Vektorové pole na koulích - Vector fields on spheres
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Květen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, diskuse o vektorová pole na koulích byl klasický problém diferenciální topologie, počínaje teorém o chlupaté kouli a rané práce na klasifikaci divize algebry.
Otázkou je konkrétně kolik lineárně nezávislé na a. lze zkonstruovat hladká vektorová nulová vektorová pole koule v N-dimenzionální Euklidovský prostor. Definitivní odpověď poskytl v roce 1962 Frank Adams. Už to bylo známo[1], přímou konstrukcí pomocí Cliffordské algebry, že tam bylo alespoň ρ (N) -1 takových polí (viz definice níže). Adams se přihlásil teorie homotopy a topologická K-teorie[2] dokázat, že již nelze najít další nezávislá vektorová pole.
Technické údaje
Podrobně se otázka týká „kulatých koulí“ a jejich tečné svazky: ve skutečnosti od všeho exotické sféry mít izomorfní tangentní svazky, Radon – Hurwitzova čísla ρ(N) určete maximální počet lineárně nezávislých řezů tangenta svazku jakékoli homotopy koule. Případ N liché se stará o Poincaré – Hopfova věta o indexu (vidět teorém o chlupaté kouli ), takže případ N dokonce je jeho rozšířením. Adams ukázal, že maximální počet nepřetržitých (hladký by se zde nelišilo) bodově lineárně nezávislá vektorová pole na (N - 1) -sféra je přesně ρ(N) − 1.
Konstrukce polí souvisí se skutečností Cliffordské algebry, což je teorie s periodicitou modulo 8, který se zde také zobrazuje. Podle Gram – Schmidtův proces, je stejné žádat o (bodovou) lineární nezávislost nebo pole, která dávají ortonormální základ v každém bodě.
Radon – Hurwitzova čísla
The Radon – Hurwitzova čísla ρ(n) se vyskytují v dřívější práci Johann Radon (1922) a Adolf Hurwitz (1923) na Hurwitzův problém na kvadratické formy.[3] Pro N zapsán jako součin lichého čísla A a a síla dvou 2B, psát si
- B = C + 4d, 0 ≤ C < 4.
Pak[3]
- ρ(N) = 2C + 8d.
Prvních několik hodnot ρ(2n) jsou (od (sekvence A053381 v OEIS )):
- 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...
Pro zvláštní n, hodnota funkce ρ(n) je jedna.
Tato čísla se vyskytují také v jiných souvisejících oblastech. v teorie matic, číslo Radon – Hurwitz počítá maximální velikost lineárního podprostoru skutečného n×n matice, pro které je každá nenulová matice a transformace podobnosti, tj. výrobek ortogonální matice a a skalární matice. v kvadratické formy, Hurwitzův problém požaduje multiplikativní identity mezi kvadratickými formami. Klasické výsledky byly revidovány v roce 1952 Beno Eckmann. Nyní se používají v oblastech včetně teorie kódování a teoretická fyzika.
Reference
- ^ James, I. M. (1957). "Produkty Whitehead a vektorová pole ve sférách". Sborník Cambridge Philosophical Society. 53: 817–820.
- ^ Adams, J. F. (1962). "Vektorové pole na koulích". Annals of Mathematics. 75: 603–632. doi:10.2307/1970213. Zbl 0112.38102.
- ^ A b Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. p. 127. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
- Porteous, I.R. (1969). Topologická geometrie. Van Nostrand Reinhold. str.336–352. ISBN 0-442-06606-6. Zbl 0186.06304.
- Miller, H.R. „Vektorová pole na koulích atd. (Poznámky k kurzu)“ (PDF). Citováno 10. listopadu 2018.