Teorie homotopy - Homotopy theory - Wikipedia

v matematika, teorie homotopy je systematické studium situací, ve kterých mapy přicházejí homotopie mezi nimi. Vzniklo jako téma v algebraická topologie ale dnes je studován jako samostatná disciplína. Kromě algebraické topologie se teorie používá také v jiných oblastech matematiky, jako je algebraická geometrie (např., A¹ teorie homotopy ) a teorie kategorií (konkrétně studie vyšší kategorie ).

Koncepty

Prostory

V teorii homotopy (stejně jako v algebraické topologii) člověk obvykle nepracuje s libovolnou topologický prostor aby se zabránilo patologiím v topologii bodové sady. Místo toho se předpokládá, že prostor je přiměřený prostor; význam závisí na autorech, ale může to znamenat, že prostor je kompaktně generované Hausdorffův prostor nebo je CW komplex. (V jistém smyslu „co je prostor“ není v homotopické teorii ustálenou záležitostí; srov. # Hypotéza homotopy níže.)

Často se pracuje s mezerou X s vybraným základním bodem * v prostoru; takový prostor se nazývá a špičatý prostor. K zachování základních bodů je poté nutná mapa mezi špičatými mezerami. Například pokud ${ displaystyle I = [0,1]}$ je jednotkový interval a 0 je základní bod, pak mapa ${ displaystyle f: I až X}$ je cesta od základního bodu ${ displaystyle * = f (0)}$ do té míry ${ displaystyle f (1)}$ . Adjektivum „free“ se používá k označení volnosti výběru základních bodů; například a volná cesta by byla libovolná mapa ${ displaystyle I až X}$ to nemusí nutně zachovat základní bod (pokud existuje). Mapa mezi špičatými mezerami se také často nazývá základní mapa, aby se zdůraznilo, že nejde o mapu zdarma.

Homotopy

Nechat Já označit jednotkový interval. Rodina map indexovaných podle Já, ${ displaystyle h_ {t}: X až Y}$ se nazývá homotopy z ${ displaystyle h_ {0}}$ na ${ displaystyle h_ {1}}$ -li ${ displaystyle h: I krát X až Y, (t, x) mapsto h_ {t} (x)}$ je mapa (např. musí být a spojitá funkce ). Když X, Y jsou špičaté mezery, ${ displaystyle h_ {t}}$ jsou nutné k zachování základních bodů. Homotopii lze zobrazit jako vztah ekvivalence. Vzhledem ke špičatému prostoru X a celé číslo ${ displaystyle n geq 1}$ , nechť ${ displaystyle pi _ {n} (X) = [S ^ {n}, X] _ {*}}$ být třídami homotopy založených map ${ displaystyle S ^ {n} až X}$ z (špičatého) n-koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ na X. Jak se ukazuje, ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$ jsou skupiny; zejména, ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$ se nazývá základní skupina z X.

Pokud člověk dává přednost práci s mezerou namísto špičatého prostoru, existuje pojem a základní grupoid (a vyšší varianty): podle definice základní grupoid prostoru X je kategorie Kde předměty jsou body X a morfismy jsou cesty.

Cofibration and fibration

Mapa ${ displaystyle f: A až X}$ se nazývá a cofibration pokud je dána (1) mapa ${ displaystyle h_ {0}: X až Z}$ a (2) homotopy ${ displaystyle g_ {t}: od A do Z}$ existuje homotopie ${ displaystyle h_ {t}: X až Z}$ který se prodlužuje ${ displaystyle h_ {0}}$ a takhle ${ displaystyle h_ {t} circ f = g_ {t}}$ . Do jisté míry je to analogie definičního diagramu injekční modul v abstraktní algebra. Nejzákladnějším příkladem je a CW pár ${ displaystyle (X, A)}$ ; protože mnoho z nich pracuje pouze s CW komplexy, pojem kofibrace je často implicitní.

A fibrace ve smyslu Serre je dvojí pojem kofibrace: tj. mapa ${ displaystyle p: X až B}$ je fibrace, pokud je dána (1) mapa ${ displaystyle Z až X}$ a (2) homotopy ${ displaystyle g_ {t}: Z až B}$ existuje homotopie ${ displaystyle h_ {t}: Z až X}$ takhle ${ displaystyle h_ {0}}$ je daný a ${ displaystyle p circ h_ {t} = g_ {t}}$ . Základní příklad je krycí mapa (ve skutečnosti je fibrace zobecněním krycí mapy). Li ${ displaystyle E}$ je ředitel školy G- svazek, tedy prostor s a zdarma a tranzitivní (topologické) skupinová akce z (topologické ), poté projekční mapa ${ displaystyle p: E až X}$ je příkladem fibrace.

Klasifikace mezer a operace homotopy

Vzhledem k topologické skupině G, třídicí prostor pro ředitel školy G- svazky („ekvivalence“) je prostor ${ displaystyle BG}$ takové, že pro každý prostor X,

{ displaystyle [X, BG] =}

{ ředitel školy G-bundle on X } / ~

{ displaystyle, , , [f] mapsto f ^ {*} EG}

kde

levá strana je soubor tříd homotopy map ${ displaystyle X na BG}$ ,
~ označuje izomorfismus svazků a
= je dáno stažením rozlišujícího svazku ${ displaystyle EG}$ na ${ displaystyle BG}$ (nazývá se univerzální balíček) podél mapy ${ displaystyle X na BG}$ .

Brownova věta o reprezentovatelnosti zaručuje existenci třídících prostorů.

Spektrum a obecná kohomologie

Myšlenku, že klasifikační prostor klasifikuje hlavní svazky, lze posunout dále. Například by se někdo mohl pokusit klasifikovat třídy cohomologie: vzhledem k abelianská skupina A (jako ${ displaystyle mathbb {Z}}$ ),

{ displaystyle [X, K (A, n)] = operatorname {H} ^ {n} (X; A)}

kde ${ displaystyle K (A, n)}$ je Eilenberg – MacLaneův prostor. Výše uvedená rovnice vede k pojmu zobecněné teorie kohomologie; tj. a kontravariantní funktor z kategorie prostorů do kategorie abelianských skupin který splňuje axiomy zobecňující běžnou teorii kohomologie. Jak se ukázalo, takový funktor nemusí být reprezentativní mezerou, ale vždy ji lze reprezentovat posloupností (špičatých) prostorů se strukturními mapami nazývanými spektrum. Jinými slovy, dát zobecněnou teorii cohomologie znamená dát spektrum.

Základní příklad spektra je a sférické spektrum: ${ displaystyle S ^ {0} na S ^ {1} na S ^ {2} na cdots}$

Klíčové věty

Věta Seifert – van Kampen
Věta o excizi homotopy
Freudenthalova věta o suspenzi (důsledek věty o excizi)
Landweberova věta o přesném funktoru
Dold – Kan korespondence
Argument Eckmann – Hilton - to ukazuje například vyšší homotopy skupiny jsou abelian.
Věta o univerzálním koeficientu

Teorie obstrukce a charakteristická třída

Viz také: Charakteristická třída, Postnikovova věž, Torze Whitehead

Lokalizace a dokončení prostoru

Specifické teorie

Existuje několik konkrétních teorií

Homotopická hypotéza

Jednou ze základních otázek v základech teorie homotopy je povaha prostoru. The homotopická hypotéza ptá se, zda je prostor něco zásadně algebraického.

Teorie abstraktní homotopy

Koncepty

Modelové kategorie

Zjednodušená teorie homotopy

Jednoduchá homotopy

Viz také

Reference

May, J. Stručný kurz v algebraické topologii
George William Whitehead (1978). Základy teorie homotopy. Postgraduální texty z matematiky. 61 (3. vyd.). New York-Berlín: Springer-Verlag. str. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. PAN 0516508. Citováno 6. září 2011.
Ronald Brown, Topologie a grupoidy (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

Další čtení

externí odkazy

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory