Matematická tabulka - Mathematical table

Stará kniha se otevírala do sloupců čísel označených sinus, tangens a secans
Tváří v tvář stránkám z 1619 knihy matematických tabulek od Matthias Bernegger, zobrazující hodnoty pro sinus, tangens a secan trigonometrické funkce. Úhly menší než 45 ° se nacházejí na levé stránce, úhly větší než 45 ° vpravo. Kosinus, kotangens a kosekans jsou nalezeny pomocí záznamu na protější straně.

Matematické tabulky jsou seznamy čísel zobrazující výsledky výpočtu s různými argumenty. Tabulky trigonometrických funkcí byly použity ve starověkém Řecku a Indii pro aplikace astronomie a nebeská navigace. Nadále se široce používali až do elektronické kalkulačky se stala levnou a bohatou, aby se zjednodušila a drasticky zrychlila výpočet. Tabulky logaritmy a trigonometrické funkce byly běžné v učebnicích matematiky a přírodních věd a byly publikovány specializované tabulky pro četné aplikace.

Historie a použití

První tabulky trigonometrické funkce o nichž bylo známo, že jsou Hipparchus (c.190 - c.120 př. n. l.) a Menelaus (asi 70–140 n. l.), ale oba byly ztraceny. Spolu s přežívající stůl Ptolemaia (asi 90 - asi 166 n. l.), byly to všechny tabulky akordů, a ne polovičních akordů, tj. sinus funkce.[1] The tabulka vytvořená indickým matematikem Āryabhaṭou (476–550 nl) je považován za vůbec první sinusový stůl, který byl kdy postaven.[1] Āryabhaṭův stůl zůstal standardním sinusovým stolem starověké Indie. Byly neustále pokusy o zlepšení přesnosti této tabulky, které vyvrcholily objevením rozšíření výkonových řad funkcí sinu a kosinu pomocí Madhava ze Sangamagramy (c.1350 - c.1425) a tabelace a sinusový stůl od Madhavy s hodnotami s přesností na sedm nebo osm desetinných míst.

Tyto matematické tabulky z roku 1925 distribuoval Komise pro přijímací zkoušky na vysokou školu studentům, kteří absolvují části testů z matematiky

Tabulky běžné logaritmy byly až do vynálezu počítačů a elektronických kalkulaček používány k rychlému množení, dělení a umocňování, včetně těžby nth kořeny.

Mechanické speciální počítače známé jako rozdílové motory byly navrženy v 19. století k tabelování polynomiálních aproximací logaritmických funkcí - to znamená k výpočtu velkých logaritmických tabulek. To bylo motivováno hlavně chybami v logaritmických tabulkách provedených lidské počítače času. Brzy digitální počítače byly vyvinuty během druhé světové války částečně k výrobě specializovaných matematických tabulek pro zaměřování dělostřelectvo. Od roku 1972 se spuštěním a rostoucím používáním vědecké kalkulačky, většina matematických tabulek skončila.

Jedním z posledních velkých úsilí o konstrukci takových tabulek bylo Projekt Matematické tabulky který byl zahájen v roce 1938 jako projekt Works Progress Administration (WPA), zaměstnávající 450 neoficiálních úředníků, kteří zpracovávají vyšší matematické funkce. Trvalo to přes druhou světovou válku.[Citace je zapotřebí ]

Tabulky speciální funkce jsou stále používány. Například použití tabulek hodnot souboru kumulativní distribuční funkce z normální distribuce - tzv standardní normální tabulky - je dnes samozřejmostí, zejména ve školách.

Vytváření tabulek uložených v paměť s náhodným přístupem je běžné optimalizace kódu technika počítačového programování, kde použití těchto tabulek urychluje výpočty v případech, kdy a vyhledávání v tabulce je rychlejší než odpovídající výpočty (zejména pokud dotyčný počítač nemá hardwarovou implementaci výpočtů). V podstatě jeden vyměňuje výpočetní rychlost za paměťový prostor počítače potřebné k uložení tabulek.

Tabulky logaritmů

Stránka z Henry Briggs ' 1617 Logarithmorum Chilias Prima zobrazující logaritmus celých 10 (běžný) celých čísel 0 až 67 až čtrnáct desetinných míst.
Část tabulky 20. století běžné logaritmy v referenční knize Abramowitz a Stegun.
Stránka z tabulky logaritmů z trigonometrické funkce od roku 2002 Americký praktický navigátor. Na pomoc jsou zahrnuty sloupce rozdílů interpolace.

Tabulky obsahující běžné logaritmy (základ-10) byly značně používány ve výpočtech před příchodem elektronických kalkulaček a počítačů, protože logaritmy převádějí problémy násobení a dělení na mnohem jednodušší problémy sčítání a odčítání. Logaritmy Base-10 mají další vlastnost, která je jedinečná a užitečná: Společný logaritmus čísel větších než jedna, která se liší pouze faktorem síly deseti, má stejnou zlomkovou část, známou jako mantisa. Tabulky běžných logaritmů obvykle obsahovaly pouze kudlanky; celočíselná část logaritmu, známá jako charakteristický, lze snadno určit spočítáním číslic v původním čísle. Podobný princip umožňuje rychlý výpočet logaritmů kladných čísel menších než 1. Pro celý rozsah kladných desetinných čísel lze tedy použít jedinou tabulku společných logaritmů.[2] Vidět společný logaritmus pro podrobnosti o použití charakteristik a mantiss.

Dějiny

Hlavní článek: Historie logaritmů

V roce 1544 Michael Stifel zveřejněno Arithmetica integra, který obsahuje tabulku celých čísel a mocnin 2, která byla považována za ranou verzi logaritmické tabulky.[3][4][5]

Metodu logaritmů veřejně navrhl John Napier v roce 1614, v knize s názvem Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis nádherného pravidla logaritmů).[6] Kniha obsahovala padesát sedm stran vysvětlující látky a devadesát stran tabulek, které se k ní vztahovaly přirozené logaritmy. Anglický matematik Henry Briggs navštívil Napier v roce 1615 a navrhl změnu měřítka Napierovy logaritmy vytvořit to, co je nyní známé jako běžný nebo základ-10 logaritmů. Napier delegoval Briggsovi výpočet revidované tabulky. V roce 1617 publikovali Logarithmorum Chilias Prima („První tisíc logaritmů“), který poskytl krátký popis logaritmů a tabulku pro prvních 1000 celých čísel vypočítaných na 14. desetinné místo.

Výpočetní pokrok dostupný prostřednictvím běžných logaritmů, převrácených čísel nebo exponenciální notace, byl takový, že to dělalo výpočty ručně mnohem rychleji.

Trigonometrické tabulky

Hlavní článek: Trigonometrické tabulky

Trigonometrické výpočty hrály důležitou roli v raném studiu astronomie. Rané tabulky byly konstruovány opakovaným používáním trigonometrické identity (jako je identita polovičního úhlu a součtu úhlu) k výpočtu nových hodnot ze starých.

Jednoduchý příklad

Vypočítat sinus funkce 75 stupňů, 9 minut, 50 sekund pomocí tabulky trigonometrických funkcí, jako je Berneggerova tabulka z roku 1619 znázorněná výše, lze jednoduše zaokrouhlit nahoru na 75 stupňů, 10 minut a poté najít 10minutový záznam na stránce 75 stupňů, zobrazeno vpravo nahoře, což je 0,9666746.

Tato odpověď je však přesná pouze na čtyři desetinná místa. Pokud by někdo chtěl větší přesnost, mohl by interpolovat lineárně takto:

Z tabulky Bernegger:

hřích (75 ° 10 ′) = 0,9666746
hřích (75 ° 9 ′) = 0,9666001

Rozdíl mezi těmito hodnotami je 0,0000745.

Jelikož v minutové oblouku je 60 sekund, vynásobíme rozdíl 50/60, abychom získali opravu (50/60) * 0,0000745 ≈ 0,0000621; a potom přidejte tuto opravu hříchu (75 ° 9 ′), abyste získali:

hřích (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ hřích (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622

Moderní kalkulačka dává sin (75 ° 9 ′ 50 ″) = 0,96666219991, takže naše interpolovaná odpověď je přesná k 7místné přesnosti tabulky Bernegger.

U tabulek s vyšší přesností (více číslic na hodnotu) může být k dosažení úplné přesnosti potřeba interpolace vyššího řádu.[7] V éře před elektronickými počítači byla interpolace dat tabulky tímto způsobem jediným praktickým způsobem, jak získat vysoké hodnoty přesnosti matematických funkcí potřebných pro aplikace, jako je navigace, astronomie a geodetické práce.

Abychom pochopili důležitost přesnosti v aplikacích, jako je navigace, všimněte si, že na hladina moře jednu minutu oblouku podél Země rovník nebo a poledník (opravdu, jakýkoli velký kruh ) se rovná přibližně jedné námořní míle (1,852 km nebo 1,151 mi).

Viz také

Reference

  1. ^ A b J. J. O'Connor a E. F. Robertson (červen 1996). "Trigonometrické funkce". Citováno 4. března 2010.
  2. ^ E. R. Hedrick, Logaritmické a trigonometrické tabulky (Macmillan, New York, 1913).
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, Londýn: Iohan Petreium
  4. ^ Bukhshtab, A.A .; Pechaev, V.I. (2001) [1994], "Aritmetický", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
  5. ^ Vivian Shaw Groza a Susanne M. Shelley (1972), Precalculus matematika, New York: Holt, Rinehart a Winston, s. 182, ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier a vynález logaritmů, 1614, Cambridge: The University Press
  7. ^ Abramowitz a Stegun Příručka matematických funkcí, úvod §4

externí odkazy

  • LOCOMAT : Sčítání matematických a astronomických tabulek.