Slabá ekvivalence (teorie homotopy) - Weak equivalence (homotopy theory) - Wikipedia

v matematika, a slabá rovnocennost je pojem od teorie homotopy který v určitém smyslu identifikuje objekty, které mají stejný „tvar“. Tato představa je formalizována v axiomatický definice a kategorie modelu.

Kategorie modelu je a kategorie s třídami morfismy nazývané slabé ekvivalence, fibrace, a kofibrace, uspokojující několik axiomů. Přidružené kategorie homotopy modelové kategorie má stejné objekty, ale morfismy se mění, aby se do nich dostaly slabé ekvivalence izomorfismy. Je užitečným poznatkem, že přidružená kategorie homotopy závisí pouze na slabých ekvivalencích, nikoli na fibracích a kofibracích.

Topologické prostory

Modelové kategorie byly definovány pomocí Quillen jako axiomatizace teorie homotopy, která platí pro topologické prostory, ale také do mnoha dalších kategorií v algebra a geometrie. Příkladem, který zahájil předmět, je kategorie topologických prostorů s Serrovy fibrace jako fibrace a slabé homotopické ekvivalence jako slabé ekvivalence (kofibrace pro tuto modelovou strukturu lze popsat jako stáhne relativních buněčných komplexů X ⊆ Y^[1]). Podle definice a průběžné mapování F: X → Y mezer se nazývá slabá homotopická ekvivalence, pokud je indukovaná funkce na množinách součásti cesty

${ displaystyle f _ {*} colon pi _ {0} (X) to pi _ {0} (Y)}$

je bijektivní a za každý bod X v X a každý n ≥ 1, indukovaná homomorfismus

${ displaystyle f _ {*} tlustého střeva pi _ {n} (X, x) až pi _ {n} (Y, f (x))}$

na homotopické skupiny je bijektivní. (Pro X a Y spojeno s cestou, první podmínka je automatická a stačí uvést druhou podmínku pro jeden bod X v X.)

Pro jednoduše připojeno topologické prostory X a Y, mapa F: X → Y je slabá homotopická ekvivalence právě tehdy, pokud indukovaný homomorfismus F_*: H_n(X,Z) → H_n(Y,Z) zapnuto singulární homologie skupiny je bijektivní pro všechny n.^[2] Stejně tak pro jednoduše propojené prostory X a Y, mapa F: X → Y je slabá homotopická ekvivalence právě tehdy, pokud jde o homomorfismus zpětného rázu F*: Hⁿ(Y,Z) → Hⁿ(X,Z) zapnuto singulární kohomologie je bijektivní pro všechny n.^[3]

Příklad: Let X být množina přirozených čísel {0, 1, 2, ...} a nechat Y být množina {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, obě s topologie podprostoru z skutečná linie. Definovat F: X → Y mapováním 0 až 0 a n do 1 /n pro kladná celá čísla n. Pak F je spojitá a ve skutečnosti slabá homotopická rovnocennost, ale není to homotopická ekvivalence.

Kategorie homotopie topologických prostorů (získaná převrácením slabých homotopických ekvivalentů) výrazně zjednodušuje kategorii topologických prostorů. Tato kategorie homotopy skutečně je ekvivalent do kategorie CW komplexy s morfismem třídy homotopy spojitých map.

Uvažovalo se také o mnoha dalších modelových strukturách v kategorii topologických prostorů. Například ve struktuře modelu Strøm v topologických prostorech jsou fibrace Hurewiczovy fibrace a slabé ekvivalence jsou homotopické ekvivalence.^[4]

Řetězové komplexy

Zahrnují některé další důležité kategorie modelů řetězové komplexy. Nechat A být Grothendieck abelian kategorie, například kategorie moduly přes prsten nebo kategorie snopy z abelianské skupiny na topologickém prostoru. Definujte kategorii C(A) s objekty komplexy X předmětů v A,

${ displaystyle cdots až X_ {1} až X_ {0} až X _ {- 1} až cdots,}$

a morfismy řetězové mapy. (Je ekvivalentní uvažovat o „komplexech řetězců“ objektů A, kde je číslování psáno jako

${ displaystyle cdots až X ^ {- 1} až X ^ {0} až X ^ {1} až cdots,}$

jednoduše definováním Xⁱ = X_−i.)

Kategorie C(A) má modelovou strukturu, ve které jsou kofibrace monomorfismy a slabé ekvivalence jsou kvazi-izomorfismy.^[5] Podle definice řetězová mapa F: X → Y je kvazi-izomorfismus, pokud je indukovaný homomorfismus

${ displaystyle f _ {*} dvojtečka H_ {n} (X) až H_ {n} (Y)}$

na homologie je izomorfismus pro všechna celá čísla n. (Tady H_n(X) je předmětem A definován jako jádro z X_n → X_n−1 modulo the obraz z X_n+1 → X_n.) Výsledná kategorie homotopy se nazývá odvozená kategorie D(A).

Triviální fibrace a triviální kofibrace

V každé modelové kategorii se fibrace, která je také slabou ekvivalencí, nazývá a triviální (nebo acyklický) fibrace. Kofibrace, která je také slabou ekvivalencí, se nazývá a triviální (nebo acyklický) cofibration.

Poznámky

Reference

• Beke, Tibor (2000), "Sheafifiable homotopy model categories", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 129: 447–473, arXiv:matematika / 0102087, Bibcode:2000MPCPS.129..447B, doi:10.1017 / S0305004100004722, PAN  1780498
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0, PAN  1867354
• Hovey, Mark (1999), Kategorie modelů (PDF), Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1359-5, PAN  1650134
• Strøm, Arne (1972), „Kategorie homotopy je kategorií homotopy“, Archiv der Mathematik, 23: 435–441, doi:10.1007 / BF01304912, PAN  0321082