Logaritmická forma - Logarithmic form

V kontextech včetně složité potrubí a algebraická geometrie, a logaritmický diferenciální forma je meromorfní diferenciální forma s póly určitého druhu. Koncept představil Deligne.^[1]

Nechat X být složitým potrubím, D ⊂ X A dělitel a ω holomorfní str-formovat dál X−D. Pokud ω a dω mají pól řádu nejvýše jeden D, pak se říká, že ω má logaritmický pól D. ω je také známý jako logaritmický str-formulář. Logaritmický str-formy tvoří a podnoží meromorfní str-formuje se X spolu s tyčí D, označeno

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D).}$

V teorii Riemannovy povrchy, narazíme na logaritmické jednoformáty, které mají lokální výraz

${ displaystyle omega = { frac {df} {f}} = doleva ({ frac {m} {z}} + { frac {g '(z)} {g (z)}} doprava ) dz}$

pro některé meromorfní funkce (resp. racionální funkce ) ${ displaystyle f (z) = z ^ {m} g (z)}$, kde G je holomorfní a nezmizí při 0 a m je řád F na 0. To je pro některé otevřená krytina, existují lokální reprezentace této diferenciální formy jako a logaritmická derivace (mírně upraveno pomocí vnější derivace d místo obvyklého operátor diferenciálu d / dz). Všimněte si, že ω má pouze jednoduché póly s celočíselnými zbytky. Na vyšších dimenzionálních složitých potrubích Poincarého zbytek se používá k popisu charakteristického chování logaritmických forem podél pólů.

Holomorfní log komplex

Podle definice ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ a skutečnost, že vnější diferenciace d splňuje d² = 0, jeden má

${ displaystyle d Omega _ {X} ^ {p} ( log D) (U) podmnožina Omega _ {X} ^ {p + 1} ( log D) (U)}$.

To znamená, že existuje komplex snopů ${ displaystyle ( Omega _ {X} ^ { bullet} ( log D), d)}$, známý jako holomorfní log komplex odpovídající děliteli D. Toto je dílčí komplex ${ displaystyle j _ {*} Omega _ {X-D} ^ { bullet}}$, kde ${ displaystyle j: X-D rightarrow X}$ je zahrnutí a ${ displaystyle Omega _ {X-D} ^ { odrážka}}$ je komplex snopů holomorfních forem na X−D.

Zvláštního zájmu je případ, kdy D má jednoduché normální přechody. Pak pokud ${ displaystyle {D _ { nu} }}$ jsou hladké, neredukovatelné složky D, jeden má ${ displaystyle D = součet D _ { nu}}$ s ${ displaystyle D _ { nu}}$ setkání příčně. Lokálně D je spojení hyperplánů s místními definujícími rovnicemi tvaru ${ displaystyle z_ {1} cdots z_ {k} = 0}$ v některých holomorfních souřadnicích. Dá se ukázat, že stonek ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D)}$ na str splňuje^[2]

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D) _ {p} = { mathcal {O}} _ {X, p} { frac {dz_ {1}} {z_ {1} }} oplus cdots oplus { mathcal {O}} _ {X, p} { frac {dz_ {k}} {z_ {k}}} oplus { mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {k + 1} oplus cdots oplus { mathcal {O}} _ {X, p} dz_ {n}}$

a to

${ displaystyle Omega _ {X} ^ {k} ( log D) _ {p} = bigwedge _ {j = 1} ^ {k} Omega _ {X} ^ {1} ( log D) _ {p}}$.

Někteří autoři, např.^[3] použijte termín log komplex odkazovat na holomorfní logaritmický komplex odpovídající děliteli s normálními přechody.

Příklad vyšší dimenze

Vezměme si jednou propíchnutou eliptickou křivku danou jako lokus D komplexních bodů (X,y) uspokojující ${ displaystyle g (x, y) = y ^ {2} -f (x) = 0,}$ kde ${ displaystyle f (x) = x (x-1) (x- lambda)}$ a ${ displaystyle lambda neq 0,1}$ je komplexní číslo. Pak D je hladký neredukovatelný nadpovrch v C² a zejména dělitel s jednoduchými normálními přechody. Je tam meromorfní dvouforma C²

${ displaystyle omega = { frac {dx klín dy} {g (x, y)}}}$

který má jednoduchý pól D. Poincarého zbytek ^[3] ω spolu D je dána holomorfní jednou formou

${ displaystyle { text {Res}} _ {D} ( omega) = vlevo. { frac {dy} { částečné g / částečné x}} pravé | _ {D} = levé.- { frac {dx} { částečné g / částečné y}} pravé | _ {D} = levé .- { frac {1} {2}} { frac {dx} {y}} pravé | _ {D}.}$

Pro teorii zbytků logaritmických forem je zásadní Gysinová sekvence, což je v jistém smyslu zobecnění Věta o zbytcích pro kompaktní povrchy Riemann. Tím lze například ukázat, že ${ displaystyle dx / y | _ {D}}$ sahá do holomorfní jedné formy na projektivní uzavření z D v P², hladká eliptická křivka.

Hodgeova teorie

Holomorfní logaritmický komplex lze využít na Hodgeova teorie komplexních algebraických odrůd. Nechat X být složitým algebraickým potrubím a ${ displaystyle j: X hookrightarrow Y}$ dobré zhutnění. Tohle znamená tamto Y je kompaktní algebraické potrubí a D = Y−X je dělitelem Y s jednoduchými normálními přechody. Přirozené zahrnutí komplexů snopů

${ displaystyle Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D) rightarrow j _ {*} Omega _ {X} ^ { bullet}}$

se ukazuje jako kvaziizomorfismus. Tím pádem

${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbf {C}) = mathbb {H} ^ {k} (Y, Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D))}$

kde ${ displaystyle mathbb {H} ^ { odrážka}}$ označuje hyperkohomologie komplexu abelianských snopů. Tady je^[2] klesající filtrace ${ displaystyle W _ { kulka} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D)}$ dána

${ displaystyle W_ {m} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D) = { begin {cases} 0 & m <0 Omega _ {Y} ^ {p} ( log D) & m geq p Omega _ {Y} ^ {pm} klín Omega _ {Y} ^ {m} ( log D) & 0 leq m leq p end {případy}}}$

který spolu s triviální zvyšující se filtrací ${ displaystyle F ^ { bullet} Omega _ {Y} ^ {p} ( log D)}$ na logaritmické str-formuje, produkuje filtraci na cohomologii

${ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; mathbf {C}) = { text {Im}} ( mathbb {H} ^ {k} (Y, W_ {mk} Omega _ { Y} ^ { bullet} ( log D)) rightarrow H ^ {k} (X; mathbf {C}))}$

${ displaystyle F ^ {p} H ^ {k} (X; mathbf {C}) = { text {Im}} ( mathbb {H} ^ {k} (Y, F ^ {p} Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D)) rightarrow H ^ {k} (X; mathbf {C}))}$.

Jeden ukazuje^[2] že ${ displaystyle W_ {m} H ^ {k} (X; mathbf {C})}$ lze ve skutečnosti definovat znovu Q. Pak filtrace ${ displaystyle W _ { bullet}, F ^ { bullet}}$ na kohomologii vznikne smíšená Hodgeova struktura dne ${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbf {Z})}$.

Klasicky, například v eliptická funkce Teorie, logaritmické diferenciální formy byly uznány jako doplňkové k diferenciály prvního druhu. Někdy se jim říkalo diferenciály druhého druhu (a s neblahou nekonzistencí také někdy třetího druhu). Klasická teorie byla nyní zahrnuta jako aspekt Hodgeovy teorie. Pro Riemannovu plochu Snapříklad výrazy tvoří diferenciály prvního druhu H^1,0 v H¹(S), když u Dolbeaultův izomorfismus interpretuje se jako svazek kohomologie skupina H⁰(S, Ω); to je vzhledem k jejich definici tautologické. The H^1,0 přímý součet H¹(S), jakož i vykládán jako H¹(S, O) kde O je svazek holomorfní funkce na S, lze konkrétněji identifikovat vektorovým prostorem logaritmických diferenciálů.

Svazek logaritmických forem

v algebraická geometrie, snop z logaritmický diferenciál str-formuláře ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {p} ( log D)}$ na hladký projektivní rozmanitost X podél hladké dělitel ${ displaystyle D = součet D_ {j}}$ je definován a zapadá do přesná sekvence místně volných snopů:

${ displaystyle 0 to Omega _ {X} ^ {p} to Omega _ {X} ^ {p} ( log D) { overset { beta} { to}} oplus _ {j } {i_ {j}} _ {*} Omega _ {D_ {j}} ^ {p-1} na 0, , p geq 1}$

kde ${ displaystyle i_ {j}: D_ {j} až X}$ jsou inkluze neredukovatelných dělitelů (a přítlačné síly podél nich jsou prodloužením o nulu) a β se nazývá mapa zbytků když str je 1.

Například,^[4] -li X je uzavřený bod ${ displaystyle D_ {j}, 1 leq j leq k}$ a ne na ${ displaystyle D_ {j}, j> k}$, pak

${ displaystyle {du_ {1} over u_ {1}}, dots, {du_ {k} over u_ {k}}, , du_ {k + 1}, dots, du_ {n}}$

tvoří základ ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {1} ( log D)}$ na X, kde ${ displaystyle u_ {j}}$ jsou lokální souřadnice kolem X takhle ${ displaystyle u_ {j}, 1 leq j leq k}$ jsou místní parametry pro ${ displaystyle D_ {j}, 1 leq j leq k}$.

Viz také

• Adjunkční vzorec
• Homologie Borel – Moore
• Diferenciál prvního druhu
• Věta o zbytcích
• Poincarého zbytek

Reference

• Aise Johan de Jong, Algebraická de Rhamova kohomologie.
• Pierre Deligne, Rovnice Différentielles à Body Singuliers Réguliers. Poznámky k přednášce v matematice. 163.