Uzel (matematika) - Knot (mathematics)




v matematika, a uzel je vkládání a topologický kruh S1 v 3-dimenzionálním Euklidovský prostor, R3 (také známý jako E3), uvažované až do průběžných deformací (izotopy ).
Zásadní rozdíl mezi standardními matematickými a konvenčními pojmy a uzel je, že matematické uzly jsou uzavřené - neexistují žádné konce, které by vázaly nebo rozvázaly matematický uzel. Fyzikální vlastnosti, jako je tření a tloušťka, také neplatí, ačkoli existují matematické definice uzlu, které takové vlastnosti berou v úvahu. Termín uzel se také používá pro vložení S j v Sn, zejména v případě j = n − 2. Odvětví matematiky, které studuje uzly, je známé jako teorie uzlů a má mnoho jednoduchých vztahů teorie grafů.
Formální definice
Uzel je vkládání z kruh (S1) do trojrozměrný Euklidovský prostor (R3).[1] nebo 3 koule, S3, protože 3-koule je kompaktní.[2] [Poznámka 1] Dva uzly jsou definovány jako ekvivalentní, pokud existuje okolní izotopy mezi nimi.[3]
Projekce
Uzel dovnitř R3 (nebo alternativně v 3 koule, S3), lze promítnout na rovinuR2 (respektive a koule S2). Tato projekce je téměř vždy pravidelný, což znamená, že je injekční všude, s výjimkou a konečné číslo hraničních přechodů, které jsou projekcemi jen dva body uzlu a tyto body nejsou kolineární. V tomto případě lze výběrem projekční strany zcela zakódovat izotopy třída uzlu jeho pravidelnou projekcí zaznamenáním jednoduché nad / pod informací na těchto přechodech. Z hlediska teorie grafů pravidelná projekce uzlu nebo uzlový diagram je tedy kvadrivalent rovinný graf s nad / pod zdobenými vrcholy. Místní úpravy tohoto grafu, které umožňují přechod z jednoho diagramu na jakýkoli jiný diagram stejného uzlu (až do okolního prostředí) izotopy roviny) Reidemeister se pohybuje.
Reidemeister tah 1
Reidemeister tah 2
Reidemeister tah 3
Druhy uzlů

Nejjednodušší uzel, nazývaný rozepnout nebo triviální uzel, je kruhový kruh vložený do R3.[4] V běžném slova smyslu není uzel vůbec „zauzlený“. Nejjednodušší netriviální uzly jsou trojlístkový uzel (31 v tabulce), uzel osmičky (41) a uzel mochny (51).[5]
Několik uzlů, spojených nebo zamotaných dohromady, se nazývá Odkazy. Uzly jsou odkazy s jednou komponentou.
Zkrotit vs. divoké uzly

A polygonální uzel je uzel, jehož obraz v R3 je svaz a konečná množina z úsečky.[6] A krotit uzel je jakýkoli uzel ekvivalentní polygonálnímu uzlu.[6][Poznámka 2] Uzly, které nejsou krotké, se nazývají divoký,[7] a může mít patologické chování.[7] V teorii uzlů a 3-potrubí teorie je často vynecháno přídavné jméno „krotký“. Například hladké uzly jsou vždy krotké.
Zarámovaný uzel
A zarámovaný uzel je rozšíření krotkého uzlu k vložení pevného torusu D2 × S1 v S3.
The rámování uzlu je spojovací číslo obrázku pásky Já × S1 s uzlem. Zarámovaný uzel lze vidět jako vloženou stuhu a rámování je (podepsaný) počet zákrutů.[8] Tato definice se zobecňuje na analogickou pro zarámované odkazy. Zarámované odkazy se říká, že jsou ekvivalent pokud jsou jejich rozšíření na pevné tori izotopová.
Zarámovaný odkaz diagramy jsou spojovací diagramy s každou komponentou označenou, pro indikaci rámování, znakem celé číslo představující sklon vzhledem k poledníku a preferované zeměpisné délce. Standardní způsob, jak zobrazit spojovací diagram bez označení, že představuje zarámovaný odkaz, je použít rámování tabule. Toto orámování se získá převedením každé součásti na pásku ležící naplocho v rovině. Typ I. Reidemeister tah jasně mění rámování tabule (mění počet zákrutů na pásu karet), ale další dva tahy ne. Nahrazení typu, který pohybuji, upraveným typem, který pohybuji, dává výsledek pro linkové diagramy s rámováním tabule podobné větě Reidemeister: Linkové diagramy s rámováním tabule představují ekvivalentní zarámované odkazy právě tehdy, když jsou spojeny posloupností ) tahy typu I, II a III. Vzhledem k uzlu lze na něm definovat nekonečně mnoho rámců. Předpokládejme, že máme uzel s pevným rámováním. Jeden může získat nový rám ze stávajícího tím, že odstřihne stuhu a otočí ji celočíselným násobkem 2π kolem uzlu a poté znovu přilepí na místo, kde jsme provedli řez. Tímto způsobem získáme nový rám ze starého, až do vztahu ekvivalence pro zarámované uzly „ponecháme uzel fixovaný. [9] Rámování v tomto smyslu je spojeno s počtem zákrutů, které vektorové pole provádí kolem uzlu. Vědět, kolikrát je vektorové pole zkrouceno kolem uzlu, umožňuje určit vektorové pole až do difeomorfismu a třída ekvivalence rámování je zcela určena tímto celým číslem, které se nazývá rámcové celé číslo
Uzel doplněk

Vzhledem k uzlu ve 3 sféře je uzlový doplněk jsou všechny body 3 koule, které nejsou obsaženy v uzlu. Hlavní věta Gordona a Lueckeho uvádí, že nanejvýš dva uzly mají homeomorfní doplňky (původní uzel a jeho zrcadlový odraz). To ve skutečnosti změní studium uzlů na studium jejich doplňků a následně na Teorie 3-variet.[10]
JSJ rozklad
The JSJ rozklad a Thurstonova věta o hyperbolizaci redukuje studium uzlů ve 3 sféře na studium různých geometrických potrubí prostřednictvím sestřih nebo satelitní provoz. Na vyobrazeném uzlu rozloží rozklad JSJ komplement do spojení tří potrubí: dvou trojlístek doplňuje a doplněk Borromejské prsteny. Trojlístkový doplněk má geometrii H2 × R, zatímco doplněk Borromean prstenů má geometrii H3.
Harmonické uzly
Parametrické reprezentace uzlů se nazývají harmonické uzly. Aaron Trautwein sestavil ve své disertační práci parametrické reprezentace pro všechny uzly až do včetně uzlů s křížením 8.[11]
Aplikace v teorii grafů

Mediální graf




Další pohodlné znázornění uzlových diagramů [12][13] byl představen Peter Tait v roce 1877.[14][15]
Libovolný uzlový diagram definuje a rovinný graf jejichž vrcholy jsou přechody a jejichž hrany jsou cesty mezi následujícími přechody. Přesně jedna tvář tohoto planárního grafu je neomezená; každý z ostatních je homeomorfní na 2-dimenzionální disk. Vybarvěte tyto plochy černou nebo bílou tak, aby neohraničená plocha byla černá a jakékoli dvě plochy, které sdílejí hraniční hranu, měly opačné barvy. The Jordanova věta o křivce znamená, že existuje přesně jedno takové zbarvení.
Zkonstruujeme nový rovinný graf, jehož vrcholy jsou bílé plochy a jejichž hrany odpovídají křížením. Můžeme označit každou hranu v tomto grafu jako levou hranu nebo pravou hranu, v závislosti na tom, které vlákno se zdá přejít druhou, když si prohlížíme odpovídající křížení z jednoho z koncových bodů hrany. Levý a pravý okraj jsou obvykle označeny označením levého okraje + a pravého okraje -, nebo nakreslením levého okraje plnými čarami a pravého okraje přerušovanými čarami.
Původní uzlový diagram je mediální graf tohoto nového grafu roviny, přičemž typ každého křížení je určen znaménkem odpovídající hrany. Změna znaménka každý hrana odpovídá odrazu uzel v zrcadle.
Vkládání bez propojení a bez uzlů

Ve dvou rozměrech pouze rovinné grafy mohou být vloženy do euklidovské roviny bez křížení, ale ve třech rozměrech, jakékoli neorientovaný graf mohou být zapuštěny do prostoru bez přechodů. Prostorový analog rovinných grafů však poskytují grafy s vkládání bez odkazů a bezuzlové vložení. Vkládání bez odkazů je vložení grafu s vlastností, kterou jsou libovolné dva cykly nepřipojeno; bezuzlové vložení je vložení grafu s vlastností, že jakýkoli jednotlivý cyklus je bez uzlů. Grafy, které mají vložené odkazy, mají a zakázaná charakterizace grafu zahrnující Petersenova rodina, sada sedmi grafů, které jsou vnitřně propojeny: bez ohledu na to, jak jsou vloženy, některé dva cykly budou vzájemně propojeny.[16] Úplná charakterizace grafů s bezuzlovými vložkami není známa, ale kompletní graf K.7 je jedním z minimálních zakázaných grafů pro bezuzlové vkládání: bez ohledu na to K.7 je vložený, bude obsahovat cyklus, který tvoří a trojlístkový uzel.[17]
Zobecnění
![]() | Tato sekce potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V současné matematice termín uzel se někdy používá k popisu obecnějšího jevu souvisejícího s vložením. Vzhledem k rozmanitosti M s podříznutím N, někdy říká N lze zauzlit M pokud existuje vložení N v M což není izotopové N. Tradiční uzly tvoří případ, kdy N = S1 a M = R3 nebo M = S3.[18][19]
The Věta Schoenflies říká, že kruh se neuzlívá ve 2-sféře: každý topologický kruh ve 2-sféře je izotopový vůči geometrické kružnici.[20] Alexandrova věta uvádí, že 2 koule neuzavírá hladce (nebo PL nebo topologicky topologicky) uzel ve 3 kouli.[21] V krotké topologické kategorii je známo, že n- koule se v uzlu neuzlí n + 1- koule pro všechny n. Toto je věta o Morton Brown, Barry Mazur, a Marston Morse.[22] The Alexander rohatá koule je příkladem vázané 2 koule ve 3 sféře, která není krotká.[23] V hladké kategorii je n-je známo, že se v uzlu neuzlí n + 1- poskytnuta sféra n ≠ 3. Pouzdro n = 3 je dlouhodobý problém úzce související s otázkou: připouští 4-míček exotická hladká struktura ?
André Haefliger dokázal, že neexistují žádné hladké j-rozměrné uzly v Sn pokud 2n − 3j − 3 > 0a uvedl další příklady vázaných koulí pro všechny n > j ≥ 1 takhle 2n − 3j − 3 = 0. n − j se nazývá kodimenzionální uzlu. Zajímavým aspektem Haefligerovy práce je, že izotopové třídy vložení S j v Sn tvoří skupinu se skupinovou operací danou spojovacím součtem za předpokladu, že ko-dimenze je větší než dvě. Haefliger založil svou práci Stephen Smale je hvěta o cobordismu. Jednou z Smaleových vět je, že když se jedná o uzly v ko-dimenzi větší než dva, mají i nerovnoměrné uzly diffeomorfní doplňky. To dává subjektu jinou příchuť než teorie ko-dimenze 2 uzlů. Pokud jeden umožňuje topologické nebo PL-izotopy, Christopher Zeeman dokázal, že koule se neuzlují, když je společná dimenze větší než 2. Viz a zobecnění na různá potrubí.
Viz také
Poznámky
- ^ Všimněte si, že 3-koule je ekvivalentní k R3 s jediným bodem přidaným v nekonečnu (viz jednobodové zhutnění ).
- ^ Uzel je krotký právě tehdy, pokud může být reprezentován jako konečný uzavřený polygonální řetězec
Reference
- ^ Armstrong (1983), str. 213.
- ^ Cromwell (2004), str. 33; Adams (1994), str. 246–250.
- ^ Cromwell (2004), str. 5.
- ^ Adams (1994), str. 2.
- ^ Adams (1994), Tabulka 1.1, s. 280; Livingstone (1996), Příloha A: Tabulka uzlů, str. 221.
- ^ A b Armstrong (1983), str. 215.
- ^ A b Charles Livingston (1993). Teorie uzlů. Cambridge University Press. str. 11. ISBN 978-0-88385-027-5.
- ^ Kauffman, Louis H. (1990). "Invariant pravidelné izotopy" (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 318 (2): 417–471. doi:10.1090 / S0002-9947-1990-0958895-7.
- ^ Elhamdadi, Mohamed; Hajij, Mustafa; Istvan, Kyle (2019), Zarámované uzly, arXiv předtisk arXiv: 1910.10257, arXiv:1910.10257.
- ^ Adams (1994), s. 261–262.
- ^ Aaron TrautweinPh.D. Diplomová práce HARMONICKÉ KNOTY University of Iowa May, 1994
- ^ Adams, Colin C. (2001). Kniha uzlů. Americká matematická společnost. str. 52–55.
- ^ Výukový program Entrelacs.net
- ^ Tait, Peter G. (1876–1877). "Na uzlech I". Sborník Královské společnosti z Edinburghu. 28: 145–190. doi:10.1017 / S0080456800090633.
Revidováno 11. května 1877.
- ^ Tait, Peter G. (1876–1877). „Na odkazech (abstrakt)“. Sborník Královské společnosti z Edinburghu. 9 (98): 321–332. doi:10.1017 / S0370164600032363.
- ^ Robertson, Neil; Seymour, Paule; Thomas, Robin (1993), „An survey of linkless embeddings“, in Robertson, Neil; Seymour, Paule (eds.), Teorie struktury grafu: Proc. Společná letní výzkumná konference AMS – IMS – SIAM o nezletilých grafech (PDF), Současná matematika, 147, American Mathematical Society, s. 125–136.
- ^ Ramirez Alfonsin, J. L. (1999), „Prostorové grafy a orientované matroidy: trojlístek“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 22 (1): 149–158, doi:10.1007 / PL00009446.
- ^ Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998). Vázané povrchy a jejich diagramy. Matematické průzkumy a monografie. 55. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0593-2. PAN 1487374.
- ^ Kamada, Seiichi (2017). Povrchové uzly ve 4prostoru. Springer Monografie z matematiky. Singapur: Springer. doi:10.1007/978-981-10-4091-7. ISBN 978-981-10-4090-0. PAN 3588325.
- ^ Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988). Topologie (2. vyd.). New York: Dover Publications. str. 175. ISBN 0-486-65676-4. PAN 1016814.
- ^ Calegari, Danny (2007). Foliace a geometrie 3-variet. Oxfordské matematické monografie. Oxford University Press. str. 161. ISBN 978-0-19-857008-0. PAN 2327361.
- ^ Mazur, Barry (1959). „Na vložení koulí“. Bulletin of the American Mathematical Society. 65 (2): 59–65. doi:10.1090 / S0002-9904-1959-10274-3. PAN 0117693. Brown, Morton (1960). „Důkaz zobecněné Schoenfliesovy věty“. Bulletin of the American Mathematical Society. 66 (2): 74–76. doi:10.1090 / S0002-9904-1960-10400-4. PAN 0117695. Morse, Marston (1960). "Snížení problému rozšíření Schoenflies". Bulletin of the American Mathematical Society. 66 (2): 113–115. doi:10.1090 / S0002-9904-1960-10420-X. PAN 0117694.
- ^ Alexander, J. W. (1924). „Příklad jednoduše připojeného povrchu ohraničujícího oblast, která není jednoduše připojená“. Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických. Národní akademie věd. 10 (1): 8–10. Bibcode:1924PNAS ... 10 .... 8A. doi:10.1073 / pnas.10.1.8. ISSN 0027-8424. JSTOR 84202. PMC 1085500. PMID 16576780.
- Adams, Colin C. (1994). Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů. W. H. Freeman & Company.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Armstrong, M. A. (1983) [1979]. Základní topologie. Pregraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Cromwell, Peter R. (2004). Uzly a odkazy. Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017 / CBO9780511809767. ISBN 0-521-83947-5. PAN 2107964.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Farmář, David W .; Stanford, Theodore B. (1995). Uzly a povrchy: Průvodce objevováním matematiky.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Livingstone, Charles (1996). Teorie uzlů. Matematická asociace Ameriky.CS1 maint: ref = harv (odkaz)