Diniho test - Dini test

v matematika, Dini a Dini – Lipschitzovy testy jsou vysoce přesné testy, které lze použít k prokázání, že Fourierova řada a funkce konverguje v daném bodě. Tyto testy jsou pojmenovány po Ulisse Dini a Rudolf Lipschitz.^[1]

Definice

Nechat $F$ být funkcí na [0,2 $π$ ], nechť $t$ být nějaký bod a nechat $δ$ být kladné číslo. Definujeme lokální modul spojitosti na místě $t$ podle

{ displaystyle left. right. omega _ {f} ( delta; t) = max _ {| varepsilon | leq delta} | f (t) -f (t + varepsilon) |}

Všimněte si, že zde uvažujeme $F$ být periodickou funkcí, např. -li $t = 0$ a $ε$ je negativní, pak definujeme $F (ε) = F (2π + ε)$ .

The globální modul spojitosti (nebo jednoduše modul spojitosti ) je definován

{ displaystyle omega _ {f} ( delta) = max _ {t} omega _ {f} ( delta; t)}

S těmito definicemi můžeme uvést hlavní výsledky:

Věta (Diniho test): Předpokládejme funkci

F

uspokojuje v určitém okamžiku

t

že

{ displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac {1} { delta}} omega _ {f} ( delta; t) , mathrm {d} delta < infty. }

Pak Fourierova řada

F

konverguje v

t

na

F (t)

.

Například věta platí pro $ω F = log -2 (1 / δ)$ ale nedrží se $log -1 (1 / δ)$ .

Věta (Dini – Lipschitzův test): Předpokládejme funkci

F

splňuje

{ displaystyle omega _ {f} ( delta) = o left ( log { frac {1} { delta}} right) ^ {- 1}.}

Pak Fourierova řada

F

konverguje jednotně k

F

.

Zejména jakákoli funkce a Třída Hölder^{[je zapotřebí objasnění ]} vyhovuje testu Dini – Lipschitz.

Přesnost

Oba testy jsou nejlepší svého druhu. Pro Dini-Lipschitzův test je možné sestrojit funkci $F$ s modulem spojitosti vyhovujícím zkoušce $Ó$ namísto $Ó$ , tj.

{ displaystyle omega _ {f} ( delta) = O left ( log { frac {1} { delta}} right) ^ {- 1}.}

a Fourierova řada $F$ rozchází se. Pro Diniho test je prohlášení o přesnosti o něco delší: říká, že pro jakoukoli funkci Ω takovou

{ displaystyle int _ {0} ^ { pi} { frac {1} { delta}} Omega ( delta) , mathrm {d} delta = infty}

existuje funkce $F$ takhle

{ displaystyle omega _ {f} ( delta; 0) < Omega ( delta)}

a Fourierova řada $F$ se rozchází na 0.

Viz také

Reference

^ Gustafson, Karl E. (1999), Úvod do parciálních diferenciálních rovnic a Hilbertovy prostorové metody Publikace Courier Dover, s. 121, ISBN 978-0-486-61271-3

[1] Gustafson, Karl E. (1999), Úvod do parciálních diferenciálních rovnic a Hilbertovy prostorové metody Publikace Courier Dover, s. 121, ISBN 978-0-486-61271-3

[1]