Freudenthalova věta o suspenzi - Freudenthal suspension theorem - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a to zejména v oblasti teorie homotopy, Freudenthalova věta o suspenzi je základním výsledkem vedoucím ke konceptu stabilizace homotopické skupiny a nakonec stabilní homotopická teorie. Vysvětluje chování současného užívání pozastavení a zvýšení indexu homotopy skupin daného prostoru. To bylo prokázáno v roce 1937 Hans Freudenthal.

Věta je důsledkem homotopická excizní věta.

Výrok věty

Nechat X být n-připojeno špičatý prostor (ukázal CW-komplex nebo ukázal zjednodušená sada ). Mapa

${ Displaystyle X až Omega ( Sigma X)}$

vyvolá mapu

${ displaystyle pi _ {k} (X) až pi _ {k} ( Omega ( Sigma X))}$

na homotopy skupiny, kde Ω označuje funktor smyčky a otes označuje funktor sníženého zavěšení. Věta o suspenzi pak uvádí, že indukovaná mapa na homotopických skupinách je izomorfismus -li k ≤ 2n a epimorfismus -li k = 2n + 1.

Základní výsledek ve smyčkových prostorech dává vztah

${ displaystyle pi _ {k} ( Omega ( Sigma X)) cong pi _ {k + 1} ( Sigma X)}$

takže teorém by jinak bylo možné vyjádřit pomocí mapy

${ displaystyle pi _ {k} (X) až pi _ {k + 1} ( Sigma X),}$

s malou výhradou, že v tomto případě musíte být opatrní při indexování.

Důkaz

Jak již bylo zmíněno výše, věta o suspenzi Freudenthal rychle vyplývá z homotopická excize; tento důkaz se týká přírodní mapy ${ displaystyle pi _ {k} (X) až pi _ {k + 1} ( Sigma X)}$. Pokud mezera ${ displaystyle X}$ je ${ displaystyle n}$-připojeno, pak dvojice mezer ${ displaystyle (CX, X)}$ je ${ displaystyle (n + 1)}$-připojeno, kde ${ displaystyle CX}$ je redukovaný kužel přes ${ displaystyle X}$; to vyplývá z relativní homotopy dlouhá přesná sekvence. Můžeme se rozložit ${ displaystyle Sigma X}$ jako dvě kopie ${ displaystyle CX}$, řekněme ${ displaystyle (CX) _ {+}, (CX) _ {-}}$, jehož průsečík je ${ displaystyle X}$. Potom homotopy excision říká mapa zahrnutí:

${ displaystyle ((CX) _ {+}, X) podmnožina ( Sigma X, (CX) _ {-})}$

indukuje izomorfismy ${ displaystyle pi _ {i}, i <2n + 2}$ a surjection na ${ displaystyle pi _ {2n + 2}}$. Ze stejné relativní dlouhé přesné sekvence ${ displaystyle pi _ {i} (X) = pi _ {i + 1} (CX, X),}$ a protože navíc jsou kužely stahovatelné,

${ displaystyle pi _ {i} ( Sigma X, (CX) _ {-}) = pi _ {i} ( Sigma X).}$

Když to dáme dohromady, dostaneme se

${ displaystyle pi _ {i} (X) = pi _ {i + 1} ((CX) _ {+}, X) = pi _ {i + 1} (( Sigma X, (CX) _ {-}) = pi _ {i + 1} ( Sigma X)}$

pro ${ displaystyle i + 1 <2n + 2}$, tj. ${ displaystyle i leqslant 2n}$, jak je uvedeno výše; pro ${ displaystyle i = 2n + 1}$ levá a pravá mapa jsou izomorfismy, bez ohledu na to, jak jsou propojeny ${ displaystyle X}$ je a prostřední je surjekcí excizí, takže kompozice je surjekcí, jak se tvrdí.

Dodatek 1

Nechat Sⁿ označit n-koule a všimněte si, že to je (n - 1) - propojeny tak, aby skupiny ${ displaystyle pi _ {n + k} (S ^ {n})}$ stabilizovat pro ${ displaystyle n geqslant k + 2}$ podle Freudenthalovy věty. Tyto skupiny představují kth stabilní homotopická skupina koulí.

Důsledek 2

Obecněji, pro pevné k ≥ 1, k ≤ 2n pro dostatečně velké n, takže jakýkoli n- propojený prostor X bude mít odpovídající stabilizované homotopické skupiny. Tyto skupiny jsou ve skutečnosti homotopy skupiny objektu odpovídající X v stabilní kategorie homotopy.

Reference

• Freudenthal, H. (1938), „Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen“, Compositio Mathematica, 5: 299–314.
• Goerss, P. G .; Jardine, J. F. (1999), Teorie zjednodušené homotopyPokrok v matematice, 174, Basilej-Boston-Berlín: Birkhäuser.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.
• Whitehead, G. W. (1953), „O Freudenthalových větách“, Annals of Mathematics, 57 (2): 209–228, doi:10.2307/1969855, JSTOR  1969855, PAN  0055683.