Gelfond – Schneiderova věta - Gelfond–Schneider theorem
v matematika, Gelfond – Schneiderova věta zakládá transcendence velké třídy čísel.
Dějiny
To bylo původně prokázáno samostatně v roce 1934 Aleksandr Gelfond[1] a Theodor Schneider.
Prohlášení
- Li A a b jsou algebraická čísla s A ≠ 0, 1 a b iracionální, pak libovolná hodnota Ab je transcendentní číslo.
Komentáře
- Hodnoty A a b nejsou omezeny na reálná čísla; komplexní čísla jsou povoleny (nikdy nejsou racionální, pokud mají imaginární část rovnou 0, i když jsou racionální jak reálná, tak imaginární část).
- Obecně, Ab = exp (b log A) je více hodnot, kde log znamená komplexní logaritmus. Toto odpovídá výrazu „libovolná hodnota“ ve větě.
- Ekvivalentní formulace věty je následující: pokud α a y jsou nenulová algebraická čísla a vezmeme jakýkoli nenulový logaritmus α, pak (log y) / (log α) je racionální nebo transcendentální. To lze vyjádřit slovy, že pokud log α, log y jsou lineárně nezávislé nad racionály, pak jsou lineárně nezávislé na algebraických číslech. Zobecnění tohoto tvrzení na obecnější lineární tvary v logaritmech několika algebraických čísel je v doméně teorie transcendentních čísel.
- Pokud omezení, že A a b be algebraic is remove, the statement does not remain true in general. Například,
- Tady, A je √2√2, který (jak dokazuje samotná věta) je spíše transcendentální než algebraický. Podobně, pokud A = 3 a b = (log 2) / (log 3), který je tedy transcendentální Ab = 2 je algebraické. Charakterizace hodnot pro A a b, které poskytují transcendentální Ab, není známo.
- Kurt Mahler prokázal p-adic analogie věty: pokud A a b jsou v Cp, dokončení z algebraické uzavření z Qpa jsou algebraické Q, a pokud a pak je racionální nebo transcendentální, kde logp je p-adická logaritmická funkce.
Dodatky
Transcendence následujících čísel bezprostředně vyplývá z věty:
- Gelfond – Schneiderova konstanta a jeho druhá odmocnina
- Gelfondova konstanta
Aplikace
Gelfond-Schneiderova věta odpovídá kladně Hilbertův sedmý problém.
Viz také
- Lindemann – Weierstrassova věta
- Bakerova věta; prodloužení výsledku
- Schanuelův dohad; pokud se prokáže, znamenalo by to jak Gelfond-Schneiderovu větu, tak Lindemann-Weierstrassovu větu
Reference
- ^ Aleksandr Gelfond (1934). „Sur le septième Problème de Hilbert“. Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.
Další čtení
- Baker, Alan (1975), Teorie transcendentních čísel, Cambridge University Press, str. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl 0297.10013
- Feldman, N. I .; Nesterenko, Yu. PROTI. (1998), Transcendentní číslaEncyklopedie matematických věd, 44, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61467-2, PAN 1603604
- Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendentální a algebraická čísla, Vydání Dover Phoenix, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, PAN 0057921
- LeVeque, William J. (2002) [1956]. Témata z teorie čísel, svazky I a II. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9.
- Niven, Ivan (1956). Iracionální čísla. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-011-7.
- Weisstein, Eric W. „Gelfond-Schneiderova věta“. MathWorld.