Eilenberg – Zilberova věta - Eilenberg–Zilber theorem

v matematika, konkrétně v algebraická topologie, Eilenberg – Zilberova věta je důležitým výsledkem při navazování spojení mezi homologické skupiny a produktový prostor ${ displaystyle X krát Y}$ a ty mezery ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ . Věta se poprvé objevila v článku z roku 1953 v American Journal of Mathematics podle Samuel Eilenberg a Joseph A. Zilber. Jednou z možných cest k důkazu je acyklický model teorém.

Výrok věty

Věta může být formulována následovně. Předpokládat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou topologické prostory „Pak máme tři řetězové komplexy ${ displaystyle C _ {*} (X)}$ , ${ displaystyle C _ {*} (Y)}$ , a ${ displaystyle C _ {*} (X krát Y)}$ . (Argument platí stejně pro zjednodušující nebo komplexy singulárního řetězce.) Máme také tenzorový produkt komplex ${ displaystyle C _ {*} (X) mnohokrát C _ {*} (Y)}$ , jehož rozdíl je podle definice

{ displaystyle delta ( sigma otimes tau) = delta _ {X} sigma otimes tau + (- 1) ^ {p} sigma otimes delta _ {Y} tau}

pro ${ displaystyle sigma v C_ {p} (X)}$ a ${ displaystyle delta _ {X}}$ , ${ displaystyle delta _ {Y}}$ diferenciály zapnuty ${ displaystyle C _ {*} (X)}$ , ${ displaystyle C _ {*} (Y)}$ .

Potom věta říká, že máme řetězové mapy

{ displaystyle F colon C _ {*} (X krát Y) rightarrow C _ {*} (X) otimes C _ {*} (Y), quad G colon C _ {*} (X) otimes C_ {*} (Y) rightarrow C _ {*} (X krát Y)}

takhle ${ displaystyle FG}$ je identita a ${ displaystyle GF}$ je řetězově homotopický k identitě. Mapy navíc jsou přírodní v ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ . V důsledku toho musí mít oba komplexy stejný homologie:

{ displaystyle H _ {*} (C _ {*} (X krát Y)) cong H _ {*} (C _ {*} (X) otimes C _ {*} (Y)).}

Důležité zobecnění pro neabelský případ s použitím zkřížených komplexů je uveden v článku Andrewa Tonkse níže. Tím získáte úplné podrobnosti o výsledku na (zjednodušeném) třídicí prostor zkříženého komplexu uvedeno, ale v článku neprokázáno Ronald Brown a Philip J. Higgins o klasifikaci prostorů.

Důsledky

Věta Eilenberg – Zilber je klíčovou ingrediencí při stanovení Künneth věta, který vyjadřuje skupiny homologie ${ displaystyle H _ {*} (X krát Y)}$ ve smyslu ${ displaystyle H _ {*} (X)}$ a ${ displaystyle H _ {*} (Y)}$ . Ve světle věty Eilenberg – Zilber spočívá obsah Künnethovy věty v analýze toho, jak homologie komplexu tenzorového produktu souvisí s homologiemi faktorů.

Viz také

Acyklický model

Reference

Eilenberg, Samuel; Zilber, Joseph A. (1953), „O produktech komplexů“, American Journal of Mathematics, 75 (1), s. 200–204, doi:10.2307/2372629, JSTOR 2372629, PAN 0052767.
Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1.
Tonks, Andrew (2003), „O teorému Eilenberg – Zilber pro zkřížené komplexy“, Journal of Pure and Applied Algebra, 179 (1–2), s. 199–230, doi:10.1016 / S0022-4049 (02) 00160-3, PAN 1958384.
Brown, Ronald; Higgins, Philip J. (1991), „Klasifikační prostor zkříženého komplexu“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 110, str. 95–120, CiteSeerX 10.1.1.145.9813, doi:10.1017 / S0305004100070158.