Symbol diferenciálního operátoru - Symbol of a differential operator

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, symbol operátoru lineárního diferenciálu je polynomiální představující a operátor diferenciálu, který se získá zhruba řečeno jejich nahrazením parciální derivace novou proměnnou. Symbol operátora diferenciálu má široké použití Fourierova analýza. Zejména v této souvislosti vede k představě a operátor pseudo-diferenciálu. Termíny nejvyššího řádu symbolu, známé jako hlavní symbol, téměř úplně řídí kvalitativní chování řešení a parciální diferenciální rovnice. Lineární eliptické parciální diferenciální rovnice lze charakterizovat jako ty, jejichž hlavní symbol není nikde nula. Ve studii o hyperbolický a parabolické parciální diferenciální rovnice, nuly hlavního symbolu odpovídají charakteristiky parciální diferenciální rovnice. V důsledku toho je symbol často zásadní pro řešení takových rovnic a je jedním z hlavních výpočetních zařízení používaných ke studiu jejich singularit.

Definice

Provozovatelé v euklidovském prostoru

Nechat P být lineárním diferenciálním operátorem řádu k na Euklidovský prostor R^d. Pak P je polynom v derivaci D, v kterém multi-index zápis lze psát

${displaystyle P = p (x, D) = součet _ {| alfa | leq k} a_ {alpha} (x) D ^ {alpha}.}$

The symbol celkem z P je polynom str:

${displaystyle p (x, xi) = součet _ {| alfa | leq k} a_ {alpha} (x) xi ^ {alpha}.}$

The přední symbol, také známý jako hlavní symbol, je složkou nejvyššího stupně str :

${displaystyle sigma _ {P} (xi) = součet _ {| alfa | = k} a_ {alpha} xi ^ {alpha}}$

a má význam později, protože je to jediná část symbolu, která se transformuje jako tenzor pod změnami souřadnicového systému.

Symbol P se přirozeně objevuje v souvislosti s Fourierova transformace jak následuje. Nechť ƒ být Schwartzova funkce. Pak inverzní Fourierovou transformací,

${displaystyle Pf (x) = {frac {1} {(2pi) ^ {d}}} int _ {mathbf {R} ^ {d}} e ^ {ixcdot xi} p (x, ixi) {hat {f }} (xi), dxi.}$

To vykazuje P jako Fourierův multiplikátor. Obecnější třída funkcí str(X, ξ) které splňují nanejvýš podmínky polynomiálního růstu v ξ, za kterých je tento integrál dobře vychovaný, zahrnují pseudo-diferenciální operátory.

Vektorové svazky

Nechat E a F být vektorové svazky přes uzavřené potrubí Xa předpokládejme

${displaystyle P: C ^ {infty} (E) o C ^ {infty} (F)}$

je diferenciální operátor objednávky ${displaystyle k}$. v lokální souřadnice na X, my máme

${displaystyle Pu (x) = součet _ {| alfa | = k} P ^ {alpha} (x) {frac {částečné ^ {alpha} u} {částečné x ^ {alfa}}} + {ext {nižšího řádu podmínky}}}$

kde, pro každého multi-index α, ${displaystyle P ^ {alpha} (x): E o F}$ je mapa svazku, symetrické na indexech α.

The k^th objednávkové koeficienty P transformovat jako symetrický tenzor

${displaystyle sigma _ {P}: S ^ {k} (T ^ {*} X) mnohokrát E o F}$

z tenzorový produkt z k^th symetrická síla z kotangenský svazek z X s E na F. Tento symetrický tenzor je znám jako hlavní symbol (nebo jen symbol) z P.

Souřadnicový systém Xⁱ umožňuje lokální bagatelizaci kotangensového svazku souřadnicovými diferenciály dXⁱ, které určují souřadnice vlákna ξ_i. Pokud jde o základ rámců E_μ, F_ν z E a Foperátor diferenciálu P rozkládá se na součásti

${displaystyle (Pu) _ {u} = součet _ {mu} P_ {u mu} u_ {mu}}$

v každé sekci u z E. Tady P_νμ je operátor skalárního diferenciálu definovaný

${displaystyle P_ {u mu} = součet _ {alpha} P_ {u mu} ^ {alpha} {frac {částečný} {částečný x ^ {alfa}}}.}$

Díky této bagatelizaci lze nyní napsat hlavní symbol

${displaystyle (sigma _ {P} (xi) u) _ {u} = součet _ {| alfa | = k} součet _ {mu} P_ {u mu} ^ {alpha} (x) xi _ {alpha} u ^ {mu}.}$

V kotangensním prostoru nad pevným bodem X z X, symbol ${displaystyle sigma _ {P}}$ definuje a homogenní polynom stupně k v ${displaystyle T_ {x} ^ {*} X}$ s hodnotami v ${displaystyle operatorname {Hom} (E_ {x}, F_ {x})}$.

Operátor diferenciálu ${displaystyle P}$ je eliptický pokud je jeho symbol invertibilní; to je pro každou nenulovou hodnotu ${displaystyle heta v T ^ {*} X}$ mapa svazku ${displaystyle sigma _ {P} (heta, tečky, heta)}$ je invertibilní. Na kompaktní potrubí, z eliptické teorie vyplývá, že P je Operátor Fredholm: má konečně-dimenzionální jádro a koksovna.

Viz také

• Multiplikátor (Fourierova analýza)
• Atiyah – Singerova věta o indexu (část o symbolu operátora)

Reference

• Osvobozen, Daniel S., Geometrie Diracových operátorů, str. 8
• Hörmander, L. (1983), Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů IGrundl. Matematika. Wissenschaft., 256Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN  3-540-12104-8, PAN  0717035.
• Wells, R.O. (1973), Diferenciální analýza složitých potrubí, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0.