} pravé | _ {p' _ {i}} & = - vlevo. { frac { částečné L} { částečné {x_ {i}}}} pravé | _ {p '_ ​​{i}} - q levé. { frac { částečné} { částečné {x_ {i}}}} right | _ {p '_ ​​{i}} { frac {df} {dt}} & = - { frac {d} {dt}} left ( left. { frac { částečné L } { částečné {{ dot {x}} _ {i}}}} pravé | _ {p '_ ​​{i}} + q levé. { frac { částečné f} { částečné {x_ { i}}}} vpravo | _ {p '_ ​​{i}} vpravo) & = - { dot {p}}' _ {i} end {zarovnáno}}}$

V kvantové mechanice vlnová funkce podstoupí také místní U (1) skupinová transformace^[2] během transformace měřidla, což znamená, že všechny fyzické výsledky musí být invariantní při lokálních transformacích U (1).

Relativistická nabitá částice v elektromagnetickém poli

The relativistický lagranián pro částice (odpočinková hmota m a nabít q) je dána:

${ displaystyle { mathcal {L}} (t) = - mc ^ {2} { sqrt {1 - { frac {{{ dot { mathbf {x}}} (t)} ^ {2} } {c ^ {2}}}}} + q { dot { mathbf {x}}} (t) cdot mathbf {A} left ( mathbf {x} (t), t right) -q varphi left ( mathbf {x} (t), t right)}$

Kanonická hybnost částice tedy je

${ displaystyle mathbf {p} (t) = { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { dot { mathbf {x}}}}}} = { frac {m { tečka { mathbf {x}}}} { sqrt {1 - { frac {{ dot { mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} + q mathbf {A}}$

to znamená součet kinetické hybnosti a potenciální hybnosti.

Při řešení rychlosti dostaneme

${ displaystyle { dot { mathbf {x}}} (t) = { frac { mathbf {p} -q mathbf {A}} { sqrt {m ^ {2} + { frac {1 } {c ^ {2}}} { left ( mathbf {p} -q mathbf {A} right)} ^ {2}}}}}$

Takže Hamiltonian je

${ displaystyle { mathcal {H}} (t) = { dot { mathbf {x}}} cdot mathbf {p} - { mathcal {L}} = c { sqrt {m ^ {2 } c ^ {2} + { left ( mathbf {p} -q mathbf {A} right)} ^ {2}}} + q varphi}$

Výsledkem je silová rovnice (ekvivalentní k Euler-Lagrangeova rovnice )

${ displaystyle { dot { mathbf {p}}} = - { frac { částečné { mathcal {H}}} { částečné mathbf {x}}} = q { dot { mathbf {x }}} cdot ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {A}) -q { boldsymbol { nabla}} varphi = q { boldsymbol { nabla}} ({ dot { mathbf { x}}} cdot mathbf {A}) -q { boldsymbol { nabla}} varphi}$

z nichž lze odvodit

${ displaystyle { begin {aligned} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} left ({ frac {m { dot { mathbf {x}}}}} sqrt {1 - { frac {{ dot { mathbf {x}}} ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} vpravo) & = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} ( mathbf {p} -q mathbf {A}) = { dot { mathbf {p}}} - q { frac { částečné A} { částečné t} } -q ({ dot { mathbf {x}}} cdot nabla) mathbf {A} & = q { boldsymbol { nabla}} ({ dot { mathbf {x}}} cdot mathbf {A}) -q { boldsymbol { nabla}} varphi -q { frac { částečné A} { částečné t}} - q ({ dot { mathbf {x}}} cdot nabla) mathbf {A} & = q mathbf {E} + q { dot { mathbf {x}}} times mathbf {B} end {zarovnáno}}}$

Výše uvedená derivace využívá vektorová identita kalkulu:

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} nabla left ( mathbf {A} cdot mathbf {A} right) = mathbf {A} cdot mathbf {J} _ { mathbf {A}} = mathbf {A} cdot ( nabla mathbf {A}) = ( mathbf {A} { cdot} nabla) mathbf {A} , + , mathbf {A} { times} ( nabla { times} mathbf {A}).}$

Ekvivalentní výraz pro hamiltonián jako funkci relativistické (kinetické) hybnosti, P = ymX(t) = p - qA, je

${ displaystyle { mathcal {H}} (t) = { dot { mathbf {x}}} (t) cdot mathbf {P} (t) + { frac {mc ^ {2}} { gamma}} + q varphi ( mathbf {x} (t), t) = gamma mc ^ {2} + q varphi ( mathbf {x} (t), t) = E + V}$

To má tu výhodu, že kinetická hybnost P lze měřit experimentálně, zatímco kanonická hybnost p nemůže. Všimněte si, že Hamiltonian (celková energie ) lze zobrazit jako součet relativistická energie (kinetická + zbytek), E = γmc²plus potenciální energie, PROTI = eφ.

Inflace

Ve studiích kosmologická inflace, minimální vazba skalárního pole obvykle označuje minimální vazbu na gravitaci. To znamená, že akce pro inflaton pole ${ displaystyle varphi}$ není spojen s skalární zakřivení. Jeho jedinou vazbou na gravitaci je vazba na Lorentzův invariant opatření ${ displaystyle { sqrt {g}} , d ^ {4} x}$ postavena z metrický (v Planckovy jednotky ):

${ displaystyle S = int d ^ {4} x , { sqrt {g}} , left (- { frac {1} {2}} R + { frac {1} {2}} nabla _ { mu} varphi nabla ^ { mu} varphi -V ( varphi) vpravo)}$

kde ${ displaystyle g: = det g _ { mu nu}}$a s využitím derivát kovariantního měřidla.

Reference