Zápis Steinhaus – Moser - Steinhaus–Moser notation

v matematika, Zápis Steinhaus – Moser je notace za vyjádření jistoty vysoká čísla. Jedná se o rozšíření (navržené Leo Moser ) z Hugo Steinhaus polygonová notace^[1].

Definice

číslo n v trojúhelník znamená nⁿ.

číslo n v náměstí odpovídá „číslu n uvnitř n trojúhelníky, které jsou všechny vnořené. "

číslo n v Pentagon je ekvivalentní s „číslem n uvnitř n čtverce, které jsou všechny vnořené. “

atd.: n napsáno v (m + 1) mnohostranný polygon je ekvivalentní s „číslem n uvnitř n vnořené m-stranné polygony ". V řadě vnořených polygonů jsou." spojené vnitřní. Číslo n uvnitř dvou trojúhelníků odpovídá nⁿ uvnitř jednoho trojúhelníku, což odpovídá nⁿ povýšen na sílu nⁿ.

Steinhaus definoval pouze trojúhelník, čtverec a kruh , což odpovídá výše uvedenému pětiúhelníku.

Speciální hodnoty

Steinhaus definováno:

• mega je číslo ekvivalentní 2 v kruhu: ②
• megiston je číslo ekvivalentní 10 v kruhu: ⑩

Moserovo číslo je číslo představované „2 v megagonu“. Megagon je zde název polygonu s "mega" stranami (nezaměňovat s mnohoúhelník s milionem stran ).

Alternativní notace:

• použijte funkce čtverec (x) a trojúhelník (x)
• nechat M (n, m, p) je číslo představované číslem n v m vnořené pjednostranné polygony; pak jsou pravidla:
  • ${ displaystyle M (n, 1,3) = n ^ {n}}$
  • ${ displaystyle M (n, 1, p + 1) = M (n, n, p)}$
  • ${ displaystyle M (n, m + 1, p) = M (M (n, 1, p), m, p)}$
• a
  • mega =${ displaystyle M (2,1,5)}$
  • megiston =${ displaystyle M (10,1,5)}$
  • moser =${ displaystyle M (2,1, M (2,1,5))}$

Mega

Mega, ②, je již velmi velké číslo, protože ② = čtverec (čtverec (2)) = čtverec (trojúhelník (trojúhelník (2))) = čtverec (trojúhelník (2)²)) = čtverec (trojúhelník (4)) = čtverec (4⁴) = čtverec (256) = trojúhelník (trojúhelník (trojúhelník (... trojúhelník (256) ...))) [256 trojúhelníků] = trojúhelník (trojúhelník (trojúhelník (... trojúhelník (256)²⁵⁶) ...))) [255 trojúhelníků] ~ trojúhelník (trojúhelník (trojúhelník (... trojúhelník (3,2 × 10⁶¹⁶) ...))) [254 trojúhelníků] = ...

Použití druhé notace:

mega = M (2,1,5) = M (256,256,3)

S funkcí ${ displaystyle f (x) = x ^ {x}}$ máme mega = ${ displaystyle f ^ {256} (256) = f ^ {258} (2)}$ kde horní index označuje a funkční síla, ne číselná mocnina.

Máme (všimněte si konvence, že mocniny jsou hodnoceny zprava doleva):

• M (256,2,3) = ${ displaystyle (256 ^ {, ! 256}) ^ {256 ^ {256}} = 256 ^ {256 ^ {257}}}$
• M (256,3,3) = ${ displaystyle (256 ^ {, ! 256 ^ {257}}) ^ {256 ^ {256 ^ {257}}} = 256 ^ {256 ^ {257} krát 256 ^ {256 ^ {257}} } = 256 ^ {256 ^ {257 + 256 ^ {257}}}}$≈${ displaystyle 256 ^ {, ! 256 ^ {256 ^ {257}}}}$

Podobně:

• M (256,4,3) ≈ ${ displaystyle {, ! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}$
• M (256,5,3) ≈ ${ displaystyle {, ! 256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {256 ^ {257}}}}}}}$

atd.

Tím pádem:

• mega = ${ displaystyle M (256 256,3) přibližně (256 uparrow) ^ {256} 257}$, kde ${ displaystyle (256 uparrow) ^ {256}}$ označuje funkční sílu funkce ${ displaystyle f (n) = 256 ^ {n}}$.

Za surového zaokrouhlování (nahrazením 257 na konci 256) dostaneme mega ≈ ${ displaystyle 256 uparrow uparrow 257}$, použitím Knuthova nota se šipkou nahoru.

Po prvních několika krocích hodnota ${ displaystyle n ^ {n}}$ je pokaždé přibližně rovno ${ displaystyle 256 ^ {n}}$. Ve skutečnosti se dokonce přibližně rovná ${ displaystyle 10 ^ {n}}$ (viz také přibližná aritmetika pro velmi velká čísla ). Použitím základních 10 sil dostaneme:

• ${ displaystyle M (256,1,3) přibližně 3,23 krát 10 ^ {616}}$
• ${ displaystyle M (256,2,3) přibližně 10 ^ {, ! 1,99 krát 10 ^ {619}}}$ (${ displaystyle log _ {10} 616}$ je přidán k 616)
• ${ displaystyle M (256,3,3) přibližně 10 ^ {, ! 10 ^ {1,99 krát 10 ^ {619}}}}$ (${ displaystyle 619}$ je přidán do ${ displaystyle 1,99 krát 10 ^ {619}}$, což je zanedbatelné; proto je dole přidáno jen 10)
• ${ displaystyle M (256,4,3) přibližně 10 ^ {, ! 10 ^ {10 ^ {1,99 krát 10 ^ {619}}}}}$

...

• mega = ${ displaystyle M (256 256,3) přibližně (10 uparrow) ^ {255} 1,99 krát 10 ^ {619}}$, kde ${ displaystyle (10 uparrow) ^ {255}}$ označuje funkční sílu funkce ${ displaystyle f (n) = 10 ^ {n}}$. Proto ${ displaystyle 10 uparrow uparrow 257 <{ text {mega}} <10 uparrow uparrow 258}$

Moserovo číslo

Bylo prokázáno, že v Conway zřetězená šipka,

${ displaystyle mathrm {moser} <3 rightarrow 3 rightarrow 4 rightarrow 2,}$

a v Knuthova nota se šipkou nahoru,

${ displaystyle mathrm {moser}$

Proto je Moserův počet, i když nepochopitelně velký, ve srovnání s ním mizivě malý Grahamovo číslo:^[2]

${ displaystyle mathrm {moser} ll 3 rightarrow 3 rightarrow 64 rightarrow 2$

Viz také

• Ackermannova funkce

Reference

externí odkazy

• Velká čísla Roberta Munafa
• Factoid na velkých číslech
• Megistron na mathworld.wolfram.com (Steinhaus označoval toto číslo jako „megiston“ bez „r“.)
• Kruhová notace na mathworld.wolfram.com
• Steinhaus-Moserova notace - zbytečné velké číslo