Princip nejistoty - Uncertainty principle

v kvantová mechanika, princip nejistoty (také známý jako Heisenbergův princip nejistoty) je některá z různých matematické nerovnosti^[1] uplatňování základního limitu přesnosti, s jakou jsou hodnoty pro určité páry fyzikálních veličin a částice, jako pozice, X, a hybnost, p, lze předvídat z počáteční podmínky.

Takové proměnné páry jsou známé jako doplňkové proměnné nebo kanonicky konjugovat proměnné; a v závislosti na interpretaci princip neurčitosti omezuje, do jaké míry si takové vlastnosti konjugátu zachovají svůj přibližný význam, protože matematický rámec kvantové fyziky nepodporuje představu současně dobře definovaných vlastností konjugátu vyjádřených jedinou hodnotou. Princip neurčitosti naznačuje, že obecně není možné předpovědět hodnotu veličiny s libovolnou jistotou, i když jsou specifikovány všechny počáteční podmínky.

Poprvé představen v roce 1927 německým fyzikem Werner Heisenberg Princip neurčitosti uvádí, že čím přesněji je určitá poloha částice, tím méně přesně lze její hybnost předvídat z počátečních podmínek a naopak.^[2] Formální nerovnost týkající se standardní odchylka polohy σ_X a směrodatná odchylka hybnosti σ_p byl odvozen od Earle Hesse Kennard^[3] později ten rok a do Hermann Weyl^[4] v roce 1928:

${ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq { frac { hbar} {2}} ~~}$

kde $ħ$ je snížená Planckova konstanta, $h / (2π$ ).

Historicky byl princip nejistoty zmatený^[5]^[6] se souvisejícím účinkem v fyzika, nazvaný efekt pozorovatele, který konstatuje, že měření určitých systémů nelze provést bez ovlivnění systému, to znamená bez změny něčeho v systému. Heisenberg použil takový pozorovatelský efekt na kvantové úrovni (viz níže) jako fyzické „vysvětlení“ kvantové nejistoty.^[7] Od té doby je však jasnější, že princip nejistoty je vlastní vlastnostem všech vlnové systémy,^[8] a že vzniká v kvantové mechanice jednoduše kvůli vlna hmoty povaha všech kvantových objektů. Tím pádem, princip neurčitosti ve skutečnosti uvádí základní vlastnost kvantových systémů a není výrokem o pozorovacím úspěchu současné technologie.^[9] Je třeba zdůraznit, že měření neznamená pouze proces, kterého se účastní fyzik-pozorovatel, ale spíše jakákoli interakce mezi klasickými a kvantovými objekty bez ohledu na pozorovatele.^[10]^{[poznámka 1]} ^{[poznámka 2]}

Protože princip neurčitosti je takovým základním výsledkem kvantové mechaniky, typické experimenty v kvantové mechanice běžně sledují jeho aspekty. Některé experimenty však mohou záměrně testovat konkrétní formu principu neurčitosti jako součást jejich hlavního výzkumného programu. Patří sem například testy vztahů neurčitosti mezi fázemi v supravodivé^[12] nebo kvantová optika^[13] systémy. Mezi aplikace závislé na principu neurčitosti jejich provozu patří technologie s extrémně nízkou hlučností, jaká je požadována v interferometry gravitačních vln.^[14]

Úvod

Kliknutím zobrazíte animaci. Vývoj zpočátku velmi lokalizované gaussovské vlnové funkce volné částice v dvourozměrném prostoru, s barvou a intenzitou indikující fázi a amplitudu. Rozložení vlnové funkce ve všech směrech ukazuje, že počáteční hybnost má rozpětí hodnot, nemodifikovaných v čase; zatímco rozpětí v pozici se časem zvyšuje: výsledkem je nejistota ΔX Δp zvyšuje v čase.

Superpozice několika rovinných vln za vzniku vlnového paketu. Tento vlnový paket je stále více lokalizován přidáním mnoha vln. Fourierova transformace je matematická operace, která odděluje vlnový paket do jeho jednotlivých rovinných vln. Zde zobrazené vlny jsou skutečné pouze pro ilustraci, zatímco v kvantové mechanice je vlnová funkce obecně složitá.

Princip nejistoty není na makroskopických stupnicích každodenní zkušenosti snadno patrný.^[15] Je proto užitečné ukázat, jak to platí pro lépe pochopitelné fyzické situace. Dva alternativní rámce pro kvantovou fyziku nabízejí různá vysvětlení pro princip neurčitosti. The vlnová mechanika obrázek principu nejistoty je vizuálně intuitivnější, ale abstraktnější maticová mechanika obrázek to formuluje způsobem, který se snáze zobecňuje.

Matematicky ve vlnové mechanice vzniká vztah nejistoty mezi polohou a hybností, protože výrazy vlnové funkce ve dvou odpovídajících ortonormální základny v Hilbertův prostor jsou Fourierovy transformace jeden druhého (tj. poloha a hybnost jsou sdružovat proměnné ). Nenulovou funkci a její Fourierovu transformaci nelze ostře lokalizovat. Podobný kompromis mezi odchylkami Fourierových konjugátů vzniká ve všech systémech podložených Fourierovou analýzou, například ve zvukových vlnách: Čistý tón je ostrý hrot na jedné frekvenci, zatímco její Fourierova transformace dává tvar zvukové vlny v časové doméně, což je zcela delokalizovaná sinusová vlna. V kvantové mechanice jsou dvěma klíčovými body to, že poloha částice má formu a vlna hmoty a hybnost je jeho Fourierův konjugát, zajištěný de Broglieho vztahem $p = .k$ , kde $k$ je vlnové číslo.

v maticová mechanika, matematická formulace kvantové mechaniky jakýkoli pár ne-dojíždění operátoři s vlastním nastavením zastupující pozorovatelné podléhají podobným limitům nejistoty. Vlastní stav pozorovatelného představuje stav vlnové funkce pro určitou měřenou hodnotu (vlastní hodnotu). Například pokud jde o měření pozorovatelného $A$ je proveden, pak je systém v konkrétním vlastním státě $Ψ$ toho pozorovatelného. Konkrétní vlastní stát pozorovatelného $A$ nemusí být vlastním státem jiného pozorovatelného $B$ : Pokud ano, nemá pro ni jedinečné přidružené měření, protože systém není ve vlastním stavu tohoto pozorovatelného.^[16]

Interpretace vlnové mechaniky

(Ref ^[10])

Rovinná vlna

Vlnový paket

Propagace de Broglieho vlny v 1d - skutečná část komplex amplituda je modrá, imaginární část je zelená. Pravděpodobnost (zobrazena jako barva neprůhlednost ) nalezení částice v daném bodě X je rozprostřen jako křivka, neexistuje určitá poloha částice. Jak se amplituda zvyšuje nad nulu, zakřivení obrátí znaménko, takže amplituda začne znovu klesat a naopak - výsledkem bude střídavá amplituda: vlna.

Podle de Broglieova hypotéza, každý objekt ve vesmíru je mávat, tj. situace, která vede k tomuto jevu. Polohu částice popisuje a vlnová funkce ${ displaystyle Psi (x, t)}$ . Časově nezávislá vlnová funkce jednovidové rovinné vlny vlnového čísla k₀ nebo hybnost p₀ je

{ displaystyle psi (x) propto e ^ {ik_ {0} x} = e ^ {ip_ {0} x / hbar} ~.}

The Narozené pravidlo uvádí, že by to mělo být vykládáno jako a funkce amplitudy hustoty pravděpodobnosti v tom smyslu, že pravděpodobnost nalezení částice mezi A a b je

{ displaystyle operatorname {P} [a leq X leq b] = int _ {a} ^ {b} | psi (x) | ^ {2} , mathrm {d} x ~.}

V případě single-moded rovinné vlny, ${ displaystyle | psi (x) | ^ {2}}$ je rovnoměrné rozdělení. Jinými slovy, poloha částic je extrémně nejistá v tom smyslu, že by mohla být v podstatě kdekoli na vlnovém paketu.

Na druhou stranu zvažte vlnovou funkci, která je a součet mnoha vln, což můžeme psát jako

{ displaystyle psi (x) propto součet _ {n} A_ {n} e ^ {ip_ {n} x / hbar} ~,}

kde A_n představuje relativní příspěvek režimu p_n k celkovému součtu. Obrázky vpravo ukazují, jak s přidáním mnoha rovinných vln může být vlnový paket více lokalizován. Můžeme to udělat o krok dále k limitu kontinua, kde je vlnová funkce integrální ve všech možných režimech

{ displaystyle psi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi hbar}}} int _ {- infty} ^ { infty} varphi (p) cdot e ^ { ipx / hbar} , dp ~,}

s ${ displaystyle varphi (p)}$ představuje amplitudu těchto režimů a nazývá se vlnová funkce v hybnost prostor. Matematicky to říkáme ${ displaystyle varphi (p)}$ je Fourierova transformace z ${ displaystyle psi (x)}$ a to X a p jsou sdružovat proměnné. Sloučení všech těchto rovinných vln je nákladné, jmenovitě se hybnost stala méně přesnou, protože se stala směsí vln mnoha různých momentů.

Jedním ze způsobů, jak kvantifikovat přesnost polohy a hybnosti, je standardní odchylka σ. Od té doby ${ displaystyle | psi (x) | ^ {2}}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti pro pozici, vypočítáme její směrodatnou odchylku.

Přesnost polohy se zlepší, tj. Sníží se σ_Xpomocí mnoha rovinných vln, čímž oslabuje přesnost hybnosti, tj. zvyšuje σ_p. Dalším způsobem, jak to vyjádřit, je, že σ_X a σ_p mít inverzní vztah nebo jsou alespoň ohraničeny zdola. Toto je princip neurčitosti, jehož přesný limit je Kennardův limit. Klikněte na ikonu ukázat tlačítko níže, abyste viděli poloformální odvození Kennardovy nerovnosti pomocí vlnové mechaniky.

Důkaz Kennardovy nerovnosti pomocí vlnové mechaniky

Máme zájem o odchylky polohy a hybnosti definované jako

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} cdot | psi (x) | ^ {2} , dx- left ( int _ {- infty} ^ { infty} x cdot | psi (x) | ^ {2} , dx right) ^ {2}}

{ displaystyle sigma _ {p} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} p ^ {2} cdot | varphi (p) | ^ {2} , dp- left ( int _ {- infty} ^ { infty} p cdot | varphi (p) | ^ {2} , dp right) ^ {2} ~.}

Bez ztráty obecnosti, budeme předpokládat, že prostředek zmizet, což se rovná posunu počátku našich souřadnic. (Obecnější důkaz, který tento předpoklad nevytváří, je uveden níže.) To nám dává jednodušší formu

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} cdot | psi (x) | ^ {2} , dx}

{ displaystyle sigma _ {p} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} p ^ {2} cdot | varphi (p) | ^ {2} , dp ~. }

Funkce ${ displaystyle f (x) = x cdot psi (x)}$ lze interpretovat jako a vektor v funkční prostor. Můžeme definovat vnitřní produkt pro dvojici funkcí u(X) a proti(X) v tomto vektorovém prostoru:

{ displaystyle langle u mid v rangle = int _ {- infty} ^ { infty} u ^ {*} (x) cdot v (x) , dx,}

kde hvězdička označuje komplexní konjugát.

S tímto definovaným vnitřním produktem si všimneme, že odchylku pro pozici lze zapsat jako

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} | f (x) | ^ {2} , dx = langle f mid f rangle ~ .}

Můžeme to pro hybnost opakovat interpretací funkce ${ displaystyle { tilde {g}} (p) = p cdot varphi (p)}$ jako vektor, ale můžeme také využít toho, že ${ displaystyle psi (x)}$ a ${ displaystyle varphi (p)}$ jsou Fourierovy transformace navzájem. Hodnotíme inverzní Fourierovu transformaci integrace po částech:

{ displaystyle { begin {align}} g (x) & = { frac {1} { sqrt {2 pi hbar}}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} { vlnovka {g}} (p) cdot e ^ {ipx / hbar} , dp & = { frac {1} { sqrt {2 pi hbar}}} int _ {- infty } ^ { infty} p cdot varphi (p) cdot e ^ {ipx / hbar} , dp & = { frac {1} {2 pi hbar}} int _ {- infty} ^ { infty} left [p cdot int _ {- infty} ^ { infty} psi ( chi) e ^ {- ip chi / hbar} , d chi vpravo] cdot e ^ {ipx / hbar} , dp & = { frac {i} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} vlevo [{ zrušit { left. psi ( chi) e ^ {- ip chi / hbar} right | _ {- infty} ^ { infty}}} - int _ {- infty} ^ { infty } { frac {d psi ( chi)} {d chi}} e ^ {- ip chi / hbar} , d chi right] cdot e ^ {ipx / hbar} , dp & = { frac {-i} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} { frac {d psi ( chi)} {d chi}} e ^ {- ip chi / hbar} , d chi , e ^ {ipx / hbar} , dp & = left (-i hbar { frac {d} {dx}} vpravo) cdot psi (x), end {zarovnáno}}}

kde zrušený člen zmizí, protože vlnová funkce zmizí v nekonečnu. Často termín ${ displaystyle -i hbar { frac {d} {dx}}}$ se nazývá operátor hybnosti v pozičním prostoru. Přihlašování Parsevalova věta, vidíme, že odchylku hybnosti lze zapsat jako

{ displaystyle sigma _ {p} ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} | { tilde {g}} (p) | ^ {2} , dp = int _ {- infty} ^ { infty} | g (x) | ^ {2} , dx = langle g mid g rangle.}

The Cauchy – Schwarzova nerovnost tvrdí to

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {p} ^ {2} = langle f mid f rangle cdot langle g mid g rangle geq | langle f mid g rangle | ^ {2} ~.}

Modul na druhou libovolného komplexního čísla z lze vyjádřit jako

{ displaystyle | z | ^ {2} = { Big (} { text {Re}} (z) { Big)} ^ {2} + { Big (} { text {Im}} (z ) { Big)} ^ {2} geq { Big (} { text {Im}} (z) { Big)} ^ {2} = { Big (} { frac {zz ^ { ast}} {2i}} { Big)} ^ {2}.}

nechali jsme ${ displaystyle z = langle f | g rangle}$ a ${ displaystyle z ^ {*} = langle g mid f rangle}$ a dosaďte je do výše uvedené rovnice

{ displaystyle | langle f mid g rangle | ^ {2} geq { bigg (} { frac { langle f mid g rangle - langle g mid f rangle} {2i}} { bigg)} ^ {2} ~.}

Zbývá jen vyhodnotit tyto vnitřní produkty.

{ displaystyle { begin {zarovnáno} langle f mid g rangle - langle g mid f rangle = {} & int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} ( x) , x cdot left (-i hbar { frac {d} {dx}} right) , psi (x) , dx & {} - int _ {- infty } ^ { infty} psi ^ {*} (x) , vlevo (-i hbar { frac {d} {dx}} vpravo) cdot x , psi (x) , dx = {} & i hbar cdot int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} (x) left [ left (-x cdot { frac {d psi ( x)} {dx}} vpravo) + { frac {d (x psi (x))} {dx}} vpravo] , dx = {} & i hbar cdot int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} (x) left [ left (-x cdot { frac {d psi (x)} {dx}} right) + psi (x ) + left (x cdot { frac {d psi (x)} {dx}} right) right] , dx = {} & i hbar cdot int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} (x) psi (x) , dx = {} & i hbar cdot int _ {- infty} ^ { infty} | psi (x ) | ^ {2} , dx = {} & i hbar end {zarovnáno}}}

Když to zapojíme do výše uvedených nerovností, dostaneme

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {p} ^ {2} geq | langle f mid g rangle | ^ {2} geq left ({ frac { langle f mid g rangle - langle g mid f rangle} {2i}} right) ^ {2} = left ({ frac {i hbar} {2i}} right) ^ {2} = { frac { hbar ^ {2}} {4}}}

nebo druhou odmocninu

{ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq { frac { hbar} {2}} ~.}

Všimněte si, že jediný fyzika podílející se na tomto důkazu bylo to ${ displaystyle psi (x)}$ a ${ displaystyle varphi (p)}$ jsou vlnové funkce pro polohu a hybnost, což jsou Fourierovy transformace navzájem. Podobný výsledek by platil pro žádný dvojice konjugovaných proměnných.

Interpretace maticové mechaniky

(Ref ^[10])

V mechanice matice jsou pozorovatelné objekty, jako je poloha a hybnost, reprezentovány symbolem operátoři s vlastním nastavením. Při zvažování dvojic pozorovatelných je důležité množství komutátor. Pro pár operátorů $A$ a $B̂$ , jeden definuje jejich komutátor jako

{ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = { hat {A}} { hat {B}} - { hat {B}} { hat {A}} .}

V případě polohy a hybnosti je komutátor kanonický komutační vztah

{ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] = i hbar.}

Fyzický význam nekomutativity lze pochopit zvážením vlivu komutátoru na polohu a hybnost vlastní státy. Nechat ${ displaystyle | psi rangle}$ být správným vlastním stavem polohy s konstantní vlastním číslem $X 0$ . Podle definice to znamená, že ${ displaystyle { hat {x}} | psi rangle = x_ {0} | psi rangle.}$ Použití komutátoru na ${ displaystyle | psi rangle}$ výnosy

{ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] | psi rangle = ({ hat {x}} { hat {p}} - { hat {p}} { hat {x}}) | psi rangle = ({ hat {x}} - x_ {0} { hat {I}}) { hat {p}} , | psi rangle = i hbar | psi rangle,}

kde $Î$ je operátor identity.

Předpokládejme, kvůli důkaz rozporem, že ${ displaystyle | psi rangle}$ je také pravým vlastním stavem hybnosti s konstantním vlastním číslem $p 0$ . Pokud by to byla pravda, dalo by se psát

{ displaystyle ({ hat {x}} - x_ {0} { hat {I}}) { hat {p}} , | psi rangle = ({ hat {x}} - x_ { 0} { hat {I}}) p_ {0} , | psi rangle = (x_ {0} { hat {I}} - x_ {0} { hat {I}}) p_ {0 } , | psi rangle = 0.}

Na druhou stranu to vyžaduje výše uvedený kanonický komutační vztah

{ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] | psi rangle = i hbar | psi rangle neq 0.}

To znamená, že žádný kvantový stav nemůže být současně jak polohou, tak momentem vlastního stavu.

Když je stav změřen, promítne se na vlastní stav na základě příslušného pozorovatelného. Například pokud se měří poloha částice, pak stav odpovídá vlastnímu umístění polohy. To znamená, že stát je ne vlastní hybnost, ale spíše ji lze představovat jako součet vlastních hybných sil na základě hybnosti. Jinými slovy, hybnost musí být méně přesná. Tuto přesnost lze kvantifikovat pomocí standardní odchylky,

{ displaystyle sigma _ {x} = { sqrt { langle { hat {x}} ^ {2} rangle - langle { hat {x}} rangle ^ {2}}}}

{ displaystyle sigma _ {p} = { sqrt { langle { hat {p}} ^ {2} rangle - langle { hat {p}} rangle ^ {2}}}.}

Stejně jako ve výše uvedené interpretaci vlnové mechaniky lze vidět kompromis mezi příslušnými přesnostmi těchto dvou, kvantifikovaný principem neurčitosti.

Heisenbergův limit

v kvantová metrologie a zejména interferometrie, Heisenbergův limit je optimální rychlost, s jakou lze přesnost měření škálovat s energií použitou při měření. Typicky se jedná o měření fáze (aplikované na jedno rameno a rozdělovač paprsků ) a energie je dána počtem fotonů použitých v interferometr. Ačkoli někteří tvrdí, že prolomili Heisenbergův limit, odráží to nesouhlas s definicí zdroje škálování.^[17] Vhodně definovaná Heisenbergova hranice je důsledkem základních principů kvantové mechaniky a nelze ji překonat, i když lze překonat i slabou Heisenbergovu hranici.^[18]

Robertson – Schrödingerovy vztahy nejistoty

Nejběžnější obecnou formou principu nejistoty je Robertson vztah nejistoty.^[19]

Pro svévolné Hermitovský operátor ${ displaystyle { hat { mathcal {O}}}}$ můžeme přiřadit standardní odchylku

{ displaystyle sigma _ { mathcal {O}} = { sqrt { langle { hat { mathcal {O}}} ^ {2} rangle - langle { hat { mathcal {O}} } rangle ^ {2}}},}

kde závorky ${ displaystyle langle { mathcal {O}} rangle}$ označte očekávaná hodnota. Pro pár operátorů ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ , můžeme je definovat komutátor tak jako

{ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = { hat {A}} { hat {B}} - { hat {B}} { hat {A}} ,}

V této notaci je Robertsonův vztah nejistoty dán vztahem

{ displaystyle sigma _ {A} sigma _ {B} geq left | { frac {1} {2i}} langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle right | = { frac {1} {2}} left | langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle right |,}

Robertsonův vztah nejistoty okamžitě vyplývá z mírně silnější nerovnost, Schrödingerův vztah nejistoty,^[20]

${ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} geq left | { frac {1} {2}} langle {{ hat {A}}, { hat {B}} } rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle right | ^ {2} + left | { frac {1 } {2i}} langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle right | ^ {2},}$

kde jsme zavedli antikomutátor,

{ displaystyle {{ hat {A}}, { hat {B}} } = { hat {A}} { hat {B}} + { hat {B}} { hat {A }}.}

Důkaz Schrödingerova vztahu nejistoty

Zde uvedená derivace zahrnuje a navazuje na derivace uvedené v Robertsonovi,^[19] Schrödinger^[20] a standardní učebnice jako Griffiths.^[21] Pro každého hermitského operátora

{ displaystyle { hat {A}}}

, na základě definice rozptyl, my máme

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} = langle ({ hat {A}} - langle { hat {A}} rangle) Psi | ({ hat {A}} - langle { hat {A}} rangle) Psi rangle.}

nechali jsme ${ displaystyle | f rangle = | ({ hat {A}} - langle { hat {A}} rangle) Psi rangle}$ a tudíž

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} = langle f mid f rangle ,.}

Podobně pro každého jiného hermitského operátora ${ displaystyle { hat {B}}}$ ve stejném stavu

{ displaystyle sigma _ {B} ^ {2} = langle ({ hat {B}} - langle { hat {B}} rangle) Psi | ({ hat {B}} - langle { hat {B}} rangle) Psi rangle = langle g mid g rangle}

pro ${ displaystyle | g rangle = | ({ hat {B}} - langle { hat {B}} rangle) Psi rangle.}$

Součin těchto dvou odchylek lze tedy vyjádřit jako

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} = langle f mid f rangle langle g mid g rangle.}

(1)

Aby bylo možné spojit dva vektory ${ displaystyle | f rangle}$ a ${ displaystyle | g rangle}$ , používáme Cauchy – Schwarzova nerovnost^[22] který je definován jako

{ displaystyle langle f mid f rangle langle g mid g rangle geq | langle f mid g rangle | ^ {2},}

a tedy ekv. (1) lze psát jako

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} geq | langle f mid g rangle | ^ {2}.}

(2)

Od té doby ${ displaystyle langle f mid g rangle}$ je obecně komplexní číslo, použijeme skutečnost, že modul na druhou libovolného komplexního čísla ${ displaystyle z}$ je definován jako ${ displaystyle | z | ^ {2} = zz ^ {*}}$ , kde ${ displaystyle z ^ {*}}$ je komplexní konjugát ${ displaystyle z}$ . Modul na druhou lze také vyjádřit jako

{ displaystyle | z | ^ {2} = { Big (} operatorname {Re} (z) { Big)} ^ {2} + { Big (} operatorname {Im} (z) { Big )} ^ {2} = { Big (} { frac {z + z ^ { ast}} {2}} { Big)} ^ {2} + { Big (} { frac {zz ^ { ast}} {2i}} { Big)} ^ {2}.}

(3)

nechali jsme ${ displaystyle z = langle f mid g rangle}$ a ${ displaystyle z ^ {*} = langle g mid f rangle}$ a dosaďte je do výše uvedené rovnice

{ displaystyle | langle f mid g rangle | ^ {2} = { bigg (} { frac { langle f mid g rangle + langle g mid f rangle} {2}} { bigg)} ^ {2} + { bigg (} { frac { langle f mid g rangle - langle g mid f rangle} {2i}} { bigg)} ^ {2}}

(4)

Vnitřní produkt ${ displaystyle langle f mid g rangle}$ je napsán výslovně jako

{ displaystyle langle f mid g rangle = langle ({ hat {A}} - langle { hat {A}} rangle) Psi | ({ hat {B}} - langle { hat {B}} rangle) Psi rangle,}

a s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ nacházíme hermitovské operátory

{ displaystyle { begin {zarovnaný} langle f mid g rangle & = langle Psi | ({ hat {A}} - langle { hat {A}} rangle) ({ hat { B}} - langle { hat {B}} rangle) Psi rangle [4pt] & = langle Psi mid ({ hat {A}} { hat {B}} - { hat {A}} langle { hat {B}} rangle - { hat {B}} langle { hat {A}} rangle + langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle) Psi rangle [4pt] & = langle Psi mid { hat {A}} { hat {B}} Psi rangle - langle Psi mid { hat {A}} langle { hat {B}} rangle Psi rangle - langle Psi mid { hat {B}} langle { hat {A}} rangle Psi rangle + langle Psi mid langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle Psi rangle [4pt] & = langle { hat {A }} { hat {B}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { klobouk {B}} rangle + langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle [4pt] & = langle { hat {A}} { hat { B}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle. End {zarovnáno}}}

Obdobně lze ukázat, že ${ displaystyle langle g mid f rangle = langle { hat {B}} { hat {A}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B} } rangle.}$

Tak to máme

{ displaystyle langle f mid g rangle - langle g mid f rangle = langle { hat {A}} { hat {B}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle - langle { hat {B}} { hat {A}} rangle + langle { hat {A}} rangle langle { hat {B }} rangle = langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle}

a

{ displaystyle langle f mid g rangle + langle g mid f rangle = langle { hat {A}} { hat {B}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle + langle { hat {B}} { hat {A}} rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B }} rangle = langle {{ hat {A}}, { hat {B}} } rangle -2 langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle.}

Nyní výše uvedené dvě rovnice dosadíme zpět do Eq. (4) a dostat

{ displaystyle | langle f mid g rangle | ^ {2} = { Big (} { frac {1} {2}} langle {{ hat {A}}, { hat {B }} } rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle { Big)} ^ {2} + { Big (} { frac {1} {2i}} langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle { Big)} ^ {2} ,.}

Dosazením výše uvedeného do rovnice. (2) dostaneme Schrödingerův vztah nejistoty

{ displaystyle sigma _ {A} sigma _ {B} geq { sqrt {{ Big (} { frac {1} {2}} langle {{ hat {A}}, { klobouk {B}} } rangle - langle { hat {A}} rangle langle { hat {B}} rangle { Big)} ^ {2} + { Big (} { frac {1} {2i}} langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] rangle { Big)} ^ {2}}}.}

Tento důkaz má problém^[23] související s doménami zúčastněných operátorů. Aby měl důkaz smysl, vektor ${ displaystyle { hat {B}} | Psi rangle}$ musí být v doméně neomezený operátor ${ displaystyle { hat {A}}}$ , což však neplatí vždy. Ve skutečnosti je Robertsonův vztah nejistoty falešný, pokud ${ displaystyle { hat {A}}}$ je úhel proměnný a ${ displaystyle { hat {B}}}$ je derivát vzhledem k této proměnné. V tomto příkladu je komutátor nenulová konstanta - stejně jako v Heisenbergově vztahu nejistoty - a přesto existují stavy, kdy je produkt nejistot nulový.^[24] (Viz část příkladů níže.) Tento problém lze překonat použitím a variační metoda pro důkaz.,^[25]^[26] nebo prací s umocněnou verzí kanonických komutačních vztahů.^[24]

Všimněte si, že v obecné podobě vztahu nejistoty Robertson – Schrödinger není třeba předpokládat, že operátory ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ jsou operátoři s vlastním nastavením. Stačí předpokládat, že jsou pouze symetrické operátory. (Rozdíl mezi těmito dvěma pojmy je obecně přehlížen ve fyzikální literatuře, kde je tento pojem Hermitian se používá pro jednu nebo obě třídy operátorů. Viz kapitola 9 Hallovy knihy^[27] pro podrobnou diskusi o tomto důležitém, ale technickém rozdílu.)

Smíšené státy

Vztah nejistoty Robertson-Schrödinger lze zobecnit přímým způsobem smíšené státy.,

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} sigma _ {B} ^ {2} geq left | { frac {1} {2}} operatorname {tr} ( rho {A, B }) - operatorname {tr} ( rho A) operatorname {tr} ( rho B) vpravo | ^ {2} + vlevo | { frac {1} {2i}} operatorname {tr } ( rho [A, B]) doprava | ^ {2}.}

Vztahy nejistoty Maccone – Pati

Vztah neurčitosti Robertson-Schrödinger může být triviální, pokud je stav systému zvolen jako vlastní stav jednoho z pozorovatelných. Silnější vztahy nejistoty prokázané Macconem a Patim dávají netriviální hranice součtu odchylek pro dvě nekompatibilní pozorovatelnosti.^[28] (Dřívější práce o vztazích nejistoty formulované jako součet odchylek zahrnují například Ref. ^[29] kvůli Huangovi.) Za dva pozorovatelny, které nedojíždějí ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ první silnější vztah nejistoty je dán vztahem

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} + sigma _ {B} ^ {2} geq pm i langle Psi mid [A, B] | Psi rangle + mid langle Psi mid (A pm iB) mid { bar { Psi}} rangle | ^ {2},}

kde ${ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} = langle Psi | A ^ {2} | Psi rangle - langle Psi mid A mid Psi rangle ^ {2}}$ , ${ displaystyle sigma _ {B} ^ {2} = langle Psi | B ^ {2} | Psi rangle - langle Psi mid B mid Psi rangle ^ {2}}$ , ${ displaystyle | { bar { Psi}} rangle}$ je normalizovaný vektor, který je kolmý ke stavu systému ${ displaystyle | Psi rangle}$ a jeden by měl zvolit znaménko ${ displaystyle pm i langle Psi mid [A, B] mid Psi rangle}$ aby toto skutečné množství bylo kladné číslo.

Druhý silnější vztah nejistoty je dán vztahem

{ displaystyle sigma _ {A} ^ {2} + sigma _ {B} ^ {2} geq { frac {1} {2}} | langle { bar { Psi}} _ {A + B} mid (A + B) mid Psi rangle | ^ {2}}

kde ${ displaystyle | { bar { Psi}} _ {A + B} rangle}$ je stav kolmý na ${ displaystyle | Psi rangle}$ Forma ${ displaystyle | { bar { Psi}} _ {A + B} rangle}$ znamená, že pravá strana nového vztahu nejistoty je nenulová, pokud ${ displaystyle | Psi rangle}$ je vlastním státem ${ displaystyle (A + B)}$ . Je možné si to všimnout ${ displaystyle | Psi rangle}$ může být vlastním státem ${ displaystyle (A + B)}$ aniž by byl vlastním státem ${ displaystyle A}$ nebo ${ displaystyle B}$ . Kdy však ${ displaystyle | Psi rangle}$ je vlastním stavem jednoho ze dvou pozorovatelných, stává se vztah nejistoty Heisenberg – Schrödinger triviální. Dolní mez v nové relaci je ale nenulová, pokud ${ displaystyle | Psi rangle}$ je vlastním státem obou.

Fázový prostor

V formulace fázového prostoru kvantové mechaniky, vztah Robertson-Schrödinger vyplývá z podmínky pozitivity na skutečné funkci hvězda-čtverec. Vzhledem k Funkce Wigner ${ displaystyle W (x, p)}$ s hvězdný produkt ★ a funkce F, obecně platí toto:^[30]

{ displaystyle langle f ^ {*} hvězda f rangle = int (f ^ {*} hvězda f) , W (x, p) , dx , dp geq 0 ~.}

Výběr ${ displaystyle f = a + bx + cp}$ , dorazíme na

{ displaystyle langle f ^ {*} star f rangle = { begin {bmatrix} a ^ {*} & b ^ {*} & c ^ {*} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & langle x rangle & langle p rangle langle x rangle & langle x star x rangle & langle x star p rangle langle p rangle & langle p star x rangle & langle p star p rangle end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a b c end {bmatrix}} geq 0 ~.}

Protože tato podmínka pozitivity platí pro Všechno A, b, a Cz toho vyplývá, že všechna vlastní čísla matice jsou nezáporná.

Nezáporná vlastní čísla pak znamenají odpovídající podmínku nezápornosti určující,

{ displaystyle det { začátek {bmatrix} 1 & langle x rangle & langle p rangle langle x rangle & langle x star x rangle & langle x star p rangle langle p rangle & langle p star x rangle & langle p star p rangle end {bmatrix}} = det { begin {bmatrix} 1 & langle x rangle & langle p rangle langle x rangle & langle x ^ {2} rangle & left langle xp + { frac {i hbar} {2}} right rangle langle p rangle & left langle xp - { frac {i hbar} {2}} right rangle & langle p ^ {2} rangle end {bmatrix}} geq 0 ~,}

nebo výslovně po algebraické manipulaci,

{ displaystyle sigma _ {x} ^ {2} sigma _ {p} ^ {2} = left ( langle x ^ {2} rangle - langle x rangle ^ {2} right) left ( langle p ^ {2} rangle - langle p rangle ^ {2} right) geq left ( langle xp rangle - langle x rangle langle p rangle right) ^ { 2} + { frac { hbar ^ {2}} {4}} ~.}

Příklady

Vzhledem k tomu, že Robertsonovy a Schrödingerovy vztahy jsou pro obecné operátory, lze vztahy aplikovat na libovolné dvě pozorovatelné, aby se získaly specifické vztahy nejistoty. Níže uvádíme několik nejběžnějších vztahů nalezených v literatuře.

Pro polohu a lineární hybnost platí kanonický komutační vztah ${ displaystyle [{ hat {x}}, { hat {p}}] = i hbar}$ implikuje Kennardovu nerovnost shora:

{ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq { frac { hbar} {2}}.}

Pro dvě ortogonální složky celková moment hybnosti provozovatel objektu:

{ displaystyle sigma _ {J_ {i}} sigma _ {J_ {j}} geq { frac { hbar} {2}} { big |} langle J_ {k} rangle { big |},}

kde i, j, k jsou odlišné a J_i označuje moment hybnosti podél X_i osa. Tento vztah znamená, že pokud všechny tři složky nezmizí společně, lze s libovolnou přesností definovat pouze jednu složku momentu hybnosti systému, obvykle složku rovnoběžnou s vnějším (magnetickým nebo elektrickým) polem. Navíc pro

{ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = i hbar varepsilon _ {xyz} J_ {z}}

, volba

{ displaystyle { hat {A}} = J_ {x}}

,

{ displaystyle { hat {B}} = J_ {y}}

v násobcích momentu hybnosti, ψ = |j, m〉, Ohraničuje Kazimír neměnný (moment hybnosti na druhou,

{ displaystyle langle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2} rangle}

) zdola, a tak přináší užitečná omezení, jako je j(j + 1) ≥ m(m + 1), a tedy j ≥ m, mezi ostatními.

V nerelativistické mechanice je čas privilegován jako nezávislé proměnné. Nicméně v roce 1945 L. I. Mandelshtam a I. E. Tamm odvodil nerelativistický vztah neurčitosti čas-energie, jak následuje.^[31]^[32] Pro kvantový systém v nestacionárním stavu $ψ$ a pozorovatelný B představovaný operátorem s vlastním adjunktem ${ displaystyle { hat {B}}}$ , platí následující vzorec:

{ displaystyle sigma _ {E} { frac { sigma _ {B}} { vlevo | { frac { mathrm {d} langle { hat {B}} rangle} { mathrm {d } t}} doprava |}} geq { frac { hbar} {2}},}

kde σ_E je směrodatná odchylka energetického operátora (Hamiltonian) ve stavu

ψ

, σ_B znamená směrodatnou odchylku B. Ačkoli má druhý faktor na levé straně rozměr času, liší se od časového parametru, který vstupuje do Schrödingerova rovnice. Je to život státu

ψ

s ohledem na pozorovatelné B: Jinými slovy, toto je časový interval (Δt) po kterém je očekávaná hodnota

{ displaystyle langle { hat {B}} rangle}

znatelně se mění.

Neformální heuristický význam tohoto principu je následující: Stav, který existuje jen krátkou dobu, nemůže mít určitou energii. Chcete-li mít určitou energii, je nutné přesně definovat frekvenci stavu, což vyžaduje, aby stát po mnoho cyklů vydržel, což je převrácená hodnota požadované přesnosti. Například v spektroskopie, vzrušené státy mají omezenou životnost. Podle principu neurčitosti času a energie nemají určitou energii a pokaždé, když se rozpadnou, je energie, kterou uvolňují, mírně odlišná. Průměrná energie odcházejícího fotonu má vrchol při teoretické energii stavu, ale distribuce má konečnou šířku nazývanou přirozená šířka čáry. Státy s rychlým rozpadem mají širokou šířku čáry, zatímco státy s pomalým rozpadem mají úzkou šířku čáry.^[33]

Stejný efekt šířky čáry také ztěžuje specifikaci odpočinková hmota nestabilních, rychle se rozpadajících částic částicová fyzika. Čím rychleji rozpad částic (čím kratší je jeho životnost), tím méně jistá je jeho hmotnost (čím větší je jeho částice šířka ).

Pro počet elektronů v a supravodič a fáze jeho Parametr objednávky Ginzburg – Landau^[34]^[35]

{ displaystyle Delta N , Delta varphi geq 1.}

Protiklad

Předpokládejme, že uvažujeme kvantum částice na prstenci, kde vlnová funkce závisí na úhlové proměnné ${ displaystyle theta}$ , které můžeme ležet v intervalu ${ displaystyle [0,2 pi]}$ . Definujte operátory „polohy“ a „hybnosti“ ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ podle

{ displaystyle { hat {A}} psi ( theta) = theta psi ( theta), quad theta v [0,2 pi],}

a

{ displaystyle { hat {B}} psi = -i hbar { frac {d psi} {d theta}},}

kde ukládáme periodické okrajové podmínky ${ displaystyle { hat {B}}}$ . Definice ${ displaystyle { hat {A}}}$ záleží na naší volbě mít ${ displaystyle theta}$ rozmezí od 0 do ${ displaystyle 2 pi}$ . Tito operátoři uspokojují obvyklé komutační vztahy pro operátory polohy a hybnosti, ${ displaystyle [{ hat {A}}, { hat {B}}] = i hbar}$ .^[36]

Tak teď ${ displaystyle psi}$ být kterýmkoli vlastním státem ${ displaystyle { hat {B}}}$ , které jsou dány ${ displaystyle psi ( theta) = e ^ {2 pi v theta}}$ . Tyto stavy jsou normalizovatelné, na rozdíl od vlastních stavů provozovatele hybnosti na trati. Také operátor ${ displaystyle { hat {A}}}$ je omezený, protože ${ displaystyle theta}$ rozsahy přes omezený interval. Tedy ve stavu ${ displaystyle psi}$ nejistota ${ displaystyle B}$ je nula a nejistota ${ displaystyle A}$ je konečný, takže

{ displaystyle sigma _ {A} sigma _ {B} = 0.}

Ačkoli se zdá, že tento výsledek porušuje Robertsonův princip nejistoty, paradox je vyřešen, když si to všimneme ${ displaystyle psi}$ není v doméně provozovatele ${ displaystyle { hat {B}} { hat {A}}}$ , protože násobení ${ displaystyle theta}$ narušuje periodické okrajové podmínky uložené na ${ displaystyle { hat {B}}}$ .^[24] Thus, the derivation of the Robertson relation, which requires ${displaystyle {hat {A}}{hat {B}}psi }$ a ${displaystyle {hat {B}}{hat {A}}psi }$ to be defined, does not apply. (These also furnish an example of operators satisfying the canonical commutation relations but not the Weyl relations.^[37])

For the usual position and momentum operators ${ displaystyle { hat {X}}}$ a ${ displaystyle { hat {P}}}$ on the real line, no such counterexamples can occur. Tak dlouho jak ${ displaystyle sigma _ {x}}$ a ${displaystyle sigma _{p}}$ are defined in the state ${ displaystyle psi}$ , the Heisenberg uncertainty principle holds, even if ${ displaystyle psi}$ fails to be in the domain of ${displaystyle {hat {X}}{hat {P}}}$ nebo ${displaystyle {hat {P}}{hat {X}}}$ .^[38]

Příklady

(Refs ^[10]^[21])

Quantum harmonic oscillator stationary states

Consider a one-dimensional quantum harmonic oscillator. It is possible to express the position and momentum operators in terms of the operátory tvorby a zničení:

{displaystyle {hat {x}}={sqrt {frac {hbar }{2momega }}}(a+a^{dagger })}

{displaystyle {hat {p}}=i{sqrt {frac {momega hbar }{2}}}(a^{dagger }-a).}

Using the standard rules for creation and annihilation operators on the energy eigenstates,

{displaystyle a^{dagger }|n angle ={sqrt {n+1}}|n+1 angle }

{displaystyle a|n angle ={sqrt {n}}|n-1 angle ,}

the odchylky may be computed directly,

{displaystyle sigma _{x}^{2}={frac {hbar }{momega }}left(n+{frac {1}{2}} ight)}

{displaystyle sigma _{p}^{2}=hbar momega left(n+{frac {1}{2}} ight),.}

The product of these standard deviations is then

{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}=hbar left(n+{frac {1}{2}} ight)geq {frac {hbar }{2}}.~}

In particular, the above Kennard bound^[3] is saturated for the základní stav $n =0$ , for which the probability density is just the normální distribuce.

Quantum harmonic oscillators with Gaussian initial condition

Position (blue) and momentum (red) probability densities for an initial Gaussian distribution. From top to bottom, the animations show the cases Ω=ω, Ω=2ω, and Ω=ω/2. Note the tradeoff between the widths of the distributions.

In a quantum harmonic oscillator of characteristic angular frequency ω, place a state that is offset from the bottom of the potential by some displacement X₀ tak jako

{displaystyle psi (x)=left({frac {mOmega }{pi hbar }} ight)^{1/4}exp {left(-{frac {mOmega (x-x_{0})^{2}}{2hbar }} ight)},}

where Ω describes the width of the initial state but need not be the same as ω. Through integration over the propagátor, we can solve for the full time-dependent solution. After many cancelations, the probability densities reduce to

{displaystyle |Psi (x,t)|^{2}sim {mathcal {N}}left(x_{0}cos {(omega t)},{frac {hbar }{2mOmega }}left(cos ^{2}(omega t)+{frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}sin ^{2}{(omega t)} ight) ight)}

{displaystyle |Phi (p,t)|^{2}sim {mathcal {N}}left(-mx_{0}omega sin(omega t),{frac {hbar mOmega }{2}}left(cos ^{2}{(omega t)}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}}sin ^{2}{(omega t)} ight) ight),}

kde jsme použili notaci ${ displaystyle { mathcal {N}} ( mu, sigma ^ {2})}$ to denote a normal distribution of mean μ and variance σ². Copying the variances above and applying trigonometrické identity, we can write the product of the standard deviations as

{displaystyle {egin{aligned}sigma _{x}sigma _{p}&={frac {hbar }{2}}{sqrt {left(cos ^{2}{(omega t)}+{frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}sin ^{2}{(omega t)} ight)left(cos ^{2}{(omega t)}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}}sin ^{2}{(omega t)} ight)}}&={frac {hbar }{4}}{sqrt {3+{frac {1}{2}}left({frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}} ight)-left({frac {1}{2}}left({frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}} ight)-1 ight)cos {(4omega t)}}}end{aligned}}}

From the relations

{displaystyle {frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}}geq 2,quad |cos(4omega t)|leq 1,}

we can conclude the following: (the right most equality holds only when Ω = ω) .

{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}geq {frac {hbar }{4}}{sqrt {3+{frac {1}{2}}left({frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}} ight)-left({frac {1}{2}}left({frac {Omega ^{2}}{omega ^{2}}}+{frac {omega ^{2}}{Omega ^{2}}} ight)-1 ight)}}={frac {hbar }{2}}.}

Soudržné státy

A coherent state is a right eigenstate of the operátor vyhlazení,

{displaystyle {hat {a}}|alpha angle =alpha |alpha angle }

,

which may be represented in terms of Fockovy státy tak jako

{displaystyle |alpha angle =e^{-{|alpha |^{2} over 2}}sum _{n=0}^{infty }{alpha ^{n} over {sqrt {n!}}}|n angle }

In the picture where the coherent state is a massive particle in a quantum harmonic oscillator, the position and momentum operators may be expressed in terms of the annihilation operators in the same formulas above and used to calculate the variances,

{displaystyle sigma _{x}^{2}={frac {hbar }{2momega }},}

{displaystyle sigma _{p}^{2}={frac {hbar momega }{2}}.}

Therefore, every coherent state saturates the Kennard bound

{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}={sqrt {frac {hbar }{2momega }}},{sqrt {frac {hbar momega }{2}}}={frac {hbar }{2}}.}

with position and momentum each contributing an amount ${displaystyle {sqrt {hbar /2}}}$ in a "balanced" way. Moreover, every vymačkaný koherentní stav also saturates the Kennard bound although the individual contributions of position and momentum need not be balanced in general.

Částice v krabici

Consider a particle in a one-dimensional box of length ${ displaystyle L}$ . The eigenfunctions in position and momentum space jsou

{displaystyle psi _{n}(x,t)={egin{cases}Asin(k_{n}x)mathrm {e} ^{-mathrm {i} omega _{n}t},&0

a

{displaystyle varphi _{n}(p,t)={sqrt {frac {pi L}{hbar }}},,{frac {nleft(1-(-1)^{n}e^{-ikL} ight)e^{-iomega _{n}t}}{pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}

kde ${displaystyle omega _{n}={frac {pi ^{2}hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ a použili jsme de Broglieho vztah ${displaystyle p=hbar k}$ . The variances of ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle p}$ can be calculated explicitly:

{displaystyle sigma _{x}^{2}={frac {L^{2}}{12}}left(1-{frac {6}{n^{2}pi ^{2}}} ight)}

{displaystyle sigma _{p}^{2}=left({frac {hbar npi }{L}} ight)^{2}.}

The product of the standard deviations is therefore

{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}={frac {hbar }{2}}{sqrt {{frac {n^{2}pi ^{2}}{3}}-2}}.}

Pro všechny ${displaystyle n=1,,2,,3,,ldots }$ , množství ${displaystyle {sqrt {{frac {n^{2}pi ^{2}}{3}}-2}}}$ is greater than 1, so the uncertainty principle is never violated. For numerical concreteness, the smallest value occurs when ${ displaystyle n = 1}$ , v jakém případě

{displaystyle sigma _{x}sigma _{p}={frac {hbar }{2}}{sqrt {{frac {pi ^{2}}{3}}-2}}approx 0.568hbar >{frac {hbar }{2}}.}

Constant momentum

Position space probability density of an initially Gaussian state moving at minimally uncertain, constant momentum in free space

Assume a particle initially has a momentum space wave function described by a normal distribution around some constant momentum p₀ podle

{displaystyle varphi (p)=left({frac {x_{0}}{hbar {sqrt {pi }}}} ight)^{1/2}cdot exp {left({frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2hbar ^{2}}} ight)},}

where we have introduced a reference scale ${displaystyle x_{0}={sqrt {hbar /momega _{0}}}}$ , s ${displaystyle omega _{0}>0}$ describing the width of the distribution−−cf. nedimenzionalizace. If the state is allowed to evolve in free space, then the time-dependent momentum and position space wave functions are

{displaystyle Phi (p,t)=left({frac {x_{0}}{hbar {sqrt {pi }}}} ight)^{1/2}cdot exp {left({frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2hbar ^{2}}}-{frac {ip^{2}t}{2mhbar }} ight)},}

{displaystyle Psi (x,t)=left({frac {1}{x_{0}{sqrt {pi }}}} ight)^{1/2}cdot {frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2hbar ^{2}}}{sqrt {1+iomega _{0}t}}}cdot exp {left(-{frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+iomega _{0}t)}} ight)}.}

Od té doby ${displaystyle langle p(t) angle =p_{0}}$ a ${displaystyle sigma _{p}(t)=hbar /({sqrt {2}}x_{0})}$ , this can be interpreted as a particle moving along with constant momentum at arbitrarily high precision. On the other hand, the standard deviation of the position is

{displaystyle sigma _{x}={frac {x_{0}}{sqrt {2}}}{sqrt {1+omega _{0}^{2}t^{2}}}}

such that the uncertainty product can only increase with time as

{displaystyle sigma _{x}(t)sigma _{p}(t)={frac {hbar }{2}}{sqrt {1+omega _{0}^{2}t^{2}}}}

Additional uncertainty relations

Systematic and statistical errors

The inequalities above focus on the statistical imprecision of observables as quantified by the standard deviation ${ displaystyle sigma}$ . Heisenberg's original version, however, was dealing with the systematic error, a disturbance of the quantum system produced by the measuring apparatus, i.e., an observer effect.

Pokud to necháme ${displaystyle varepsilon _{A}}$ represent the error (i.e., nepřesnost ) of a measurement of an observable A a ${displaystyle eta _{B}}$ the disturbance produced on a subsequent measurement of the conjugate variable B by the former measurement of A, then the inequality proposed by Ozawa^[6] — encompassing both systematic and statistical errors — holds:

${displaystyle varepsilon _{A},eta _{B}+varepsilon _{A},sigma _{B}+sigma _{A},eta _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|}$

Heisenberg's uncertainty principle, as originally described in the 1927 formulation, mentions only the first term of Ozawa inequality, regarding the systematic error. Using the notation above to describe the error/disturbance účinek sequential measurements (za prvé A, pak B), it could be written as

${displaystyle varepsilon _{A},eta _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|}$

The formal derivation of the Heisenberg relation is possible but far from intuitive. to bylo ne proposed by Heisenberg, but formulated in a mathematically consistent way only in recent years.^[39]^[40]Also, it must be stressed that the Heisenberg formulation is not taking into account the intrinsic statistical errors ${displaystyle sigma _{A}}$ a ${ displaystyle sigma _ {B}}$ . There is increasing experimental evidence^[8]^[41]^[42]^[43] that the total quantum uncertainty cannot be described by the Heisenberg term alone, but requires the presence of all the three terms of the Ozawa inequality.

Using the same formalism,^[1] it is also possible to introduce the other kind of physical situation, often confused with the previous one, namely the case of simultaneous measurements (A a B at the same time):

${displaystyle varepsilon _{A},varepsilon _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|}$

The two simultaneous measurements on A a B are necessarily^[44] unsharp nebo slabý.

It is also possible to derive an uncertainty relation that, as the Ozawa's one, combines both the statistical and systematic error components, but keeps a form very close to the Heisenberg original inequality. By adding Robertson^[1]

${displaystyle sigma _{A},sigma _{B},geq ,{frac {1}{2}},left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|}$

and Ozawa relations we obtain

{displaystyle varepsilon _{A}eta _{B}+varepsilon _{A},sigma _{B}+sigma _{A},eta _{B}+sigma _{A}sigma _{B}geq left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|.}

The four terms can be written as:

{displaystyle (varepsilon _{A}+sigma _{A}),(eta _{B}+sigma _{B}),geq ,left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|.}

Definování:

{displaystyle {ar {varepsilon }}_{A},equiv ,(varepsilon _{A}+sigma _{A})}

jako nepřesnost in the measured values of the variable A a

{displaystyle {ar {eta }}_{B},equiv ,(eta _{B}+sigma _{B})}

jako resulting fluctuation in the conjugate variable B,Fujikawa^[45] established an uncertainty relation similar to the Heisenberg original one, but valid both for systematic and statistical errors:

${displaystyle {ar {varepsilon }}_{A},{ar {eta }}_{B},geq ,left|langle [{hat {A}},{hat {B}}] angle ight|}$

Quantum entropic uncertainty principle

For many distributions, the standard deviation is not a particularly natural way of quantifying the structure. Například vztahy nejistoty, ve kterých je jednou z pozorovatelných úhel, mají malý fyzikální význam pro fluktuace větší než jedno období.^[26]^[46]^[47]^[48] Mezi další příklady patří velmi bimodální distribuce nebo unimodální distribuce s rozdílnou odchylkou.

Řešení, které tyto problémy překoná, je nejistota založená na entropická nejistota místo součinu odchylek. Při formulování interpretace mnoha světů kvantové mechaniky v roce 1957, Hugh Everett III předpokládal silnější rozšíření principu nejistoty na základě entropické jistoty.^[49] Tuto domněnku také studoval Hirschman^[50] a prokázáno v roce 1975 Becknerem^[51] a Iwo Bialynicki-Birula a Jerzy Mycielski^[52] je to pro dva normalizované, bezrozměrné Fourierova transformace páry $f (a)$ a $g (b)$ kde

{ displaystyle f (a) = int _ {- infty} ^ { infty} g (b) e ^ {2 pi iab} , db}

a

{ displaystyle , , , g (b) = int _ {- infty} ^ { infty} f (a) e ^ {- 2 pi iab} , da}

Shannon informační entropie

{ displaystyle H_ {a} = int _ {- infty} ^ { infty} f (a) log (f (a)) , da,}

a

{ displaystyle H_ {b} = int _ {- infty} ^ { infty} g (b) log (g (b)) , db}

podléhají následujícímu omezení,

${ displaystyle H_ {a} + H_ {b} geq log (e / 2)}$

kde logaritmy mohou být v jakékoli základně.

Funkce rozdělení pravděpodobnosti spojené s funkcí polohové vlny $ψ (x)$ a funkce hybnosti $φ (x)$ mají rozměry inverzní délky a hybnosti, ale entropie mohou být vykresleny bezrozměrně

{ displaystyle H_ {x} = - int | psi (x) | ^ {2} ln (x_ {0} , | psi (x) | ^ {2}) , dx = - vlevo langle ln (x_ {0} mid psi (x) | ^ {2}) right rangle}

{ displaystyle H_ {p} = - int | varphi (p) | ^ {2} ln (p_ {0} , | varphi (p) | ^ {2}) , dp = - vlevo langle ln (p_ {0} left | varphi (p) right | ^ {2}) right rangle}

kde $X 0$ a $p 0$ jsou některé svévolně zvolené délky a hybnosti, které činí argumenty logaritmů bezrozměrnými. Všimněte si, že entropie budou funkcemi těchto vybraných parametrů. V důsledku Fourierova transformace mezi funkcí poziční vlny $ψ (x)$ a vlnová funkce hybnosti $φ (p)$ , výše uvedené omezení lze pro odpovídající entropie zapsat jako

${ displaystyle H_ {x} + H_ {p} geq log left ({ frac {e , h} {2 , x_ {0} , p_ {0}}} right)}$

kde $h$ je Planckova konstanta.

Podle toho, jak si někdo zvolí $X 0 p 0$ produkt, výraz může být napsán mnoha způsoby. Li $X 0 p 0$ je vybrán být $h$ , pak

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p} geq log left ({ frac {e} {2}} right)}

Pokud místo toho $X 0 p 0$ je vybrán být $ħ$ , pak

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p} geq log (e , pi)}

Li $X 0$ a $p 0$ jsou vybráni jako jednota v jakémkoli systému jednotek, které se používají

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p} geq log left ({ frac {e , h} {2}} right)}

kde $h$ je interpretováno jako bezrozměrné číslo rovnající se hodnotě Planckovy konstanty ve zvoleném systému jednotek. Všimněte si, že tyto nerovnosti lze rozšířit na multimódové kvantové stavy nebo vlnové funkce ve více než jedné prostorové dimenzi.^[53]

Princip kvantové entropické nejistoty je přísnější než Heisenbergův princip nejistoty. Z inverzní logaritmické Sobolevovy nerovnosti^[54]

{ displaystyle H_ {x} leq { frac {1} {2}} log (2e pi sigma _ {x} ^ {2} / x_ {0} ^ {2}) ~,}

{ displaystyle H_ {p} leq { frac {1} {2}} log (2e pi sigma _ {p} ^ {2} / p_ {0} ^ {2}) ~,}

(ekvivalentně ze skutečnosti, že normální rozdělení maximalizují entropii všech takových s danou odchylkou), snadno vyplývá, že tento princip entropické nejistoty je silnější než ten na základě směrodatných odchylek, protože

{ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq { frac { hbar} {2}} exp left (H_ {x} + H_ {p} - log left ({ frac {e , h} {2 , x_ {0} , p_ {0}}} right) right) geq { frac { hbar} {2}} ~.}

Jinými slovy, Heisenbergův princip nejistoty je důsledkem principu kvantové entropické nejistoty, ale nikoli naopak. Několik poznámek k těmto nerovnostem. Nejprve výběr základna e je záležitost populární konvence ve fyzice. Logaritmus může být alternativně v jakékoli základně za předpokladu, že je konzistentní na obou stranách nerovnosti. Za druhé, připomeňme si Shannonova entropie byl užíván, ne kvantum von Neumannova entropie. Nakonec normální rozdělení saturuje nerovnost a je to jediné rozdělení s touto vlastností, protože je to maximální rozdělení pravděpodobnosti entropie mezi těmi s pevnou odchylkou (srov. tady pro důkaz).

Entropická nejistota normálního rozdělení

Tuto metodu demonstrujeme na základním stavu QHO, který, jak bylo diskutováno výše, saturuje obvyklou nejistotu založenou na standardních odchylkách. Stupnici délky lze nastavit na cokoli je vhodné, proto ji přiřadíme

{ displaystyle x_ {0} = { sqrt { frac { hbar} {2m omega}}}}

{ displaystyle { begin {aligned} psi (x) & = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ {1/4} exp { left (- { frac {m omega x ^ {2}} {2 hbar}} vpravo)} & = vlevo ({ frac {1} {2 pi x_ {0} ^ {2}}} right) ^ {1/4} exp { left (- { frac {x ^ {2}} {4x_ {0} ^ {2}}} right)} end {zarovnáno}}}

Rozložení pravděpodobnosti je normální rozdělení

{ displaystyle | psi (x) | ^ {2} = { frac {1} {x_ {0} { sqrt {2 pi}}}} exp { left (- { frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} vpravo)}}

se Shannonovou entropií

{ displaystyle { begin {zarovnáno} H_ {x} & = - int | psi (x) | ^ {2} ln (| psi (x) | ^ {2} cdot x_ {0}) , dx & = - { frac {1} {x_ {0} { sqrt {2 pi}}}} int _ {- infty} ^ { infty} exp { left (- { frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} vpravo)} ln vlevo [{ frac {1} { sqrt {2 pi}}} exp { left (- { frac {x ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2}}} right)} right] , dx & = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} exp { left (- { frac {u ^ {2}} {2}} right)} left [ ln ({ sqrt {2 pi}}) + { frac {u ^ {2}} {2}} right] , du & = ln ({ sqrt {2 pi}}) + { frac {1} {2}}. End {zarovnáno}}}

Pro rozdělení hybnosti postupuje zcela analogický výpočet. Volba standardní hybnosti ${ displaystyle p_ {0} = hbar / x_ {0}}$ :

{ displaystyle varphi (p) = left ({ frac {2x_ {0} ^ {2}} { pi hbar ^ {2}}} right) ^ {1/4} exp { left (- { frac {x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} { hbar ^ {2}}} vpravo)}}

{ displaystyle | varphi (p) | ^ {2} = { sqrt { frac {2x_ {0} ^ {2}} { pi hbar ^ {2}}}} exp { left (- { frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} { hbar ^ {2}}} vpravo)}}

{ displaystyle { begin {zarovnáno} H_ {p} & = - int | varphi (p) | ^ {2} ln (| varphi (p) | ^ {2} cdot hbar / x_ { 0}) , dp & = - { sqrt { frac {2x_ {0} ^ {2}} { pi hbar ^ {2}}}} int _ {- infty} ^ { infty} exp { left (- { frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} { hbar ^ {2}}} right)} ln left [{ sqrt { frac {2} { pi}}} exp { left (- { frac {2x_ {0} ^ {2} p ^ {2}} { hbar ^ {2}}} right)} right ] , dp & = { sqrt { frac {2} { pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} exp { left (-2v ^ {2} right )} left [ ln left ({ sqrt { frac { pi} {2}}} right) + 2v ^ {2} right] , dv & = ln left ({ sqrt { frac { pi} {2}}} vpravo) + { frac {1} {2}}. end {zarovnáno}}}

Mezní hodnotou je tedy entropická nejistota

{ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} + H_ {p} & = ln ({ sqrt {2 pi}}) + { frac {1} {2}} + ln left ( { sqrt { frac { pi} {2}}} vpravo) + { frac {1} {2}} & = 1+ ln pi = ln (e pi). end {zarovnaný}}}

Měřicí zařízení bude mít konečné rozlišení stanovené diskretizací jeho možných výstupů do košů s pravděpodobností, že leží v jednom z košů daných pravidlem Born. Vezmeme v úvahu nejběžnější experimentální situaci, ve které mají koše jednotnou velikost. Nechat δx být měřítkem prostorového rozlišení. Vezmeme nultý koš, abychom byli vystředěni poblíž počátku, s možným malým konstantním posunem C. Pravděpodobnost, že ležíte v j-tom intervalu šířky δx je

{ displaystyle operatorname {P} [x_ {j}] = int _ {(j-1/2) delta xc} ^ {(j + 1/2) delta xc} | psi (x) | ^ {2} , dx}

Abychom zohlednili tuto diskretizaci, můžeme definovat Shannonovu entropii vlnové funkce pro daný měřicí přístroj jako

{ displaystyle H_ {x} = - součet _ {j = - infty} ^ { infty} operatorname {P} [x_ {j}] ln operatorname {P} [x_ {j}].}

Podle výše uvedené definice je vztah entropické nejistoty

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p}> ln left ({ frac {e} {2}} right) - ln left ({ frac { delta x delta p} {h }}že jo).}

Zde si toho všimneme $δx δp / h$ je typický nekonečně malý objem fázového prostoru používaný při výpočtu a funkce oddílu. Nerovnost je také přísná a není nasycená. Úsilí o zlepšení této vazby je aktivní oblastí výzkumu.

Příklad normálního rozdělení

Tuto metodu nejprve demonstrujeme na základním stavu QHO, který, jak bylo diskutováno výše, saturuje obvyklou nejistotu založenou na standardních odchylkách.

{ displaystyle psi (x) = left ({ frac {m omega} { pi hbar}} right) ^ {1/4} exp { left (- { frac {m omega x ^ {2}} {2 hbar}} vpravo)}}

Pravděpodobnost, že ležíte v jednom z těchto košů, lze vyjádřit pomocí chybová funkce.

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {P} [x_ {j}] & = { sqrt { frac {m omega} { pi hbar}}} int _ {(j-1 / 2) delta x} ^ {(j + 1/2) delta x} exp left (- { frac {m omega x ^ {2}} { hbar}} right) , dx & = { sqrt { frac {1} { pi}}} int _ {(j-1/2) delta x { sqrt {m omega / hbar}}}} {{j + 1/2) delta x { sqrt {m omega / hbar}}} e ^ {u ^ {2}} , du & = { frac {1} {2}} vlevo [ operatorname {erf} left ( left (j + { frac {1} {2}} right) delta x cdot { sqrt { frac {m omega} { hbar}}} right) - operatorname {erf} left ( left (j - { frac {1} {2}} right) delta x cdot { sqrt { frac {m omega} { hbar}}} right ) right] end {zarovnáno}}}

Pravděpodobnosti hybnosti jsou zcela analogické.

{ displaystyle operatorname {P} [p_ {j}] = { frac {1} {2}} left [ operatorname {erf} left ( left (j + { frac {1} {2}} right) delta p cdot { frac {1} { sqrt { hbar m omega}}} right) - operatorname {erf} left ( left (j - { frac {1} { 2}} right) delta x cdot { frac {1} { sqrt { hbar m omega}}} right) right]}

Pro zjednodušení nastavíme rozlišení na

{ displaystyle delta x = { sqrt { frac {h} {m omega}}}}

{ displaystyle delta p = { sqrt {hm omega}}}

aby se pravděpodobnosti snížily na

{ displaystyle operatorname {P} [x_ {j}] = operatorname {P} [p_ {j}] = { frac {1} {2}} left [ operatorname {erf} left ( left (j + { frac {1} {2}} right) { sqrt {2 pi}} right) - operatorname {erf} left ( left (j - { frac {1} {2} } right) { sqrt {2 pi}} right) right]}

Shannonovu entropii lze vyhodnotit numericky.

{ displaystyle { begin {aligned} H_ {x} = H_ {p} & = - sum _ {j = - infty} ^ { infty} operatorname {P} [x_ {j}] ln operatorname {P} [x_ {j}] & = - sum _ {j = - infty} ^ { infty} { frac {1} {2}} left [ operatorname {erf} left ( left (j + { frac {1} {2}} right) { sqrt {2 pi}} right) - operatorname {erf} left ( left (j - { frac {1} {2}} right) { sqrt {2 pi}} right) right] ln { frac {1} {2}} left [ operatorname {erf} left ( left (j + { frac {1} {2}} right) { sqrt {2 pi}} right) - operatorname {erf} left ( left (j - { frac {1} {2}} right) ) { sqrt {2 pi}} vpravo) vpravo] & přibližně 0,3226 end {zarovnáno}}}

Entropická nejistota je skutečně větší než mezní hodnota.

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p} přibližně 0,3226 + 0,3226 = 0,6452> ln left ({ frac {e} {2}} right) - ln 1 cca 0,3069}

Všimněte si, že i když je v optimálním případě, nerovnost není nasycena.

Příklad funkce Sinc

Příkladem unimodálního rozdělení s nekonečnou odchylkou je funkce sinc. Pokud je vlnová funkce správně normalizované rovnoměrné rozdělení,

{ displaystyle psi (x) = { begin {cases} { frac {1} { sqrt {2a}}} & { text {for}} | x | leq a, [8pt] 0 & { text {for}} | x |> a end {případů}}}

pak je jeho Fourierova transformace funkcí sinc,

{ displaystyle varphi (p) = { sqrt { frac {a} { pi hbar}}} cdot operatorname {sinc} left ({ frac {ap} { hbar}} right) }

který poskytuje nekonečnou odchylku hybnosti navzdory tomu, že má centralizovaný tvar. Entropická nejistota je na druhé straně konečná. Předpokládejme pro jednoduchost, že prostorové rozlišení je pouze měření ve dvou binech, δx = Aa že rozlišení hybnosti je δp = h/A.

Rozdělení rovnoměrného prostorového rozdělení na dva stejné koše je jednoduché. Nastavili jsme offset C = 1/2, takže dva koše se rozprostírají po rozdělení.

{ displaystyle operatorname {P} [x_ {0}] = int _ {- a} ^ {0} { frac {1} {2a}} , dx = { frac {1} {2}} }

{ displaystyle operatorname {P} [x_ {1}] = int _ {0} ^ {a} { frac {1} {2a}} , dx = { frac {1} {2}}}

{ displaystyle H_ {x} = - součet _ {j = 0} ^ {1} operatorname {P} [x_ {j}] ln operatorname {P} [x_ {j}] = - { frac {1} {2}} ln { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} ln { frac {1} {2}} = ln 2}

Zásobníky hybnosti musí pokrývat celou skutečnou linii. Stejně jako u prostorového rozdělení bychom mohli použít posun. Ukázalo se však, že Shannonova entropie je minimalizována, když je nultý koš hybnosti soustředěn na počátek. (Čtenáři se doporučuje zkusit přidat offset.) Pravděpodobnost, že ležíte v libovolném zásobníku hybnosti, lze vyjádřit pomocí sinusový integrál.

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {P} [p_ {j}] & = { frac {a} { pi hbar}} int _ {(j-1/2) delta p} ^ {(j + 1/2) delta p} operatorname {sinc} ^ {2} left ({ frac {ap} { hbar}} right) , dp & = { frac { 1} { pi}} int _ {2 pi (j-1/2)} ^ {2 pi (j + 1/2)} operatorname {sinc} ^ {2} (u) , du & = { frac {1} { pi}} left [ operatorname {Si} ((4j + 2) pi) - operatorname {Si} ((4j-2) pi) right) end {zarovnáno}}}

Shannonovu entropii lze vyhodnotit numericky.

{ displaystyle H_ {p} = - součet _ {j = - infty} ^ { infty} operatorname {P} [p_ {j}] ln operatorname {P} [p_ {j}] = - operatorname {P} [p_ {0}] ln operatorname {P} [p_ {0}] - 2 cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} operatorname {P} [p_ {j }] ln operatorname {P} [p_ {j}] přibližně 0,53}

Entropická nejistota je skutečně větší než mezní hodnota.

{ displaystyle H_ {x} + H_ {p} přibližně 0,69 + 0,53 = 1,22> ln vlevo ({ frac {e} {2}} vpravo) - ln 1 přibližně 0,31}

Efimovova nerovnost podle Pauliho matice

V roce 1976 Sergej P. Efimov odvodil nerovnost, která vylepšuje Robertsonův vztah použitím komutátorů vysokého řádu. ^[55] Jeho přístup je založen na Pauliho matice. Později V.V. Dodonov použil metodu k odvození vztahů pro několik pozorovatelných pomocí Cliffordova algebra. ^[56]^[57]

Podle Jackiw, ^[25] Robertsonova nejistota je platná pouze v případě, že komutátor má číslo C. Metoda Efimov je účinná pro proměnné, které mají komutátory vysokého řádu - například pro operátora kinetické energie a pro souřadnici jednoho. Zvažte dva operátory ${ displaystyle { hat {A}}}$ a ${ displaystyle { hat {B}}}$ které mají komutátor ${ displaystyle { hat {C}}}$ :

{ displaystyle left [{ hat {A}}, { hat {B}} right] = { hat {C}}.}

Pro zkrácení vzorců používáme odchylky operátorů:

{ displaystyle delta { hat {A}} = { hat {A}} - left langle { hat {A}} right rangle}

,

když noví operátoři mají nulovou střední odchylku. Chcete-li použít Pauliho matice můžeme uvažovat o operátorovi:

{ displaystyle { hat {F}} = gamma _ {1} , delta { hat {A}} , sigma _ {1} + gamma _ {2} , delta { hat {B}} , sigma _ {2} + gamma _ {3} , delta { hat {C}} , sigma _ {3},}

kde 2 × 2 rotační matice ${ displaystyle sigma _ {i}}$ mít komutátory:

{ displaystyle left [ sigma _ {i}, sigma _ {k} right] = , i , e_ {ikl} sigma _ {l},}

kde ${ displaystyle e_ {ikl}}$ antisymetrický symbol. Působí v prostoru rotace nezávisle na ${ displaystyle delta { hat {A}} {,} , delta { hat {B}} {,} , delta { hat {C}}}$ Matice .Pauli definují Cliffordova algebra. Bereme libovolná čísla ${ displaystyle gamma _ {i}}$ v operátoru ${ displaystyle { hat {F}}}$ být skutečný.

Fyzický čtverec operátora se rovná:

{ displaystyle { hat {F}} { hat {F}} ^ {+} = gamma _ {1} ^ {2} (, delta { hat {A}} delta { hat { A}} ^ {+}) + gamma _ {2} ^ {2} (, delta { hat {B}} delta { hat {B}} ^ {+}) + gamma _ { 3} ^ {2} (, delta { hat {C}} delta { hat {C}} ^ {+}) + gamma _ {1} gamma _ {2} , { hat {C}} , sigma _ {3} + gamma _ {2} gamma _ {3} , { hat {C}} _ ​​{2} , sigma _ {1} - gamma _ {1} gamma _ {3} , { hat {C}} _ ​​{3} , sigma _ {2},}

kde ${ displaystyle { hat {F}} ^ {+}}$ je operátor adjoint a komutátory ${ displaystyle { hat {C}} _ {2}}$ a ${ displaystyle { hat {C}} _ {3}}$ jsou následující:

{ displaystyle { hat {C}} _ ​​{2} = i left [ delta { hat {B}}, { hat {C}} right], qquad { hat {C}} _ {3} = i left [ delta { hat {A}}, { hat {C}} right].}

Operátor ${ displaystyle { hat {F}} { hat {F}} ^ {+}}$ je kladně definitivní, co je nezbytné k získání níže uvedené nerovnosti. Převezmeme jeho průměrnou hodnotu ${ displaystyle left | psi right rangle}$ , dostaneme kladně definitivní matici 2 × 2:

{ displaystyle { begin {zarovnaný} left langle psi right | { hat {F}} { hat {F}} ^ {+} left | psi right rangle & = gamma _ {1} ^ {2} , left langle ( delta { hat {A}}) ^ {2} right rangle + gamma _ {2} ^ {2} , left langle ( delta { hat {B}}) ^ {2} right rangle + gamma _ {3} ^ {2} , left langle ( delta { hat {C}}) ^ {2} right rangle + & + gamma _ {1} gamma _ {2} , left langle { hat {C}} right rangle , sigma _ {3} + gamma _ {2} gamma _ {3} , left langle { hat {C}} _ ​​{2} right rangle , sigma _ {1} - gamma _ {1} gamma _ {3 } , left langle { hat {C}} _ ​​{3} right rangle , sigma _ {2}, end {aligned}}}

kde byl použit pojem:

{ displaystyle left langle ( delta { hat {A}}) ^ {2} right rangle = left langle ( delta { hat {A}} delta A ^ {+}) pravý rangle}

a analogický pro operátory ${ displaystyle B, , C}$ . Pokud jde o tyto koeficienty ${ displaystyle gamma _ {i}}$ jsou v rovnici libovolné, dostaneme pozitivně definitivní matice 6×6. Sylvestrovo kritérium říká, že její hlavní hlavní nezletilí jsou nezáporní. Následuje Robertsonova nejistota od menšího čtvrtého stupně. Pro posílení výsledku vypočítáme determinant šestého řádu:

${ displaystyle left langle {( delta { hat {A}}) ^ {2}} right rangle left langle {( delta { hat {B}}) ^ {2}} right rangle left langle {( delta { hat {C}}) ^ {2}} right rangle geq { frac {1} {4}} left langle { hat {C} } right rangle ^ {2} left langle {( delta { hat {C}}) ^ {2}} right rangle + { frac {1} {4}} left langle ( delta { hat {A}}) ^ {2} right rangle left langle { hat {C}} _ {2} right rangle ^ {2} + { frac {1} {4 }} left langle ( delta { hat {B}}) ^ {2} right rangle left langle { hat {C}} _ {3} right rangle ^ {2}}$

Rovnost je dodržována pouze v případě, že stát je vlastním stavem pro operátora ${ displaystyle { hat {F}}}$ a podobně pro proměnné rotace:

{ displaystyle { hat {F}} , { left | psi right rangle} { left | { hat {s}} right rangle} = 0}

.

Nalezený vztah můžeme použít na operátora kinetické energie ${ displaystyle { hat {E}} _ {kin} = { frac { mathbf { hat {p}} ^ {2}} {2}}}$ a pro operátora souřadnic ${ displaystyle mathbf { hat {x}}}$ :

${ displaystyle left langle ( delta { hat {E}}) ^ {2} right rangle left langle ( delta { hat { mathbf {x}}}) ^ {2} right rangle geq { frac { hbar ^ {2}} {4}} left langle , mathbf { hat {p}} , right rangle ^ {2} + { frac { hbar ^ {2}} {2}} left langle ( delta { hat {E}}) ^ {2} right rangle left langle ( delta mathbf { hat {p}} ) ^ {2} doprava rangle ^ {- 1}}$

Rovnost ve vzorci je sledována zejména pro základní stav oscilátoru, zatímco pravá položka Robertsonovy nejistoty zmizí:

{ displaystyle left langle , mathbf { hat {p}} , right rangle = 0}

.

Fyzikální význam relace je jasnější, pokud ji vydělíme čtvercovým nenulovým průměrným impulzem, který získá:

${ displaystyle left langle ( delta { hat {E}}) ^ {2} right rangle ( delta t) ^ {2} geq { frac { hbar ^ {2}} {4 }} + { frac { hbar ^ {2}} {2}} left langle ( delta { hat {E}}) ^ {2} right rangle left langle ( delta mathbf { hat {p}}) ^ {2} right rangle ^ {- 1} left langle , mathbf { hat {p}} , right rangle ^ {- 2},}$

kde ${ displaystyle ( delta t) ^ {2} = left langle ( delta mathbf { hat {x}}) ^ {2} right rangle left langle mathbf {,} { klobouk {p}} , pravý rangle ^ {- 2}}$ je čtvercový efektivní čas, během kterého se částice pohybuje blízko střední trajektorie (hmotnost částice se rovná 1).

Metodu lze použít pro tři nepojíždějící operátory momentu hybnosti ${ displaystyle mathbf { hat {L}}}$ . Sestavujeme operátora:

{ displaystyle { hat {F}} = gamma _ {1} , delta { hat {L}} _ {x} , sigma _ {1} + gamma _ {2} , delta { hat {L}} _ {y} , sigma _ {2} + gamma _ {3} , delta { hat {L}} _ {z} , sigma _ {3} .}

Připomínáme, že operátoři ${ displaystyle sigma _ {i}}$ jsou pomocné a mezi spinovými proměnnými částice není žádný vztah. Tímto způsobem jsou důležité pouze jejich komutativní vlastnosti. Čtvercový a průměrný operátor ${ displaystyle { hat {F}}}$ dává kladně definitivní matici, kde dostaneme následující nerovnost z:

${ displaystyle left langle {( delta { hat {L}} _ {x})} ^ {2} right rangle left langle {( delta { hat {L}} _ {y })} ^ {2} right rangle left langle {( delta { hat {L}} _ {z})} ^ {2}) right rangle geq { frac { hbar ^ {2}} {4}} sum _ {i = 1} ^ {3} left langle ( delta { hat {L}} _ {i}) ^ {2} right rangle left jazyk { hat {L}} _ {i} doprava rangle ^ {2}}$

K vývoji metody pro skupinu operátorů lze místo Pauliho matic použít Cliffordovu algebru ^[57].

Harmonická analýza

V kontextu harmonická analýza, obor matematiky, z principu neurčitosti vyplývá, že nelze současně lokalizovat hodnotu funkce a její Fourierova transformace. Následující nerovnost tedy platí,

{ displaystyle left ( int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} , dx right) left ( int _ {- infty } ^ { infty} xi ^ {2} | { hat {f}} ( xi) | ^ {2} , d xi right) geq { frac { | f | _ { 2} ^ {4}} {16 pi ^ {2}}}.}

Další nerovnosti matematické nejistoty, včetně výše uvedených entropická nejistota, držet mezi funkcí $F$ a jeho Fourierova transformace $ƒ̂$ :^[58]^[59]^[60]

{ displaystyle H_ {x} + H _ { xi} geq log (e / 2)}

Zpracování signálu

V kontextu zpracování signálu, a zejména časově-frekvenční analýza, jsou zásady nejistoty označovány jako Gaborův limit, po Dennis Gabor, nebo někdy Heisenberg – Gaborův limit. Základní výsledek, který vyplývá z níže uvedené „Benedicksovy věty“, je, že funkce nemůže být obojí časově omezený a pásmo omezeno (funkce a její Fourierova transformace nemohou mít obě ohraničenou doménu) - viz omezeno pásmem a časově omezeno. Tím pádem

{ displaystyle sigma _ {t} cdot sigma _ {f} geq { frac {1} {4 pi}} přibližně 0,08 { text {cykly}}}

kde ${ displaystyle sigma _ {t}}$ a ${ displaystyle sigma _ {f}}$ jsou směrodatné odchylky odhadů času a frekvence.^[61]

Alternativně uvedeno: „Nelze současně ostře lokalizovat signál (funkce $F$ ) v obou časová doména a frekvenční doména ( $ƒ̂$ , jeho Fourierova transformace) ".

Výsledek při použití na filtry znamená, že nelze dosáhnout vysokého časového rozlišení a rozlišení frekvence současně; konkrétním příkladem jsou problémy řešení krátkodobé Fourierovy transformace —Pokud někdo používá široké okno, dosáhne dobrého frekvenčního rozlišení za cenu časového rozlišení, zatímco úzké okno má opačný kompromis.

Alternativní věty poskytují přesnější kvantitativní výsledky a při časově-frekvenční analýze namísto samostatné interpretace (jednorozměrné) časové a frekvenční domény jedna interpretuje limit jako dolní limit na podporu funkce v (2 -dimenzionální) časově-frekvenční rovina. V praxi limit Gabor limituje simultánní časové a frekvenční rozlišení, kterého lze dosáhnout bez rušení; je možné dosáhnout vyššího rozlišení, ale za cenu rušení různých složek signálu.

Ve výsledku, aby bylo možné analyzovat signály, kde jsou důležité přechodové jevy, vlnková transformace se často používá místo Fourier.

Princip DFT-nejistoty

Existuje princip neurčitosti, který využívá řídkost signálu (nebo počet nenulových koeficientů).^[62]

Nechat ${ displaystyle left { mathbf {x_ {n}} right }: = x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {N-1}}$ být posloupností N komplexní čísla a ${ displaystyle left { mathbf {X_ {k}} right }: = X_ {0}, X_ {1}, ldots, X_ {N-1},}$ své diskrétní Fourierova transformace.

Označit podle ${ displaystyle | x | _ {0}}$ počet nenulových prvků v časové posloupnosti ${ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, ldots, x_ {N-1}}$ a tím ${ displaystyle | X | _ {0}}$ počet nenulových prvků ve frekvenční sekvenci ${ displaystyle X_ {0}, X_ {1}, ldots, X_ {N-1}}$ . Pak,

{ displaystyle N leq | x | _ {0} cdot | X | _ {0}.}

Benedicksova věta

Amrein – Berthier^[63] a Benedicksova věta^[64] intuitivně říká, že množina bodů kde $F$ je nenulová a množina bodů kde $ƒ̂$ nenulová nemůže být obě malá.

Konkrétně je to pro funkci nemožné $F$ v $L 2 (R)$ a jeho Fourierova transformace $ƒ̂$ být oběma podporováno na množinách konečných Lebesgueovo opatření. Kvantitativnější verze je^[65]^[66]

{ displaystyle | f | _ {L ^ {2} ( mathbf {R} ^ {d})} leq Ce ^ {C | S || Sigma |} { bigl (} | f | _ {L ^ {2} (S ^ {c})} + | { hat {f}} | _ {L ^ {2} ( Sigma ^ {c})} { bigr)} ~ .}

Jeden očekává, že faktor $Ce C | S || Σ |$ mohou být nahrazeny $Ce C (| S || Σ |) 1/ d$ , který je znám pouze pokud $S$ nebo $Σ$ je konvexní.

Hardyho princip nejistoty

Matematik G. H. Hardy formuloval následující princip nejistoty:^[67] to není možné pro $F$ a $ƒ̂$ aby oba „velmi rychle klesali“. Konkrétně pokud $F$ v ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ je takový

{ displaystyle | f (x) | leq C (1+ | x |) ^ {N} e ^ {- a pi x ^ {2}}}

a

{ displaystyle | { hat {f}} ( xi) | leq C (1+ | xi |) ^ {N} e ^ {- b pi xi ^ {2}}}

(

{ displaystyle C> 0, N}

celé číslo),

pak, pokud $ab > 1, F = 0$ , zatímco pokud $ab = 1$ , pak existuje polynom $P$ stupně $\leq N$ takhle

{ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- a pi x ^ {2}}.}

Toto bylo později vylepšeno následovně: pokud ${ displaystyle f in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {d})}$ je takový

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {d}} int _ { mathbb {R} ^ {d}} | f (x) || { hat {f}} ( xi) | { frac {e ^ { pi | langle x, xi rangle |}} {(1+ | x | + | xi |) ^ {N}}} , dx , d xi <+ infty ~,}

pak

{ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- pi langle sekera, x rangle} ~,}

kde $P$ je polynom stupně $(N - d)/2$ a $A$ je skutečný $d \times d$ pozitivní určitá matice.

Tento výsledek byl uveden v Beurlingových úplných pracích bez důkazu a prokázán v Hörmanderu^[68] (pouzdro ${ displaystyle d = 1, N = 0}$ ) a Bonami, Demange a Jaming^[69] pro obecný případ. Všimněte si, že verze Hörmander-Beurling naznačuje případ $ab > 1$ ve Hardyho teorému, zatímco verze Bonami – Demange – Jaming pokrývá plnou sílu Hardyho věty. V důkazu se objevil jiný důkaz Beurlingovy věty založený na Liouvilleově teorému.^[70]

Úplný popis případu $ab < 1$ stejně jako následující rozšíření distribucí tříd Schwartz se objeví v ref.^[71]

Teorém. Pokud je temperované rozdělení ${ displaystyle f in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {d})}$ je takový

{ displaystyle e ^ { pi | x | ^ {2}} f in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {d})}

a

{ displaystyle e ^ { pi | xi | ^ {2}} { hat {f}} in { mathcal {S}} '( mathbb {R} ^ {d}) ~,}

pak

{ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- pi langle sekera, x rangle} ~,}

pro nějaký vhodný polynom $P$ a skutečná pozitivní určitá matice $A$ typu $d \times d$ .

Dějiny

Werner Heisenberg formuloval princip nejistoty na Niels Bohr institut v Kodani, při práci na matematických základech kvantové mechaniky.^[72]

Werner Heisenberg a Niels Bohr

V roce 1925, po průkopnické práci s Hendrik Kramers Vyvinul Heisenberg maticová mechanika, který nahradil ad hoc stará kvantová teorie s moderní kvantovou mechanikou. Ústředním předpokladem bylo, že klasický koncept pohybu nesedí na kvantovou úroveň, jako elektrony v atomu necestujte po ostře definovaných drahách. Jejich pohyb je spíše rozmazaný zvláštním způsobem: Fourierova transformace jeho časové závislosti zahrnuje pouze ty frekvence, které lze pozorovat při kvantových skokech jejich záření.

Heisenbergův článek nikdy nepřiznal žádná nepozorovatelná množství, jako je přesná poloha elektronu na oběžné dráze; teoretikovi dovolil mluvit jen o Fourierových složkách pohybu. Protože Fourierovy komponenty nebyly definovány na klasických frekvencích, nemohly být použity ke konstrukci přesné trajektorie, takže formalizmus nemohl odpovědět na některé příliš přesné otázky o tom, kde se elektron nachází nebo jak rychle jde.

V březnu 1926 si Heisenberg, který pracoval v Bohrově ústavu, uvědomil, žekomutativita implikuje princip nejistoty. Tato implikace poskytla jasnou fyzickou interpretaci nekomutativity a položila základ pro to, co se stalo známé jako Kodaňská interpretace kvantové mechaniky. Heisenberg ukázal, že komutační vztah implikuje nejistotu, nebo v Bohrově jazyce a doplňkovost.^[73] Jakékoli dvě proměnné, které nedojíždějí, nelze měřit současně - čím přesněji je jedna známa, tím méně přesně lze znát druhou. Heisenberg napsal:

Lze jej vyjádřit v jeho nejjednodušší podobě následovně: Člověk nikdy nemůže s dokonalou přesností poznat oba tyto dva důležité faktory, které určují pohyb jedné z nejmenších částic - její polohu a rychlost. Není možné přesně určit oba poloha a směr a rychlost částice ve stejný okamžik.^[74]

Ve svém slavném článku z roku 1927 „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik“ („O vnímavém obsahu kvantové teoretické kinematiky a mechaniky“) stanovil Heisenberg tento výraz jako minimální míru nevyhnutelné poruchy hybnosti způsobené jakýmkoli měřením polohy,^[2] ale neurčil přesnou definici nejistot Δx a Δp. Místo toho dal nějaké věrohodné odhady v každém případě zvlášť. Ve své přednášce v Chicagu^[75] upřesnil svůj princip:

{ displaystyle Delta x , Delta p gtrsim h}

(1)

Kennard^[3] v roce 1927 poprvé prokázal moderní nerovnost:

{ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq { frac { hbar} {2}}}

(2)

kde $ħ = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} h / 2 π$ , a $σ X$ , $σ p$ jsou směrodatné odchylky polohy a hybnosti. Heisenberg pouze prokázal vztah (2) pro zvláštní případ gaussovských států.^[75]

Terminologie a překlady

V celém textu svého původního německého článku z roku 1927 používal Heisenberg slovo „Ungenauigkeit“ („neurčitost“),^[2]popsat základní teoretický princip. Pouze v závěrečné poznámce přešel na slovo „Unsicherheit“ („nejistota“). Když anglická verze Heisenbergovy učebnice, Fyzikální principy kvantové teorie, byla zveřejněna v roce 1930, byl však použit překlad „nejistota“ a poté se stal běžnějším termínem v anglickém jazyce.^[76]

Heisenbergův mikroskop

Heisenbergův gama mikroskop pro lokalizaci elektronu (zobrazen modře). Příchozí paprsek gama (zobrazený zeleně) je elektronem rozptýlen až do aperturního úhlu mikroskopu θ. Rozptýlený paprsek gama je zobrazen červeně. Klasický optika ukazuje, že polohu elektronu lze vyřešit pouze do nejistoty ΔX to záleží na θ a vlnová délka λ dopadajícího světla.

Princip je docela protiintuitivní, takže první studenti kvantové teorie museli být ujištěni, že naivní měření porušující tuto normu musí být vždy nepoužitelná. Jedním ze způsobů, jak Heisenberg původně ilustroval vnitřní nemožnost porušení principu nejistoty, je využití efekt pozorovatele imaginárního mikroskopu jako měřicího zařízení.^[75]

Představuje si experimentátora, který se pokouší změřit polohu a hybnost elektron tím, že střílí a foton na to.^[77]^:49–50

Problém 1 - Pokud má foton zkrat vlnová délka, a proto, s velkou hybností, lze polohu přesně změřit. Foton se ale rozptyluje v náhodném směru a přenáší velké a nejisté množství hybnosti na elektron. Pokud má foton dlouhý vlnová délka a nízká hybnost, srážka příliš nenarušuje hybnost elektronu, ale rozptyl odhalí jeho polohu jen neurčitě.

Problém 2 - Pokud je velký clona se používá pro mikroskop, umístění elektronu může být dobře vyřešeno (viz Rayleighovo kritérium ); ale podle principu zachování hybnosti, příčná hybnost přicházejícího fotonu ovlivňuje hybnost paprsku elektronu, a proto nová hybnost elektronu špatně vyřeší. Pokud je použita malá clona, je přesnost obou rozlišení opačná.

Kombinace těchto kompromisů znamená, že bez ohledu na to, jaké vlnové délky fotonu a velikosti clony jsou použity, součin nejistoty v měřené poloze a měřené hybnosti je větší nebo roven spodní hranici, která je (až do malého číselného faktoru ) rovná Planckova konstanta.^[78] Heisenberg se nestaral o to, aby formuloval princip nejistoty jako přesný limit, a raději jej použil jako heuristické kvantitativní vyjádření, korigující až na malé numerické faktory, díky nimž je radikálně nová nekomutativita kvantové mechaniky nevyhnutelná.

Kritické reakce

Kodaňská interpretace kvantové mechaniky a Heisenbergův princip nejistoty byly ve skutečnosti považovány za dvojité cíle kritiky, kteří věřili v základní determinismus a realismus. Podle Kodaňská interpretace kvantové mechaniky neexistuje žádná základní realita kvantový stav popisuje, pouze předpis pro výpočet experimentálních výsledků. Neexistuje způsob, jak říci, jaký je stav systému v zásadě, pouze jaký může být výsledek pozorování.

Albert Einstein věřil, že náhodnost je odrazem naší neznalosti nějaké základní vlastnosti reality, zatímco Niels Bohr věřil, že rozdělení pravděpodobnosti jsou základní a neredukovatelné a závisí na tom, která měření se rozhodneme provést. Einstein a Bohr debatovali princip nejistoty po mnoho let.

Ideál odděleného pozorovatele

Wolfgang Pauli nazval Einsteinovu základní námitku proti principu nejistoty „ideálem odděleného pozorovatele“ (fráze přeložená z němčiny):

„Stejně jako má Měsíc určitou pozici,“ řekl mi Einstein loni v zimě, „ať už se na Měsíc podíváme či nikoli, totéž musí platit i pro atomové objekty, protože mezi těmito a makroskopickými objekty není možné ostré rozlišení. nemůže vytvořit prvek reality, jako je poloha, musí být v úplném popisu fyzické reality něco, co odpovídá možnost pozorování postoje, dříve než bylo pozorování skutečně provedeno. "Doufám, že jsem citoval Einsteina správně; vždy je těžké citovat někoho mimo paměť, s nímž někdo nesouhlasí. Právě tento druh postulátu jsem nazvat ideál odděleného pozorovatele.
Dopis Pauliho Nielsovi Bohrovi, 15. února 1955^[79]

Einsteinova štěrbina

První z Einsteinových myšlenkové experimenty zpochybnění principu nejistoty proběhlo následovně:

Consider a particle passing through a slit of width

d

. The slit introduces an uncertainty in momentum of approximately

h / d

because the particle passes through the wall. But let us determine the momentum of the particle by measuring the recoil of the wall. In doing so, we find the momentum of the particle to arbitrary accuracy by conservation of momentum.

Bohr's response was that the wall is quantum mechanical as well, and that to measure the recoil to accuracy $Δ p$ , the momentum of the wall must be known to this accuracy before the particle passes through. This introduces an uncertainty in the position of the wall and therefore the position of the slit equal to $h / Δ p$ , and if the wall's momentum is known precisely enough to measure the recoil, the slit's position is uncertain enough to disallow a position measurement.

A similar analysis with particles diffracting through multiple slits is given by Richard Feynman.^[80]

Einsteinova skříňka

Bohr was present when Einstein proposed the thought experiment which has become known as Einsteinova skříňka. Einstein argued that "Heisenberg's uncertainty equation implied that the uncertainty in time was related to the uncertainty in energy, the product of the two being related to Planckova konstanta."^[81] Consider, he said, an ideal box, lined with mirrors so that it can contain light indefinitely. The box could be weighed before a clockwork mechanism opened an ideal shutter at a chosen instant to allow one single photon to escape. "We now know, explained Einstein, precisely the time at which the photon left the box."^[82] "Now, weigh the box again. The change of mass tells the energy of the emitted light. In this manner, said Einstein, one could measure the energy emitted and the time it was released with any desired precision, in contradiction to the uncertainty principle."^[81]

Bohr spent a sleepless night considering this argument, and eventually realized that it was flawed. He pointed out that if the box were to be weighed, say by a spring and a pointer on a scale, "since the box must move vertically with a change in its weight, there will be uncertainty in its vertical velocity and therefore an uncertainty in its height above the table. ... Furthermore, the uncertainty about the elevation above the earth's surface will result in an uncertainty in the rate of the clock,"^[83] because of Einstein's own theory of gravity's effect on time."Through this chain of uncertainties, Bohr showed that Einstein's light box experiment could not simultaneously measure exactly both the energy of the photon and the time of its escape."^[84]

Paradox EPR pro zapletené částice

Bohr was compelled to modify his understanding of the uncertainty principle after another thought experiment by Einstein. In 1935, Einstein, Podolsky and Rosen (see Paradox EPR ) published an analysis of widely separated zapletený částice. Measuring one particle, Einstein realized, would alter the probability distribution of the other, yet here the other particle could not possibly be disturbed. This example led Bohr to revise his understanding of the principle, concluding that the uncertainty was not caused by a direct interaction.^[85]

But Einstein came to much more far-reaching conclusions from the same thought experiment. He believed the "natural basic assumption" that a complete description of reality would have to predict the results of experiments from "locally changing deterministic quantities" and therefore would have to include more information than the maximum possible allowed by the uncertainty principle.

V roce 1964 John Bell showed that this assumption can be falsified, since it would imply a certain inequality between the probabilities of different experiments. Experimental results confirm the predictions of quantum mechanics, ruling out Einstein's basic assumption that led him to the suggestion of his skryté proměnné. These hidden variables may be "hidden" because of an illusion that occurs during observations of objects that are too large or too small. This illusion can be likened to rotating fan blades that seem to pop in and out of existence at different locations and sometimes seem to be in the same place at the same time when observed. This same illusion manifests itself in the observation of subatomic particles. Both the fan blades and the subatomic particles are moving so fast that the illusion is seen by the observer. Therefore, it is possible that there would be predictability of the subatomic particles behavior and characteristics to a recording device capable of very high speed tracking....Ironically this fact is one of the best pieces of evidence supporting Karl Popper filozofie invalidation of a theory by falsification-experiments. That is to say, here Einstein's "basic assumption" became falsified by experiments based on Bell's inequalities. For the objections of Karl Popper to the Heisenberg inequality itself, see below.

While it is possible to assume that quantum mechanical predictions are due to nonlocal, hidden variables, and in fact David Bohm invented such a formulation, this resolution is not satisfactory to the vast majority of physicists. The question of whether a random outcome is predetermined by a nonlocal theory can be philosophical, and it can be potentially intractable. If the hidden variables were not constrained, they could just be a list of random digits that are used to produce the measurement outcomes. To make it sensible, the assumption of nonlocal hidden variables is sometimes augmented by a second assumption—that the size of the observable universe puts a limit on the computations that these variables can do. A nonlocal theory of this sort predicts that a kvantový počítač would encounter fundamental obstacles when attempting to factor numbers of approximately 10,000 digits or more; a potentially achievable task v kvantové mechanice.^[86]^{[úplná citace nutná ]}

Popperova kritika

Karl Popper approached the problem of indeterminacy as a logician and metafyzický realista.^[87] He disagreed with the application of the uncertainty relations to individual particles rather than to soubory of identically prepared particles, referring to them as "statistical scatter relations".^[87]^[88] In this statistical interpretation, a konkrétní measurement may be made to arbitrary precision without invalidating the quantum theory. This directly contrasts with the Kodaňská interpretace of quantum mechanics, which is nedeterministický but lacks local hidden variables.

In 1934, Popper published Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations) v Naturwissenschaften,^[89] a ve stejném roce Logik der Forschung (translated and updated by the author as Logika vědeckého objevu in 1959), outlining his arguments for the statistical interpretation. In 1982, he further developed his theory in Quantum theory and the schism in Physics, psaní:

[Heisenberg's] formulae are, beyond all doubt, derivable statistical formulae of the quantum theory. But they have been habitually misinterpreted by those quantum theorists who said that these formulae can be interpreted as determining some upper limit to the precision of our measurements. [původní důraz]^[90]

Popper proposed an experiment to falšovat the uncertainty relations, although he later withdrew his initial version after discussions with Weizsäcker, Heisenberg, a Einstein; this experiment may have influenced the formulation of the EPR experiment.^[87]^[91]

Nejistota mnoha světů

The interpretace mnoha světů originally outlined by Hugh Everett III in 1957 is partly meant to reconcile the differences between Einstein's and Bohr's views by replacing Bohr's wave function collapse with an ensemble of deterministic and independent universes whose rozdělení se řídí vlnové funkce a Schrödingerova rovnice. Thus, uncertainty in the many-worlds interpretation follows from each observer within any universe having no knowledge of what goes on in the other universes.

Svobodná vůle

Some scientists including Arthur Compton^[92] a Martin Heisenberg^[93] have suggested that the uncertainty principle, or at least the general probabilistic nature of quantum mechanics, could be evidence for the two-stage model of free will. One critique, however, is that apart from the basic role of quantum mechanics as a foundation for chemistry, nontrivial biological mechanisms requiring quantum mechanics are unlikely, due to the rapid dekoherence time of quantum systems at room temperature.^[94] Proponents of this theory commonly say that this decoherence is overcome by both screening and decoherence-free subspaces found in biological cells.^[94]

Termodynamika

There is reason to believe that violating the uncertainty principle also strongly implies the violation of the druhý zákon termodynamiky.^[95] Vidět Gibbsův paradox.

Viz také

Poznámky

^ N.B. na přesnost: Pokud ${ displaystyle delta x}$ a ${displaystyle delta p}$ are the precisions of position and momentum obtained in an individuální měření a ${ displaystyle sigma _ {x}}$ , ${displaystyle sigma _{p}}$ their standard deviations in an soubor of individual measurements on similarly prepared systems, then "There are, in principle, no restrictions on the precisions of individual measurements ${ displaystyle delta x}$ a ${displaystyle delta p}$ , but the standard deviations will always satisfy ${ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq hbar / 2}$ ".^[11]
^ Note 1 is in clear contradiction with the Section Systematické a statistické chyby that states the existence of both statistical (Robertson) and systematic (Heisenberg) uncertainty relations. These uncertainties are simultaneously expressed in Ozawa's or in Fujikawa's universal inequalities.

Reference

^ ^A ^b ^C Sen, D. (2014). "The Uncertainty relations in quantum mechanics" (PDF). Současná věda. 107 (2): 203–218.
^ ^A ^b ^C Heisenberg, W. (1927), „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik“, Zeitschrift für Physik (v němčině), 43 (3–4): 172–198, Bibcode:1927ZPhy ... 43..172H, doi:10.1007 / BF01397280, S2CID 122763326..Annotated pre-publication proof sheet of Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, March 21, 1927.
^ ^A ^b ^C Kennard, E. H. (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (v němčině), 44 (4–5): 326–352, Bibcode:1927ZPhy...44..326K, doi:10.1007/BF01391200, S2CID 121626384.
^ Weyl, H. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel
^ Furuta, Aya (2012), „Jedna věc je jistá: Heisenbergův princip nejistoty není mrtvý“, Scientific American
^ ^A ^b Ozawa, Masanao (2003), „Všeobecně platná formulace Heisenbergova principu nejistoty ohledně hluku a poruch měření“, Fyzický přehled A, 67 (4): 42105, arXiv:quant-ph / 0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, doi:10.1103 / PhysRevA.67.042105, S2CID 42012188
^ Werner Heisenberg, Fyzikální principy kvantové teorie, str. 20
^ ^A ^b Rozema, L. A.; Darabi, A.; Mahler, D. H.; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, A. M. (2012). "Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements". Dopisy o fyzické kontrole. 109 (10): 100404. arXiv:1208.0034v2. Bibcode:2012PhRvL.109j0404R. doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID 23005268. S2CID 37576344.
^ Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning na Youtube
^ ^A ^b ^C ^d L.D. Landau, E. M. Lifshitz (1977). Kvantová mechanika: nerelativistická teorie. Sv. 3 (3. vyd.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. Online kopie.
^ Section 3.2 of Ballentine, Leslie E. (1970), "The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics", Recenze moderní fyziky, 42 (4): 358–381, Bibcode:1970RvMP...42..358B, doi:10.1103/RevModPhys.42.358. This fact is experimentally well-known for example in quantum optics (see e.g. chap. 2 and Fig. 2.1 Leonhardt, Ulf (1997), Measuring the Quantum State of Light, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49730-2
^ Elion, W. J.; M. Matters, U. Geigenmüller & J. E. Mooij; Geigenmüller, U.; Mooij, J. E. (1994), "Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor", Příroda, 371 (6498): 594–595, Bibcode:1994Natur.371..594E, doi:10.1038y/371594a0 (inactive 2020-09-12)CS1 maint: DOI neaktivní od září 2020 (odkaz)
^ Smithey, D. T.; M. Beck, J. Cooper, M. G. Raymer; Cooper, J .; Raymer, M. G. (1993), "Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields", Phys. Rev.A, 48 (4): 3159–3167, Bibcode:1993PhRvA..48.3159S, doi:10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID 9909968CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Caves, Carlton (1981), "Quantum-mechanical noise in an interferometer", Phys. Rev. D, 23 (8): 1693–1708, Bibcode:1981PhRvD..23.1693C, doi:10.1103/PhysRevD.23.1693
^ Jaeger, Gregg (září 2014). „Co je v (kvantovém) světě makroskopické?“. American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
^ Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996), Kvantová mechanika, Wiley-Interscience: Wiley, pp. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7
^ Giovannetti, V.; Lloyd, S .; Maccone, L. (2011). "Advances in quantum metrology". Fotonika přírody. 5 (4): 222. arXiv:1102.2318. Bibcode:2011NaPho...5..222G. doi:10.1038/nphoton.2011.35. S2CID 12591819.; arXiv
^ Luis, Alfredo (2017-03-13). "Breaking the weak Heisenberg limit". Fyzický přehled A. 95 (3): 032113. arXiv:1607.07668. Bibcode:2017PhRvA..95c2113L. doi:10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN 2469-9926. S2CID 55838380.
^ ^A ^b Robertson, H. P. (1929), "The Uncertainty Principle", Phys. Rev., 34 (1): 163–64, Bibcode:1929PhRv ... 34..163R, doi:10.1103 / PhysRev.34.163
^ ^A ^b Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 14: 296–303
^ ^A ^b Griffiths, David (2005), Kvantová mechanika, New Jersey: Pearson
^ Riley, K. F .; M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Matematické metody pro fyziku a inženýrství, Cambridge, str. 246
^ Davidson, E. R. (1965), "On Derivations of the Uncertainty Principle", J. Chem. Phys., 42 (4): 1461–1462, Bibcode:1965JChPh..42.1461D, doi:10.1063/1.1696139
^ ^A ^b ^C Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 245
^ ^A ^b Jackiw, Roman (1968), "Minimum Uncertainty Product, Number‐Phase Uncertainty Product, and Coherent States", J. Math. Phys., 9 (3): 339–346, Bibcode:1968JMP.....9..339J, doi:10.1063/1.1664585
^ ^A ^b Carruthers, P.; Nieto, M. M. (1968), "Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., 40 (2): 411–440, Bibcode:1968RvMP...40..411C, doi:10.1103/RevModPhys.40.411
^ Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematikySpringer
^ Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 December 2014). "Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables". Dopisy o fyzické kontrole. 113 (26): 260401. arXiv:1407.0338. Bibcode:2014PhRvL.113z0401M. doi:10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID 25615288.
^ Huang, Yichen (10 August 2012). "Variance-based uncertainty relations". Fyzický přehled A. 86 (2): 024101. arXiv:1012.3105. Bibcode:2012PhRvA..86b4101H. doi:10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID 118507388.
^ Curtright, T .; Zachos, C. (2001). "Negative Probability and Uncertainty Relations". Moderní fyzikální písmena A. 16 (37): 2381–2385. arXiv:hep-th/0105226. Bibcode:2001MPLA...16.2381C. doi:10.1142/S021773230100576X. S2CID 119669313.
^ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm, Vztah nejistoty mezi energií a časem v nerelativistické kvantové mechanice, 1945.
^ Hilgevoord, Jan (1996). "The uncertainty principle for energy and time" (PDF). American Journal of Physics. 64 (12): 1451–1456. Bibcode:1996AmJPh..64.1451H. doi:10.1119/1.18410.; Hilgevoord, Jan (1998). "The uncertainty principle for energy and time. II". American Journal of Physics. 66 (5): 396–402. Bibcode:1998AmJPh..66..396H. doi:10.1119/1.18880.; Busch, P. (1990). "On the energy-time uncertainty relation. Part I: Dynamical time and time indeterminacy", Základy fyziky 20(1), 1-32; Busch, P. (1990), "On the energy-time uncertainty relation. Part II: Pragmatic time versus energy indeterminacy". Základy fyziky 20(1), 33-43.
^ The broad linewidth of fast-decaying states makes it difficult to accurately measure the energy of the state, and researchers have even used detuned microwave cavities to slow down the decay rate, to get sharper peaks. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985), "Observation of Inhibited Spontaneous Emission", Dopisy o fyzické kontrole, 55 (1): 67–70, Bibcode:1985PhRvL..55...67G, doi:10.1103/PhysRevLett.55.67, PMID 10031682
^ Likharev, K. K.; A. B. Zorin (1985), "Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions", J. Low Temp. Phys., 59 (3/4): 347–382, Bibcode:1985JLTP...59..347L, doi:10.1007/BF00683782, S2CID 120813342
^ Anderson, P. W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E. R. (ed.), Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press
^ Přesněji, ${displaystyle {hat {A}}{hat {B}}psi -{hat {B}}{hat {A}}psi =ihbar psi }$ whenever both ${displaystyle {hat {A}}{hat {B}}psi }$ a ${displaystyle {hat {B}}{hat {A}}psi }$ are defined, and the space of such ${ displaystyle psi}$ is a dense subspace of the quantum Hilbert space. Vidět Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 245
^ Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 285
^ Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 246
^ Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2013). "Důkaz Heisenbergova vztahu chyba-porucha". Dopisy o fyzické kontrole. 111 (16): 160405. arXiv:1306.1565. Bibcode:2013PhRvL.111p0405B. doi:10.1103 / PhysRevLett.111.160405. PMID 24182239. S2CID 24507489.
^ Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2014). "Heisenberg uncertainty for qubit measurements". Fyzický přehled A. 89 (1): 012129. arXiv:1311.0837. Bibcode:2014PhRvA..89a2129B. doi:10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID 118383022.
^ Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). "Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements". Fyzika přírody. 8 (3): 185–189. arXiv:1201.1833. Bibcode:2012NatPh...8..185E. doi:10.1038/nphys2194. S2CID 117270618.
^ Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation". Vědecké zprávy. 3: 2221. Bibcode:2013NatSR...3E2221B. doi:10.1038/srep02221. PMC 3713528. PMID 23860715.
^ Ringbauer, M.; Biggerstaff, D.N.; Broome, M.A.; Fedrizzi, A .; Branciard, C .; White, A.G. (2014). "Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty". Dopisy o fyzické kontrole. 112 (2): 020401. arXiv:1308.5688. Bibcode:2014PhRvL.112b0401R. doi:10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID 24483993. S2CID 18730255.
^ Björk, G.; Söderholm, J.; Trifonov, A.; Tsegaye, T.; Karlsson, A. (1999). "Complementarity and the uncertainty relations". Fyzický přehled. A60 (3): 1878. arXiv:quant-ph/9904069. Bibcode:1999PhRvA..60.1874B. doi:10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID 27371899.
^ Fujikawa, Kazuo (2012). "Universally valid Heisenberg uncertainty relation". Fyzický přehled A. 85 (6): 062117. arXiv:1205.1360. Bibcode:2012PhRvA..85f2117F. doi:10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID 119640759.
^ Judge, D. (1964), "On the uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 31 (2): 332–340, Bibcode:1964NCim...31..332J, doi:10.1007/BF02733639, S2CID 120553526
^ Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), "On an uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 37 (3): 1119–1125, Bibcode:1965NCim...37.1119B, doi:10.1007/BF02773197, S2CID 122838645
^ Louisell, W. H. (1963), "Amplitude and phase uncertainty relations", Fyzikální dopisy, 7 (1): 60–61, Bibcode:1963PhL.....7...60L, doi:10.1016/0031-9163(63)90442-6
^ DeWitt, B. S.; Graham, N. (1973), Mnohosvětová interpretace kvantové mechaniky, Princeton: Princeton University Press, pp. 52–53, ISBN 0-691-08126-3
^ Hirschman, I. I., Jr. (1957), "A note on entropy", American Journal of Mathematics, 79 (1): 152–156, doi:10.2307/2372390, JSTOR 2372390.
^ Beckner, W. (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics, 102 (6): 159–182, doi:10.2307/1970980, JSTOR 1970980, PMC 432369, PMID 16592223.
^ Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics", Komunikace v matematické fyzice, 44 (2): 129–132, Bibcode:1975CMaPh..44..129B, doi:10.1007/BF01608825, S2CID 122277352
^ Huang, Yichen (24. května 2011). Msgstr "Vztahy entropické nejistoty ve vícerozměrné poloze a prostorech hybnosti". Fyzický přehled A. 83 (5): 052124. arXiv:1101.2944. Bibcode:2011PhRvA..83e2124H. doi:10.1103 / PhysRevA.83.052124. S2CID 119243096.
^ Chafaï, D. (2003), „Gaussovo maximum entropie a obrácené log-Sobolevovy nerovnosti“, Séminaire de Probabilités XXXVIPřednášky z matematiky, 1801, str. 194–200, arXiv:matematika / 0102227, doi:10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603
^ Efimov, Sergej P. (1976). „Matematická formulace vztahů neurčitosti“. Ruský fyzikální deník. 19 (3): 95–99. Bibcode:1976SvPhJ..19..340E. doi:10.1007 / BF00945688. S2CID 121735555.
^ Dodonov, V.V. (2019). "Vztahy nejistoty pro několik pozorovatelných prostřednictvím Cliffordových algeber". Journal of Physics: Conference Series. 1194 012028 (1): 012028. Bibcode:2019JPhCS1194a2028D. doi:10.1088/1742-6596/1194/1/012028.
^ ^A ^b Dodonov, V. V. (2018). "Vztahy nejistoty odchylky bez kovariancí pro tři a čtyři pozorovatelné". Fyzický přehled A. 37 (2): 022105. doi:10.1103 / PhysRevA97.022105 (neaktivní 12. 9. 2020).CS1 maint: DOI neaktivní od září 2020 (odkaz)
^ Havin, V .; Jöricke, B. (1994), Princip neurčitosti v harmonické analýze, Springer-Verlag
^ Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (květen 1997), „Princip nejistoty: Matematický průzkum“, Journal of Fourier Analysis and Applications, 3 (3): 207–238, doi:10.1007 / BF02649110, PAN 1448337, S2CID 121355943
^ Sitaram, A (2001) [1994], „Princip nejistoty, matematický“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
^ Matt Hall, „Co je to Gaborův princip nejistoty?“
^ Donoho, D.L .; Stark, P. B. (1989). "Principy nejistoty a obnova signálu". SIAM Journal on Applied Mathematics. 49 (3): 906–931. doi:10.1137/0149053.
^ Amrein, W.O .; Berthier, A.M. (1977), "O podpůrných vlastnostech L^p-funkce a jejich Fourierovy transformace ", Journal of Functional Analysis, 24 (3): 258–267, doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8.
^ Benedicks, M. (1985), „On Fourierovy transformace funkcí podporovaných na sadách konečné Lebesgueovy míry“, J. Math. Anální. Appl., 106 (1): 180–183, doi:10.1016 / 0022-247X (85) 90140-4
^ Nazarov, F. (1994), „Místní odhady exponenciálních polynomů a jejich aplikace na nerovnosti typu principu neurčitosti“, St. Petersburg Math. J., 5: 663–717
^ Jaming, Ph. (2007), „Principy neurčitosti Nazarova ve vyšší dimenzi“, J. Přibl. Teorie, 149 (1): 30–41, arXiv:matematika / 0612367, doi:10.1016 / j.jat.2007.04.005, S2CID 9794547
^ Hardy, G.H. (1933), „Věta o Fourierových transformacích“, Journal of the London Mathematical Society, 8 (3): 227–231, doi:10.1112 / jlms / s1-8.3.227
^ Hörmander, L. (1991), „Věta jedinečnosti Beurlinga pro páry Fourierovy transformace“, Ark. Mat., 29 (1–2): 231–240, Bibcode:1991 ARM ... 29..237H, doi:10.1007 / BF02384339, S2CID 121375111
^ Bonami, A.; Demange, B .; Jaming, Ph. (2003), „Hermitovské funkce a principy neurčitosti pro Fourierovy a okenné Fourierovy transformace“, Reverend Mat. Iberoamericana, 19: 23–55, arXiv:matematika / 0102111, Bibcode:Matematika 2001 ... 2111B, doi:10,4171 / RMI / 337, S2CID 1211391
^ Hedenmalm, H. (2012), „Heisenbergův princip neurčitosti ve smyslu Beurlinga“, J. Anal. Matematika., 118 (2): 691–702, arXiv:1203.5222, Bibcode:2012arXiv1203.5222H, doi:10.1007 / s11854-012-0048-9, S2CID 54533890
^ Demange, Bruno (2009), Principy nejistoty spojené s nedegenerovanými kvadratickými formamiSociété Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6
^ „Online výstava Heisenberg / Nejistota“. Americký fyzikální ústav, Centrum pro dějiny fyziky. Citováno 2019-10-16.
^ Bohr, Niels; Noll, Waldemar (1958), „Atomová fyzika a lidské znalosti“, American Journal of Physics, New York: Wiley, 26 (8): 38, Bibcode:1958AmJPh..26..596B, doi:10.1119/1.1934707
^ Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne, Taylor a Francis, 1952, s. 30.
^ ^A ^b ^C Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (v němčině), Lipsko: Hirzel anglický překlad Fyzikální principy kvantové teorie. Chicago: University of Chicago Press, 1930.
^ Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), „Za nejistotou: Heisenberg, kvantová fyzika a bomba“, Fyzika dnes, New York: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode:2010PhT .... 63a..49C, doi:10.1063/1.3293416
^ George Greenstein; Arthur Zajonc (2006). Kvantová výzva: moderní výzkum základů kvantové mechaniky. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.
^ Tipler, Paul A .; Llewellyn, Ralph A. (1999), „5–5“, Moderní fyzika (3. vyd.), W. H. Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1
^ Enz, Charles P .; Meyenn, Karl von, eds. (1994). Spisy o fyzice a filozofii od Wolfganga Pauliho. Springer-Verlag. str. 43. ISBN 3-540-56859-X; přeložil Robert Schlapp
^ Feynman přednáší fyziku, díl 3, 2–2
^ ^A ^b Gamow, G., Velcí fyzici od Galilei po Einsteina, Courier Dover, 1988, s. 260.
^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr a velká debata o povaze reality, Ikona, 2009, s. 282.
^ Gamow, G., Velcí fyzici od Galilei po Einsteina, Courier Dover, 1988, s. 260–261.
^ Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr a velká debata o povaze reality, Ikona, 2009, s. 287.
^ Isaacson, Walter (2007), Einstein: Jeho život a vesmír, New York: Simon & Schuster, str.452, ISBN 978-0-7432-6473-0
^ Gerardus 't Hooft občas zastával tento názor.
^ ^A ^b ^C Popper, Karl (1959), Logika vědeckého objevu, Hutchinson & Co.
^ Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: sté hodnocení, 3, Vydavatelství Ashgate, ISBN 978-0-7546-5712-5
^ Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), „Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Kritika vztahů nejistoty)“, Naturwissenschaften, 22 (48): 807–808, Bibcode:1934NW ..... 22..807P, doi:10.1007 / BF01496543, S2CID 40843068.
^ Popper, K. Kvantová teorie a rozkol ve fyzice„Unwin Hyman Ltd, 1982, s. 53–54.
^ Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (2001), Historický vývoj kvantové teorieSpringer, ISBN 978-0-387-95086-0
^ Compton, A. H. (1931). „Princip nejistoty a svobodná vůle“. Věda. 74 (1911): 172. Bibcode:1931Sci .... 74..172C. doi:10.1126 / science.74.1911.172. PMID 17808216.
^ Heisenberg, M. (2009). „Je svobodná vůle iluzí?“. Příroda. 459 (7244): 164–165. Bibcode:2009 Natur.459..164H. doi:10.1038 / 459164a. PMID 19444190. S2CID 4420023.
^ ^A ^b Davies, P. C. W. (2004). „Hraje kvantová mechanika v životě netriviální roli?“. Biosystémy. 78 (1–3): 69–79. doi:10.1016 / j.biosystems.2004.07.001. PMID 15555759.
^ Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). „Porušení zásady nejistoty znamená porušení druhého zákona termodynamiky“. Příroda komunikace. 4: 1670. arXiv:1205.6894. Bibcode:2013NatCo ... 4.1670H. doi:10.1038 / ncomms2665. PMID 23575674. S2CID 205316392.

externí odkazy

[precision-12] N.B. na přesnost: Pokud ${ displaystyle delta x}$ a ${displaystyle delta p}$ are the precisions of position and momentum obtained in an individuální měření a ${ displaystyle sigma _ {x}}$ , ${displaystyle sigma _{p}}$ their standard deviations in an soubor of individual measurements on similarly prepared systems, then "There are, in principle, no restrictions on the precisions of individual measurements ${ displaystyle delta x}$ a ${displaystyle delta p}$ , but the standard deviations will always satisfy ${ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq hbar / 2}$ ".^[11]

[imprecision-13] Note 1 is in clear contradiction with the Section Systematické a statistické chyby that states the existence of both statistical (Robertson) and systematic (Heisenberg) uncertainty relations. These uncertainties are simultaneously expressed in Ozawa's or in Fujikawa's universal inequalities.

[Sen2014-1] A ^b ^C Sen, D. (2014). "The Uncertainty relations in quantum mechanics" (PDF). Současná věda. 107 (2): 203–218.

[Heisenberg_1927-2] A ^b ^C Heisenberg, W. (1927), „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik“, Zeitschrift für Physik (v němčině), 43 (3–4): 172–198, Bibcode:1927ZPhy ... 43..172H, doi:10.1007 / BF01397280, S2CID 122763326..Annotated pre-publication proof sheet of Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, March 21, 1927.

[Kennard-3] A ^b ^C Kennard, E. H. (1927), "Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen", Zeitschrift für Physik (v němčině), 44 (4–5): 326–352, Bibcode:1927ZPhy...44..326K, doi:10.1007/BF01391200, S2CID 121626384.

[Weyl1928-4] Weyl, H. (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel

[5] Furuta, Aya (2012), „Jedna věc je jistá: Heisenbergův princip nejistoty není mrtvý“, Scientific American

[Ozawa2003-6] A ^b Ozawa, Masanao (2003), „Všeobecně platná formulace Heisenbergova principu nejistoty ohledně hluku a poruch měření“, Fyzický přehled A, 67 (4): 42105, arXiv:quant-ph / 0207121, Bibcode:2003PhRvA..67d2105O, doi:10.1103 / PhysRevA.67.042105, S2CID 42012188

[7] Werner Heisenberg, Fyzikální principy kvantové teorie, str. 20

[Rozema-8] A ^b Rozema, L. A.; Darabi, A.; Mahler, D. H.; Hayat, A.; Soudagar, Y.; Steinberg, A. M. (2012). "Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements". Dopisy o fyzické kontrole. 109 (10): 100404. arXiv:1208.0034v2. Bibcode:2012PhRvL.109j0404R. doi:10.1103/PhysRevLett.109.100404. PMID 23005268. S2CID 37576344.

[nptel-9] Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning na Youtube

[L&L-10] A ^b ^C ^d L.D. Landau, E. M. Lifshitz (1977). Kvantová mechanika: nerelativistická teorie. Sv. 3 (3. vyd.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. Online kopie.

[ballentine1970-11] Section 3.2 of Ballentine, Leslie E. (1970), "The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics", Recenze moderní fyziky, 42 (4): 358–381, Bibcode:1970RvMP...42..358B, doi:10.1103/RevModPhys.42.358. This fact is experimentally well-known for example in quantum optics (see e.g. chap. 2 and Fig. 2.1 Leonhardt, Ulf (1997), Measuring the Quantum State of Light, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49730-2

[14] Elion, W. J.; M. Matters, U. Geigenmüller & J. E. Mooij; Geigenmüller, U.; Mooij, J. E. (1994), "Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor", Příroda, 371 (6498): 594–595, Bibcode:1994Natur.371..594E, doi:10.1038y/371594a0 (inactive 2020-09-12)CS1 maint: DOI neaktivní od září 2020 (odkaz)

[15] Smithey, D. T.; M. Beck, J. Cooper, M. G. Raymer; Cooper, J .; Raymer, M. G. (1993), "Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields", Phys. Rev.A, 48 (4): 3159–3167, Bibcode:1993PhRvA..48.3159S, doi:10.1103/PhysRevA.48.3159, PMID 9909968CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[16] Caves, Carlton (1981), "Quantum-mechanical noise in an interferometer", Phys. Rev. D, 23 (8): 1693–1708, Bibcode:1981PhRvD..23.1693C, doi:10.1103/PhysRevD.23.1693

[17] Jaeger, Gregg (září 2014). „Co je v (kvantovém) světě makroskopické?“. American Journal of Physics. 82 (9): 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.

[18] Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996), Kvantová mechanika, Wiley-Interscience: Wiley, pp. 231–233, ISBN 978-0-471-56952-7

[19] Giovannetti, V.; Lloyd, S .; Maccone, L. (2011). "Advances in quantum metrology". Fotonika přírody. 5 (4): 222. arXiv:1102.2318. Bibcode:2011NaPho...5..222G. doi:10.1038/nphoton.2011.35. S2CID 12591819.; arXiv

[20] Luis, Alfredo (2017-03-13). "Breaking the weak Heisenberg limit". Fyzický přehled A. 95 (3): 032113. arXiv:1607.07668. Bibcode:2017PhRvA..95c2113L. doi:10.1103/PhysRevA.95.032113. ISSN 2469-9926. S2CID 55838380.

[Robertson1929-21] A ^b Robertson, H. P. (1929), "The Uncertainty Principle", Phys. Rev., 34 (1): 163–64, Bibcode:1929PhRv ... 34..163R, doi:10.1103 / PhysRev.34.163

[Schrodinger1930-22] A ^b Schrödinger, E. (1930), "Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse, 14: 296–303

[Griffiths2005-23] A ^b Griffiths, David (2005), Kvantová mechanika, New Jersey: Pearson

[Riley2006-24] Riley, K. F .; M. P. Hobson and S. J. Bence (2006), Matematické metody pro fyziku a inženýrství, Cambridge, str. 246

[25] Davidson, E. R. (1965), "On Derivations of the Uncertainty Principle", J. Chem. Phys., 42 (4): 1461–1462, Bibcode:1965JChPh..42.1461D, doi:10.1063/1.1696139

[Hall2013-26] A ^b ^C Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 245

[Jackiw-27] A ^b Jackiw, Roman (1968), "Minimum Uncertainty Product, Number‐Phase Uncertainty Product, and Coherent States", J. Math. Phys., 9 (3): 339–346, Bibcode:1968JMP.....9..339J, doi:10.1063/1.1664585

[CarruthersNieto-28] A ^b Carruthers, P.; Nieto, M. M. (1968), "Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics", Rev. Mod. Phys., 40 (2): 411–440, Bibcode:1968RvMP...40..411C, doi:10.1103/RevModPhys.40.411

[29] Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematikySpringer

[30] Maccone, Lorenzo; Pati, Arun K. (31 December 2014). "Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables". Dopisy o fyzické kontrole. 113 (26): 260401. arXiv:1407.0338. Bibcode:2014PhRvL.113z0401M. doi:10.1103/PhysRevLett.113.260401. PMID 25615288.

[31] Huang, Yichen (10 August 2012). "Variance-based uncertainty relations". Fyzický přehled A. 86 (2): 024101. arXiv:1012.3105. Bibcode:2012PhRvA..86b4101H. doi:10.1103/PhysRevA.86.024101. S2CID 118507388.

[32] Curtright, T .; Zachos, C. (2001). "Negative Probability and Uncertainty Relations". Moderní fyzikální písmena A. 16 (37): 2381–2385. arXiv:hep-th/0105226. Bibcode:2001MPLA...16.2381C. doi:10.1142/S021773230100576X. S2CID 119669313.

[33] L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm, Vztah nejistoty mezi energií a časem v nerelativistické kvantové mechanice, 1945.

[34] Hilgevoord, Jan (1996). "The uncertainty principle for energy and time" (PDF). American Journal of Physics. 64 (12): 1451–1456. Bibcode:1996AmJPh..64.1451H. doi:10.1119/1.18410.; Hilgevoord, Jan (1998). "The uncertainty principle for energy and time. II". American Journal of Physics. 66 (5): 396–402. Bibcode:1998AmJPh..66..396H. doi:10.1119/1.18880.; Busch, P. (1990). "On the energy-time uncertainty relation. Part I: Dynamical time and time indeterminacy", Základy fyziky 20(1), 1-32; Busch, P. (1990), "On the energy-time uncertainty relation. Part II: Pragmatic time versus energy indeterminacy". Základy fyziky 20(1), 33-43.

[35] The broad linewidth of fast-decaying states makes it difficult to accurately measure the energy of the state, and researchers have even used detuned microwave cavities to slow down the decay rate, to get sharper peaks. Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt (1985), "Observation of Inhibited Spontaneous Emission", Dopisy o fyzické kontrole, 55 (1): 67–70, Bibcode:1985PhRvL..55...67G, doi:10.1103/PhysRevLett.55.67, PMID 10031682

[36] Likharev, K. K.; A. B. Zorin (1985), "Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions", J. Low Temp. Phys., 59 (3/4): 347–382, Bibcode:1985JLTP...59..347L, doi:10.1007/BF00683782, S2CID 120813342

[37] Anderson, P. W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E. R. (ed.), Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press

[38] Přesněji, ${displaystyle {hat {A}}{hat {B}}psi -{hat {B}}{hat {A}}psi =ihbar psi }$ whenever both ${displaystyle {hat {A}}{hat {B}}psi }$ a ${displaystyle {hat {B}}{hat {A}}psi }$ are defined, and the space of such ${ displaystyle psi}$ is a dense subspace of the quantum Hilbert space. Vidět Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 245

[39] Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 285

[40] Hall, B. C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Springer, str. 246

[41] Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2013). "Důkaz Heisenbergova vztahu chyba-porucha". Dopisy o fyzické kontrole. 111 (16): 160405. arXiv:1306.1565. Bibcode:2013PhRvL.111p0405B. doi:10.1103 / PhysRevLett.111.160405. PMID 24182239. S2CID 24507489.

[42] Busch, P.; Lahti, P.; Werner, R. F. (2014). "Heisenberg uncertainty for qubit measurements". Fyzický přehled A. 89 (1): 012129. arXiv:1311.0837. Bibcode:2014PhRvA..89a2129B. doi:10.1103/PhysRevA.89.012129. S2CID 118383022.

[43] Erhart, J.; Sponar, S.; Sulyok, G.; Badurek, G.; Ozawa, M.; Hasegawa, Y. (2012). "Experimental demonstration of a universally valid error-disturbance uncertainty relation in spin measurements". Fyzika přírody. 8 (3): 185–189. arXiv:1201.1833. Bibcode:2012NatPh...8..185E. doi:10.1038/nphys2194. S2CID 117270618.

[44] Baek, S.-Y.; Kaneda, F.; Ozawa, M.; Edamatsu, K. (2013). "Experimental violation and reformulation of the Heisenberg's error-disturbance uncertainty relation". Vědecké zprávy. 3: 2221. Bibcode:2013NatSR...3E2221B. doi:10.1038/srep02221. PMC 3713528. PMID 23860715.

[45] Ringbauer, M.; Biggerstaff, D.N.; Broome, M.A.; Fedrizzi, A .; Branciard, C .; White, A.G. (2014). "Experimental Joint Quantum Measurements with Minimum Uncertainty". Dopisy o fyzické kontrole. 112 (2): 020401. arXiv:1308.5688. Bibcode:2014PhRvL.112b0401R. doi:10.1103/PhysRevLett.112.020401. PMID 24483993. S2CID 18730255.

[46] Björk, G.; Söderholm, J.; Trifonov, A.; Tsegaye, T.; Karlsson, A. (1999). "Complementarity and the uncertainty relations". Fyzický přehled. A60 (3): 1878. arXiv:quant-ph/9904069. Bibcode:1999PhRvA..60.1874B. doi:10.1103/PhysRevA.60.1874. S2CID 27371899.

[47] Fujikawa, Kazuo (2012). "Universally valid Heisenberg uncertainty relation". Fyzický přehled A. 85 (6): 062117. arXiv:1205.1360. Bibcode:2012PhRvA..85f2117F. doi:10.1103/PhysRevA.85.062117. S2CID 119640759.

[48] Judge, D. (1964), "On the uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 31 (2): 332–340, Bibcode:1964NCim...31..332J, doi:10.1007/BF02733639, S2CID 120553526

[49] Bouten, M.; Maene, N.; Van Leuven, P. (1965), "On an uncertainty relation for angle variables", Il Nuovo Cimento, 37 (3): 1119–1125, Bibcode:1965NCim...37.1119B, doi:10.1007/BF02773197, S2CID 122838645

[50] Louisell, W. H. (1963), "Amplitude and phase uncertainty relations", Fyzikální dopisy, 7 (1): 60–61, Bibcode:1963PhL.....7...60L, doi:10.1016/0031-9163(63)90442-6

[51] DeWitt, B. S.; Graham, N. (1973), Mnohosvětová interpretace kvantové mechaniky, Princeton: Princeton University Press, pp. 52–53, ISBN 0-691-08126-3

[52] Hirschman, I. I., Jr. (1957), "A note on entropy", American Journal of Mathematics, 79 (1): 152–156, doi:10.2307/2372390, JSTOR 2372390.

[Beckner-53] Beckner, W. (1975), "Inequalities in Fourier analysis", Annals of Mathematics, 102 (6): 159–182, doi:10.2307/1970980, JSTOR 1970980, PMC 432369, PMID 16592223.

[BBM-54] Bialynicki-Birula, I.; Mycielski, J. (1975), "Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics", Komunikace v matematické fyzice, 44 (2): 129–132, Bibcode:1975CMaPh..44..129B, doi:10.1007/BF01608825, S2CID 122277352

[55] Huang, Yichen (24. května 2011). Msgstr "Vztahy entropické nejistoty ve vícerozměrné poloze a prostorech hybnosti". Fyzický přehled A. 83 (5): 052124. arXiv:1101.2944. Bibcode:2011PhRvA..83e2124H. doi:10.1103 / PhysRevA.83.052124. S2CID 119243096.

[56] Chafaï, D. (2003), „Gaussovo maximum entropie a obrácené log-Sobolevovy nerovnosti“, Séminaire de Probabilités XXXVIPřednášky z matematiky, 1801, str. 194–200, arXiv:matematika / 0102227, doi:10.1007/978-3-540-36107-7_5, ISBN 978-3-540-00072-3, S2CID 17795603

[Efimov-57] Efimov, Sergej P. (1976). „Matematická formulace vztahů neurčitosti“. Ruský fyzikální deník. 19 (3): 95–99. Bibcode:1976SvPhJ..19..340E. doi:10.1007 / BF00945688. S2CID 121735555.

[58] Dodonov, V.V. (2019). "Vztahy nejistoty pro několik pozorovatelných prostřednictvím Cliffordových algeber". Journal of Physics: Conference Series. 1194 012028 (1): 012028. Bibcode:2019JPhCS1194a2028D. doi:10.1088/1742-6596/1194/1/012028.

[Dodonov-59] A ^b Dodonov, V. V. (2018). "Vztahy nejistoty odchylky bez kovariancí pro tři a čtyři pozorovatelné". Fyzický přehled A. 37 (2): 022105. doi:10.1103 / PhysRevA97.022105 (neaktivní 12. 9. 2020).CS1 maint: DOI neaktivní od září 2020 (odkaz)

[60] Havin, V .; Jöricke, B. (1994), Princip neurčitosti v harmonické analýze, Springer-Verlag

[61] Folland, Gerald; Sitaram, Alladi (květen 1997), „Princip nejistoty: Matematický průzkum“, Journal of Fourier Analysis and Applications, 3 (3): 207–238, doi:10.1007 / BF02649110, PAN 1448337, S2CID 121355943

[62] Sitaram, A (2001) [1994], „Princip nejistoty, matematický“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[63] Matt Hall, „Co je to Gaborův princip nejistoty?“

[Donoho-64] Donoho, D.L .; Stark, P. B. (1989). "Principy nejistoty a obnova signálu". SIAM Journal on Applied Mathematics. 49 (3): 906–931. doi:10.1137/0149053.

[65] Amrein, W.O .; Berthier, A.M. (1977), "O podpůrných vlastnostech L^p-funkce a jejich Fourierovy transformace ", Journal of Functional Analysis, 24 (3): 258–267, doi:10.1016/0022-1236(77)90056-8.

[66] Benedicks, M. (1985), „On Fourierovy transformace funkcí podporovaných na sadách konečné Lebesgueovy míry“, J. Math. Anální. Appl., 106 (1): 180–183, doi:10.1016 / 0022-247X (85) 90140-4

[67] Nazarov, F. (1994), „Místní odhady exponenciálních polynomů a jejich aplikace na nerovnosti typu principu neurčitosti“, St. Petersburg Math. J., 5: 663–717

[68] Jaming, Ph. (2007), „Principy neurčitosti Nazarova ve vyšší dimenzi“, J. Přibl. Teorie, 149 (1): 30–41, arXiv:matematika / 0612367, doi:10.1016 / j.jat.2007.04.005, S2CID 9794547

[69] Hardy, G.H. (1933), „Věta o Fourierových transformacích“, Journal of the London Mathematical Society, 8 (3): 227–231, doi:10.1112 / jlms / s1-8.3.227

[70] Hörmander, L. (1991), „Věta jedinečnosti Beurlinga pro páry Fourierovy transformace“, Ark. Mat., 29 (1–2): 231–240, Bibcode:1991 ARM ... 29..237H, doi:10.1007 / BF02384339, S2CID 121375111

[71] Bonami, A.; Demange, B .; Jaming, Ph. (2003), „Hermitovské funkce a principy neurčitosti pro Fourierovy a okenné Fourierovy transformace“, Reverend Mat. Iberoamericana, 19: 23–55, arXiv:matematika / 0102111, Bibcode:Matematika 2001 ... 2111B, doi:10,4171 / RMI / 337, S2CID 1211391

[72] Hedenmalm, H. (2012), „Heisenbergův princip neurčitosti ve smyslu Beurlinga“, J. Anal. Matematika., 118 (2): 691–702, arXiv:1203.5222, Bibcode:2012arXiv1203.5222H, doi:10.1007 / s11854-012-0048-9, S2CID 54533890

[73] Demange, Bruno (2009), Principy nejistoty spojené s nedegenerovanými kvadratickými formamiSociété Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-297-6

[74] „Online výstava Heisenberg / Nejistota“. Americký fyzikální ústav, Centrum pro dějiny fyziky. Citováno 2019-10-16.

[75] Bohr, Niels; Noll, Waldemar (1958), „Atomová fyzika a lidské znalosti“, American Journal of Physics, New York: Wiley, 26 (8): 38, Bibcode:1958AmJPh..26..596B, doi:10.1119/1.1934707

[76] Heisenberg, W., Die Physik der Atomkerne, Taylor a Francis, 1952, s. 30.

[Heisenberg_1930-77] A ^b ^C Heisenberg, W. (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (v němčině), Lipsko: Hirzel anglický překlad Fyzikální principy kvantové teorie. Chicago: University of Chicago Press, 1930.

[78] Cassidy, David; Saperstein, Alvin M. (2009), „Za nejistotou: Heisenberg, kvantová fyzika a bomba“, Fyzika dnes, New York: Bellevue Literary Press, 63 (1): 185, Bibcode:2010PhT .... 63a..49C, doi:10.1063/1.3293416

[GreensteinZajonc2006-79] George Greenstein; Arthur Zajonc (2006). Kvantová výzva: moderní výzkum základů kvantové mechaniky. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2470-2.

[80] Tipler, Paul A .; Llewellyn, Ralph A. (1999), „5–5“, Moderní fyzika (3. vyd.), W. H. Freeman and Co., ISBN 1-57259-164-1

[81] Enz, Charles P .; Meyenn, Karl von, eds. (1994). Spisy o fyzice a filozofii od Wolfganga Pauliho. Springer-Verlag. str. 43. ISBN 3-540-56859-X; přeložil Robert Schlapp

[82] Feynman přednáší fyziku, díl 3, 2–2

[Gamow-83] A ^b Gamow, G., Velcí fyzici od Galilei po Einsteina, Courier Dover, 1988, s. 260.

[84] Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr a velká debata o povaze reality, Ikona, 2009, s. 282.

[85] Gamow, G., Velcí fyzici od Galilei po Einsteina, Courier Dover, 1988, s. 260–261.

[86] Kumar, M., Quantum: Einstein, Bohr a velká debata o povaze reality, Ikona, 2009, s. 287.

[87] Isaacson, Walter (2007), Einstein: Jeho život a vesmír, New York: Simon & Schuster, str.452, ISBN 978-0-7432-6473-0

[88] Gerardus 't Hooft občas zastával tento názor.

[Popper1959-89] A ^b ^C Popper, Karl (1959), Logika vědeckého objevu, Hutchinson & Co.

[Jarvie2006-90] Jarvie, Ian Charles; Milford, Karl; Miller, David W (2006), Karl Popper: sté hodnocení, 3, Vydavatelství Ashgate, ISBN 978-0-7546-5712-5

[Popper1934-91] Popper, Karl; Carl Friedrich von Weizsäcker (1934), „Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Kritika vztahů nejistoty)“, Naturwissenschaften, 22 (48): 807–808, Bibcode:1934NW ..... 22..807P, doi:10.1007 / BF01496543, S2CID 40843068.

[92] Popper, K. Kvantová teorie a rozkol ve fyzice„Unwin Hyman Ltd, 1982, s. 53–54.

[Mehra2001-93] Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (2001), Historický vývoj kvantové teorieSpringer, ISBN 978-0-387-95086-0

[94] Compton, A. H. (1931). „Princip nejistoty a svobodná vůle“. Věda. 74 (1911): 172. Bibcode:1931Sci .... 74..172C. doi:10.1126 / science.74.1911.172. PMID 17808216.

[95] Heisenberg, M. (2009). „Je svobodná vůle iluzí?“. Příroda. 459 (7244): 164–165. Bibcode:2009 Natur.459..164H. doi:10.1038 / 459164a. PMID 19444190. S2CID 4420023.

[ReferenceA-96] A ^b Davies, P. C. W. (2004). „Hraje kvantová mechanika v životě netriviální roli?“. Biosystémy. 78 (1–3): 69–79. doi:10.1016 / j.biosystems.2004.07.001. PMID 15555759.

[97] Hänggi, Esther; Wehner, Stephanie (2013). „Porušení zásady nejistoty znamená porušení druhého zákona termodynamiky“. Příroda komunikace. 4: 1670. arXiv:1205.6894. Bibcode:2013NatCo ... 4.1670H. doi:10.1038 / ncomms2665. PMID 23575674. S2CID 205316392.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[poznámka 1]

[poznámka 2]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[11]