Logaritmická stupnice - Logarithmic scale

A logaritmická stupnice (nebo měřítko protokolu) je způsob kompaktního zobrazení číselných dat ve velmi širokém rozsahu hodnot - obvykle největší čísla v datech jsou stovky nebo dokonce tisíckrát větší než nejmenší čísla. Takový měřítko je nelineární: čísla 10 a 20 a 60 a 70 nejsou na logaritmické stupnici od sebe ve stejné vzdálenosti. Spíše jsou čísla 10 a 100 a 60 a 600 rovnoměrně rozmístěna. Pohyb jednotky vzdálenosti po stupnici tedy znamená, že počet byl znásobeno o 10 (nebo jiný pevný faktor). Často exponenciální růst křivky se zobrazují v měřítku protokolu, jinak by se zvětšily příliš rychle, aby se vešly do malé graf. Další způsob, jak o tom přemýšlet, je, že počet číslice dat roste konstantní rychlostí. Například čísla 10, 100, 1000 a 10 000 jsou na logaritmickém měřítku rovnoměrně rozmístěna, protože jejich počet číslic stoupá pokaždé o 1: 2, 3, 4 a 5 číslic. Tímto způsobem přidáte dvě číslice znásobuje množství měřené na logaritmické stupnici o faktor 100.

Logaritmická stupnice od 0,1 do 100

Graf počtu hostitelů internetu v čase zobrazený v logaritmickém měřítku

Běžné použití

Značení na posuvná pravidla jsou uspořádány do logaritmické stupnice pro násobení nebo dělení čísel přidáním nebo odečtením délek na stupnicích.

Dvě logaritmické stupnice pravidla diapozitivu

Následuje příklad běžně používaných logaritmických stupnic, kde větší množství vede k vyšší hodnotě:

Richterova stupnice velikosti a stupnice velikosti momentu (MMS) pro sílu zemětřesení a hnutí v Země

Logaritmická stupnice usnadňuje porovnání hodnot, které pokrývají velký rozsah, například na této mapě.
Hladina zvuku, s jednotkami decibel
Neper pro amplitudu, pole a výkonové veličiny
Úroveň frekvence, s jednotkami cent, malá sekunda, hlavní sekunda, a oktáva pro relativní výšku not v hudba
Logit pro šance v statistika
Stupnice nebezpečí technického dopadu Palermo
Logaritmická časová osa
Počítací f-zastávky pro poměry fotografická expozice
The pravidlo devíti používá se pro nízké hodnocení pravděpodobnosti
Entropie v termodynamika
Informace v teorie informace
Křivky distribuce velikosti částic půdy

Následují příklady běžně používaných logaritmických stupnic, kde větší množství vede k nižší (nebo záporné) hodnotě:

pH pro kyselost
Stupnice hvězdné velikosti pro jas hvězdy
Krumbeinova stupnice pro velikost částic v geologie
Absorbance světla transparentními vzorky

Některé z našich smysly pracovat logaritmickým způsobem (Weber – Fechnerův zákon ), díky čemuž jsou logaritmické stupnice pro tyto vstupní veličiny obzvláště vhodné. Zejména náš smysl pro sluch vnímá stejné poměry frekvencí jako stejné rozdíly výšky tónu. Studie malých dětí v izolovaném kmeni navíc ukázaly, že logaritmické stupnice jsou v některých kulturách nejpřirozenější ukázkou čísel.^[1] Může být také použit pro geografické účely, například pro měření rychlost zemětřesení.

Grafické znázornění

Různé stupnice: lin – lin, lin – log, log – lin, a log – log. Vynesené grafy jsou: y = 10^X (Červené), y = X (zelená), y = log_E(X) (modrý).

Graf vlevo nahoře je lineární v osách X a Y a osa Y se pohybuje od 0 do 10. Pro osu Y grafu dole dole se používá stupnice protokolu základny 10 a osa Y se pohybuje od 0,1 do 1 000.

Graf vpravo nahoře používá měřítko log-10 pouze pro osu X a graf vpravo dole používá měřítko log-10 jak pro osu X, tak pro osu Y.

Prezentace dat v logaritmickém měřítku může být užitečná, když data:

pokrývá velkou škálu hodnot, protože použití logaritmů hodnot spíše než skutečných hodnot snižuje široký rozsah na zvládnutelnější velikost;
může obsahovat exponenciální zákony nebo mocenské zákony, protože se budou zobrazovat jako přímé čáry.

A posuvné pravidlo má logaritmické stupnice a nomogramy často používají logaritmické stupnice. The geometrický průměr dvou čísel je uprostřed mezi čísly. Před příchodem počítačové grafiky, logaritmická milimetrový papír byl běžně používaný vědecký nástroj.

Protokol – protokoly protokolu

Graf na log – log stupnici rovnice přímky

Pokud jsou vertikální i horizontální osy grafu zmenšeny logaritmicky, graf se označuje jako a log – log plot.

Semi-logaritmické grafy

Kdyby jen ordinovat nebo úsečka je logaritmicky zmenšen, graf se označuje jako semilogaritmický graf.

Logaritmické jednotky

A logaritmická jednotka je jednotka který lze použít k vyjádření veličiny (fyzický nebo matematické) v logaritmickém měřítku, tj. jako úměrné hodnotě a logaritmus funkce aplikovaná na poměr množství a referenčního množství stejného typu. Volba jednotky obecně označuje typ množství a základ logaritmu.

Příklady

Příklady logaritmických jednotek zahrnují jednotky kapacita úložiště dat (bit, byte ), ze dne informace a informační entropie (nat, Shannon, zákaz ) a úroveň signálu (decibel, bel, neper ). Logaritmické frekvenční veličiny se používají v elektronice (desetiletí, oktáva ) a pro hudební hřiště intervaly (oktáva, půltón, cent, atd.). Mezi další logaritmické stupnice patří: Richterova stupnice velikosti směřovat.

Několik průmyslových opatření je navíc logaritmických, například standardní hodnoty pro rezistory, Americký drátoměr, Birmingham rozchod používá se na drát a jehly atd.

Jednotky informací

Jednotky úrovně nebo rozdílu úrovně

bel, decibel
neper

Jednotky frekvenčního intervalu

desetiletí, rozhodnout, Savart
oktáva, tón, půltón, cent

Tabulka příkladů

Jednotka	Základ logaritmu	Podkladové množství	Výklad
bit	2	počet možných zpráv	množství informací
byte	$28 = 256$	počet možných zpráv	množství informací
decibel	$10 (1/10) \approx 1.259$	žádný množství energie (zvuková síla, například)	úroveň akustického výkonu (například)
decibel	$10 (1/20) \approx 1.122$	žádný množství kořenové energie (akustický tlak, například)	hladina akustického tlaku (například)
půltón	$2 (1/12) \approx 1.059$	frekvence z zvuk	interval výšky tónu

Dvě definice decibelu jsou ekvivalentní, protože poměr je množství energie se rovná druhé mocnině příslušného poměru množství kořenové energie.^{[Citace je zapotřebí ]}

Motivace

Motivace konceptu logaritmických jednotek spočívá v tom, že definování veličiny v logaritmickém měřítku, pokud jde o logaritmus na konkrétní základnu, se rovná (zcela libovolné) volbě měrné jednotky pro tuto veličinu, která odpovídá konkrétní (a stejně libovolný) základ logaritmu, který byl vybrán. Kvůli identitě

{ displaystyle log _ {b} a = { frac { log _ {c} a} { log _ {c} b}},}

logaritmy libovolného daného čísla A na dvě různé základny (zde b a C) se liší pouze logem konstantního faktoru_C b. Tento konstantní faktor lze považovat za faktor převodu pro převod numerického vyjádření čisté (neurčité) logaritmické veličiny Log (A) z jedné libovolné jednotky měření ([logCjednotka) do jiné ([logb] jednotka), protože

{ displaystyle operatorname {Log} (a) = ( log _ {b} a) [ log b] = ( log _ {c} a) [ log c].}

Například, Boltzmann standardní definice entropie S = k lnŽ (kde Ž je počet způsobů uspořádání systému a k je Boltzmannova konstanta ) lze také psát jednodušeji jako jen S = Protokol (Ž), kde „Log“ zde označuje neurčitý logaritmus, a necháme k = [log e]; to znamená, že identifikujeme fyzickou entropickou jednotku k s matematickou jednotkou [log e]. Tato identita funguje, protože

{ displaystyle ln W = log _ {e} W = { frac { operatorname {Log} (W)} { log e}}.}

Můžeme tedy interpretovat Boltzmannovu konstantu jako jednoduše výraz (ve smyslu více standardních fyzických jednotek) abstraktní logaritmické jednotky [log e], který je potřebný k převodu bezrozměrné kvantity čistého čísla lnŽ (který používá libovolnou volbu základny, konkrétně e) k základnější čisté logaritmické veličině Log (Ž), z čehož nevyplývá žádná zvláštní volba báze, a tedy ani žádná zvláštní volba fyzické jednotky pro měření entropie.

Viz také

Měřítko

Řádově

Aplikace

Reference

^ „Sense Rule Sense: Amazonian Domorodá kultura ukazuje univerzální mapování počtu do vesmíru“. ScienceDaily. 2008-05-30. Citováno 2008-05-31.

Další čtení

Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008). „Protokol nebo lineární? Výrazné intuice číselné stupnice v západních a amazonských domorodých kulturách“. Věda. 320 (5880): 1217–20. Bibcode:2008Sci ... 320.1217D. doi:10.1126 / science.1156540. PMC 2610411. PMID 18511690.
Tuffentsammer, Karl; Schumacher, P. (1953). „Normzahlen - die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs“ [Preferovaná čísla - jednociferná logaritmická tabulka inženýra]. Werkstattechnik und Maschinenbau (v němčině). 43 (4): 156.
Tuffentsammer, Karl (1956). „Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen“ [The decilog, most mezi logaritmy, decibel, neper a preferovaná čísla]. VDI-Zeitschrift (v němčině). 98: 267–274.
Ries, Clemens (1962). Normung nach Normzahlen [Standardizace podle preferovaných čísel] (v němčině) (1. vyd.). Berlín, Německo: Duncker & Humblot Verlag [de ]. ISBN 978-3-42801242-8. (135 stránek)
Paulin, Eugen (01.09.2007). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [Logaritmy, preferovaná čísla, decibel, neper, telefon - přirozeně související!] (PDF) (v němčině). Archivováno (PDF) od původního dne 2016-12-18. Citováno 2016-12-18.

externí odkazy

„GNU Emacs Calc Manual: Logaritmické jednotky“. Gnu.org. Citováno 2016-11-23.
Nenewtonský web kalkulu

[1] „Sense Rule Sense: Amazonian Domorodá kultura ukazuje univerzální mapování počtu do vesmíru“. ScienceDaily. 2008-05-30. Citováno 2008-05-31.

[1]