Klínový součet - Wedge sum

Klínový součet dvou kruhů

v topologie, klínový součet je „jednobodové spojení“ rodiny topologické prostory. Konkrétně pokud X a Y jsou špičaté mezery (tj. topologické prostory s rozlišenými základními body X₀ a y₀) klínový součet X a Y je kvocientový prostor z disjunktní unie z X a Y identifikací X₀ ∼ y₀:

${ displaystyle X vee Y = (X amalg Y) ; / { sim},}$

kde ∼ je uzavření rovnocennosti vztahu {(X₀,y₀)}. Obecněji předpokládejme (X_i )_i ∈ Já je rodina špičatých prostorů se základními body {p_i }. Klínový součet rodiny je dán vztahem:

${ displaystyle bigvee _ {i in I} X_ {i} = coprod _ {i in I} X_ {i} ; / { sim},}$

kde ∼ je ekvivalenční uzavření vztahu {(p_i , p_j ) | já, j ∈ Já } Jinými slovy, klínový součet je spojení několika prostorů v jednom bodě. Tato definice je citlivá na výběr základních bodů {p_i}, pokud mezery {X_i } jsou homogenní.

Součet klínu je opět špičatým prostorem a binární operace je asociativní a komutativní (až do homeomorfismu).

Někdy se klínový součet nazývá klínový produkt, ale nejedná se o stejný koncept jako vnější produkt, kterému se také často říká klínový produkt.

Příklady

Klínový součet dvou kruhů je homeomorfní do a prostor osmičky. Klínový součet n kruhy se často nazývá a kytice kruhů, zatímco klínový produkt libovolných sfér se často nazývá a kytice koulí.

Běžná konstrukce v homotopy je identifikovat všechny body podél rovníku an n-koule ${ displaystyle S ^ {n}}$. Výsledkem budou dvě kopie koule, spojené v bodě, který byl rovníkem:

${ displaystyle S ^ {n} / { sim} = S ^ {n} vee S ^ {n}}$

Nechat ${ displaystyle Psi}$ být mapou ${ displaystyle Psi: S ^ {n} až S ^ {n} vee S ^ {n}}$, tj. identifikace rovníku do jediného bodu. Pak přidání dvou prvků ${ displaystyle f, g in pi _ {n} (X, x_ {0})}$ z n-dimenzionální homotopická skupina ${ displaystyle pi _ {n} (X, x_ {0})}$ prostoru X v rozlišovacím bodě ${ displaystyle x_ {0} v X}$ lze chápat jako složení ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ s ${ displaystyle Psi}$:

${ displaystyle f + g = (f vee g) circ Psi}$

Tady, ${ displaystyle f, g: S ^ {n} až X}$ jsou mapy, které mají rozlišovací bod ${ displaystyle s_ {0} v S ^ {n}}$ do té míry ${ displaystyle x_ {0} v X.}$ Všimněte si, že výše uvedené používá klínový součet dvou funkcí, což je možné právě proto, že se shodují v ${ displaystyle s_ {0},}$ bod společný pro klínový součet podkladových prostorů.

Kategorický popis

Klínový součet lze chápat jako koprodukt v kategorie špičatých prostorů. Alternativně lze klínový součet považovat za vystrčit diagramu X ← {•} → Y v kategorie topologických prostorů (kde {•} je libovolný jednobodový prostor).

Vlastnosti

Van Kampenova věta dává určité podmínky (které jsou obvykle splněny pro dobře vychovaný prostory, jako např CW komplexy ) podle kterého základní skupina klínového součtu dvou prostorů X a Y je produkt zdarma základních skupin X a Y.

Viz také

• Rozbijte produkt
• Havajská náušnice, topologický prostor připomínající, ale ne stejný jako, klínový součet spočetně mnoha kruhů

Reference

• Rotman, Joseph. Úvod do algebraické topologie, Springer, 2004, s. 153. ISBN  0-387-96678-1