Dual (teorie kategorií) - Dual (category theory)
v teorie kategorií, pobočka matematika, dualita je korespondence mezi vlastnostmi kategorie C a dvojí vlastnosti opačná kategorie Cop. Vzhledem k prohlášení týkajícímu se kategorie Czaměněním zdroj a cílová každého morfismus stejně jako zaměnit pořadí skládání dva morfismy, získá se odpovídající dvojí prohlášení týkající se opačné kategorie Cop. Dualita jako taková je tvrzením, že pravda je při této operaci na příkazech neměnná. Jinými slovy, pokud je tvrzení pravdivé C, pak je jeho dvojí tvrzení pravdivé Cop. Také pokud je tvrzení nepravdivé C, pak jeho duál musí být falešný Cop.
Vzhledem k konkrétní kategorie C, často se jedná o opačnou kategorii Cop samo o sobě je abstraktní. Cop nemusí to být kategorie, která vychází z matematické praxe. V tomto případě jiná kategorie D je také nazýván být v dualitě s C -li D a Cop jsou ekvivalent jako kategorie.
V případě, kdy C a jeho opak Cop jsou rovnocenné, taková kategorie je sebe-duální.[1]
Formální definice
Elementární jazyk teorie kategorií definujeme jako dvouřadý jazyk první objednávky s objekty a morfismy jako zřetelnými druhy, spolu se vztahy objektu, který je zdrojem nebo cílem morfismu, a symbolem pro skládání dvou morfismů.
Nechť σ je libovolný výrok v tomto jazyce. Tvoříme dvojí σop jak následuje:
- Vyměňte každý výskyt „zdroje“ v σ za „cíl“.
- Zaměňte pořadí skládání morfismů. To znamená, nahradit každý výskyt s
Neformálně tyto podmínky uvádějí, že duální příkaz je tvořen obrácením šipky a složení.
Dualita je pozorování, že σ platí pro určitou kategorii C právě když σop platí pro Cop.[2][3]
Příklady
- Morfismus je monomorfismus -li naznačuje . Provedením duální operace dostaneme prohlášení, že naznačuje Pro morfismus , to je přesně to, co to znamená F být epimorfismus. Stručně řečeno, vlastnost být monomorfismem je dvojí ve srovnání s vlastností být epimorfismem.
Uplatnění duality to znamená, že v určité kategorii jde o morfismus C je monomorfismus právě tehdy, je-li obráceným morfismem v opačné kategorii Cop je epimorfismus.
- Příkladem je obrácení směru nerovností v a částečná objednávka. Takže když X je soubor a ≤ vztah částečného řádu, můžeme definovat nový vztah částečného řádu ≤Nový podle
- X ≤Nový y kdyby a jen kdyby y ≤ X.
Tento příklad u objednávek je zvláštní případ, protože dílčí objednávky odpovídají určitému druhu kategorie, ve které Hom (A,B) může mít maximálně jeden prvek. V aplikacích pro logiku to pak vypadá jako velmi obecný popis negace (tj. Důkazy probíhají v opačném směru). Například pokud vezmeme opak a mříž, najdeme to splňuje a připojí se nechat si vyměnit své role. Toto je abstraktní forma De Morganovy zákony nebo dualita aplikován na svazy.
- Limity a kolimity jsou dvojí představy.
- Fibrace a kofibrace jsou příklady dvojitých pojmů v algebraická topologie a teorie homotopy. V této souvislosti se často nazývá dualita Dualita Eckmann – Hilton.
Viz také
Reference
- ^ Jiří Adámek; J. Rosický (1994). Lokálně prezentovatelné a přístupné kategorie. Cambridge University Press. str. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
- ^ Mac Lane 1978, str. 33.
- ^ Awodey 2010, str. 53-55.
- „Duální kategorie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- „Princip duality“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- „Dualita“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. str. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
- Awodey, Steve (2010). Teorie kategorií (2. vyd.). Oxford: Oxford University Press. str. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.