Odvození (diferenciální algebra) - Derivation (differential algebra)

v matematika, a derivace je funkce na algebra který zobecňuje určité rysy derivát operátor. Konkrétně vzhledem k algebře A přes prsten nebo a pole K., a K.-odvození je a K.-lineární mapa D : A → A to uspokojuje Leibnizův zákon:

{ displaystyle D (ab) = aD (b) + D (a) b.}

Obecněji, pokud M je A-bimodul, a K.-lineární mapa D : A → M který splňuje Leibnizův zákon, se také nazývá derivace. Sbírka všech K.- deriváty A pro sebe je označen Der_K.(A). Sbírka K.- deriváty A do A-modul M je označen Der_K.(A, M).

K derivacím dochází v mnoha různých kontextech v různých oblastech matematiky. The parciální derivace s ohledem na proměnnou je R- derivace na algebře skutečný diferencovatelné funkce na Rⁿ. The Derivát lži s ohledem na a vektorové pole je R- derivace na algebře diferencovatelných funkcí na a diferencovatelné potrubí; obecněji se jedná o derivaci na tenzorová algebra potrubí. Z toho vyplývá, že adjoint reprezentace Lieovy algebry je derivace této algebry. The Derivát Pincherle je příklad derivace v abstraktní algebra. Pokud algebra A je nekomutativní, pak komutátor s ohledem na prvek algebry A definuje lineární endomorfismus z A sama o sobě, což je derivace K.. Algebra A vybaveno významnou derivací d tvoří a diferenciální algebra, a je sama o sobě významným předmětem studia v oblastech, jako je diferenciální Galoisova teorie.

Vlastnosti

Li A je K.-algebra, pro K. prsten a ${ displaystyle D dvojtečka A až A}$ je K.- tedy derivace

Li A má tedy jednotku 1 D(1) = D(1²) = 2D(1), takže D(1) = 0. Tedy o K.-linearita, D(k) = 0 pro všechny ${ displaystyle k v K.}$
Li A je komutativní D(X²) = xD(X) + D(X)X = 2xD(X), a D(Xⁿ) = nxⁿ⁻¹D(X), pravidlem Leibniz.
Obecněji pro všechny X₁, X₂, ..., X_n ∈ A, následuje indukce že

{ displaystyle D (x_ {1} x_ {2} cdots x_ {n}) = součet _ {i} x_ {1} cdots x_ {i-1} D (x_ {i}) x_ {i + 1} cdots x_ {n}}

který je

{ displaystyle sum _ {i} D (x_ {i}) prod _ {j neq i} x_ {j}}

pokud pro všechny

{ displaystyle i, D (x_ {i})}

dojíždí s

{ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {i-1}}

.

Dⁿ není derivace, místo toho splňuje Leibnizovo pravidlo vyššího řádu:

{ displaystyle D ^ {n} (uv) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} cdot D ^ {nk} (u) cdot D ^ {k }(proti).}

Navíc pokud M je A-bimodul, napište

{ displaystyle operatorname {Der} _ {K} (A, M)}

pro soubor K.- deriváty od A na M.

Der_K.(A, M) je modul přes K..
Der_K.(A) je Lež algebra s Lieovým držákem definovaným komutátor:

{ displaystyle [D_ {1}, D_ {2}] = D_ {1} cirkus D_ {2} -D_ {2} cirkus D_ {1}.}

protože je snadno ověřitelné, že komutátor dvou derivací je opět derivací.

Tady je A-modul ${ displaystyle Omega _ {A / K}}$ (volal Kählerovy diferenciály ) s K.-derivace ${ displaystyle d: A až Omega _ {A / K}}$ skrz které se odvozuje ${ displaystyle D: A až M}$ faktory. To znamená pro jakoukoli derivaci D tady je A-modulová mapa ${ displaystyle varphi}$ s

{ displaystyle D: A { stackrel {d} { longrightarrow}} Omega _ {A / K} { stackrel { varphi} { longrightarrow}} M}

Korespondence

{ displaystyle D leftrightarrow varphi}

je izomorfismus z A-moduly:

{ displaystyle operatorname {Der} _ {K} (A, M) simeq operatorname {Hom} _ {A} ( Omega _ {A / K}, M)}

Li k ⊂ K. je podřízený, pak A dědí a k-algebraová struktura, takže existuje inkluze

{ displaystyle operatorname {Der} _ {K} (A, M) podmnožina operatorname {Der} _ {k} (A, M),}

protože jakýkoli K.-odvození je tím spíše A k-derivace.

Odstupňované derivace

Vzhledem k odstupňovaná algebra A a homogenní lineární mapa D platové třídy |D| na A, D je homogenní derivace -li

{ displaystyle {D (ab) = D (a) b + varepsilon ^ {| a || D |} aD (b)}}

pro každý homogenní prvek A a každý prvek b z A pro faktor komutátoru ε = ±1. A odstupňovaná derivace je součet homogenních derivací se stejnými ε.

Li ε = 1, tato definice se redukuje na obvyklý případ. Li ε = −1pak však

{ displaystyle {D (ab) = D (a) b + (- 1) ^ {| a |} aD (b)}}

pro liché |D| a D se nazývá anti-derivace.

Příklady anti-derivací zahrnují vnější derivace a vnitřní produkt jednající na diferenciální formy.

Odstupňované derivace superalgebry (tj. Z₂-graded algebras) se často nazývají superderivace.

Související pojmy

Hasse – Schmidtovy derivace jsou K.-algebrické homomorfismy

{ displaystyle A až A [[t]].}

Skládání dále s mapou, která posílá a formální mocenské řady ${ displaystyle sum a_ {n} t ^ {n}}$ do koeficientu ${ displaystyle a_ {1}}$ dává odvození.

Viz také

Reference

Bourbaki, Nicolasi (1989), Algebra I, Základy matematiky, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Eisenbud, David (1999), Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii (3. vyd.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
Matsumura, Hideyuki (1970), Komutativní algebra, Řada přednášek z matematiky, W. A. Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Přirozené operace v diferenciální geometrii, Springer-Verlag.