Částice v krabici - Particle in a box

Některé trajektorie částice v krabici podle Newtonovy zákony z klasická mechanika (A) a podle Schrödingerova rovnice z kvantová mechanika (B – F). V (B – F) je vodorovná osa pozicí a svislá osa je skutečná část (modrá) a imaginární část (červená) vlnová funkce. Státy (B, C, D) jsou energetické vlastní stavy, ale (E, F) nejsou.

v kvantová mechanika, částice v krabici model (také známý jako nekonečný potenciál dobře nebo nekonečný čtverec dobře) popisuje částice, které se mohou volně pohybovat v malém prostoru obklopeném neproniknutelnými překážkami. Tento model se používá hlavně jako hypotetický příklad pro ilustraci rozdílů mezi nimi klasický a kvantové systémy. V klasických systémech se například částice zachycená uvnitř velké krabice může pohybovat jakoukoli rychlostí uvnitř krabice a není pravděpodobnější, že ji najdete v jedné poloze než v jiné. Když se však jamka velmi zúží (na měřítku několika nanometrů), stanou se důležitými kvantové efekty. Částice může obsadit pouze určité kladné energetické hladiny. Stejně tak nikdy nemůže mít nulovou energii, což znamená, že částice nikdy nemůže „sedět v klidu“. Navíc je pravděpodobnější, že ho najdete v určitých pozicích než v jiných, v závislosti na jeho energetické úrovni. Částice nemusí být nikdy detekována v určitých pozicích, známých jako prostorové uzly.

Částice v krabicovém modelu je jedním z mála problémů v kvantové mechanice, které lze vyřešit analyticky bez aproximací. Díky své jednoduchosti model umožňuje nahlédnout do kvantových efektů bez nutnosti složité matematiky. Slouží jako jednoduchá ilustrace toho, jak energie kvantování (energetické hladiny), které se nacházejí ve složitějších kvantových systémech, jako jsou atomy a molekuly, vznikají. Je to jeden z prvních problémů kvantové mechaniky vyučovaných na vysokoškolských kurzech fyziky a běžně se používá jako aproximace složitějších kvantových systémů.

Jednorozměrné řešení

Bariéry mimo jednorozměrný box mají nekonečně velký potenciál, zatímco vnitřek boxu má konstantní nulový potenciál.

Nejjednodušší forma částice v krabicovém modelu uvažuje o jednorozměrném systému. Zde se může částice pohybovat pouze dopředu a dozadu po přímce s neproniknutelnými překážkami na obou koncích.^[1]Stěny jednorozměrné krabice mohou být vizualizovány jako oblasti vesmíru s nekonečně velkou potenciální energie. Naopak vnitřek boxu má konstantní nulovou potenciální energii.^[2] To znamená, že na částici uvnitř skříně nepůsobí žádné síly a v této oblasti se může volně pohybovat. Nicméně nekonečně velký síly odrazit částice, pokud se dotkne stěn krabice, a zabránit tak jejímu úniku. Potenciální energie v tomto modelu je uvedena jako

${displaystyle V (x) = {egin {cases} 0, & x_ {c} - {frac {L} {2}}$

kde L je délka krabice, X_C je umístění středu krabice a X je poloha částice v krabici. Jednoduché případy zahrnují vystředěný rámeček (X_C = 0 ) a posunutý rámeček (X_C = L / 2 ).

Funkce poziční vlny

V kvantové mechanice vlnová funkce uvádí nejzákladnější popis chování částice; měřitelné vlastnosti částice (jako je její poloha, hybnost a energie) mohou být všechny odvozeny z vlnové funkce.^[3]Vlnová funkce ${displaystyle psi (x, t)}$ lze najít řešením Schrödingerova rovnice pro systém

${displaystyle ihbar {frac {částečné} {částečné t}} psi (x, t) = - {frac {hbar ^ {2}} {2m}} {frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2} }} psi (x, t) + V (x) psi (x, t),}$

kde ${displaystyle hbar}$ je snížená Planckova konstanta, ${displaystyle m}$ je Hmotnost částice, ${displaystyle i}$ je imaginární jednotka a ${displaystyle t}$ je čas.

Uvnitř skříně nepůsobí na částice žádné síly, což znamená, že část vlnové funkce uvnitř skříně kmitá prostorem a časem ve stejné formě jako volná částice:^[1][4]

${displaystyle psi (x, t) = [Asin (kx) + Bcos (kx)] mathrm {e} ^ {- iomega t},}$

(1)

kde ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$ jsou libovolné komplexní čísla. Frekvence kmitání v prostoru a čase je dána vztahem vlnové číslo ${displaystyle k}$ a úhlová frekvence ${displaystyle omega}$ resp. Oba souvisí s celkovou energií částice vyjádřením

${displaystyle E = hbar omega = {frac {hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}},}$

který je známý jako disperzní vztah pro volnou částici.^[1] Zde si musíme všimnout, že nyní, protože částice není zcela volná, ale je pod vlivem potenciálu (potenciál PROTI energie výše uvedené) není to samé jako ${displaystyle {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ kde p je hybnost částice, a tedy vlnové číslo k výše ve skutečnosti popisuje energetické stavy částice, nikoli stavy hybnosti (tj. ukazuje se, že hybnost částice není dána ${displaystyle p = hbar k}$). V tomto smyslu je docela nebezpečné volat na číslo k vlnové číslo, protože nesouvisí s hybností jako obvykle „vlnové číslo“. Odůvodnění volání k vlnové číslo je to, že vyjmenovává počet hřebenů, které má vlnová funkce uvnitř krabice, a v tomto smyslu je to vlnové číslo. Tuto odchylku lze vidět jasněji níže, když zjistíme, že energetické spektrum částice je diskrétní (jsou povoleny pouze diskrétní hodnoty energie), ale spektrum hybnosti je spojité (hybnost se může kontinuálně měnit) a zejména vztah ${displaystyle E = {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ protože energie a hybnost částice nedrží. Jak již bylo řečeno výše, důvod, proč tento vztah mezi energií a hybností neplatí, je ten, že částice není volná, ale existuje potenciál PROTI v systému a energie částice je ${displaystyle E = T + V}$, kde T je kinetický a PROTI potenciální energie.

Počáteční vlnové funkce pro první čtyři stavy v jednorozměrné částice v krabici

Velikost (nebo amplituda ) vlnové funkce v dané poloze souvisí s pravděpodobností nalezení částice tam pomocí ${displaystyle P (x, t) = | psi (x, t) | ^ {2}}$. Vlnová funkce proto musí zmizet všude za hranami krabice.^[1][4] Amplituda vlnové funkce také nemusí náhle „skákat“ z jednoho bodu do druhého.^[1] Tyto dvě podmínky jsou splněny pouze vlnovými funkcemi s formulářem

${displaystyle psi _ {n} (x, t) = {egin {cases} Asin left (k_ {n} left (x-x_ {c} + {frac {L} {2}} ight) ight) mathrm {e } ^ {- iomega _ {n} t} quad & x_ {c} - {frac {L} {2}}$

kde ^[5]

${displaystyle k_ {n} = {frac {npi} {L}}}$,

a

${displaystyle E_ {n} = hbar omega _ {n} = {frac {n ^ {2} pi ^ {2} hbar ^ {2}} {2mL ^ {2}}}}$,

kde n je kladné celé číslo (1,2,3,4 ...). Pro posunutou krabici (X_C = L / 2), řešení je obzvláště jednoduché. Nejjednodušší řešení, ${displaystyle k_ {n} = 0}$ nebo ${displaystyle A = 0}$ oba dávají triviální vlnovou funkci ${displaystyle psi (x) = 0}$, který popisuje částici, která neexistuje nikde v systému.^[6] Záporné hodnoty ${displaystyle n}$ jsou zanedbávány, protože dávají vlnové funkce shodné s kladnými ${displaystyle n}$ řešení s výjimkou fyzicky nedůležité změny znaménka.^[6] Zde je vidět pouze diskrétní soubor energetických hodnot a vlnových čísel k jsou povoleny pro částice. Obvykle se v kvantové mechanice také požaduje, aby derivace vlnové funkce kromě vlnové funkce samotné byla spojitá; zde by tato poptávka vedla k tomu, že jediným řešením bude funkce konstantní nuly, což není to, co si přejeme, takže se této poptávky vzdáme (protože tento systém s nekonečným potenciálem lze považovat za nefyzický abstraktní limitující případ, můžeme s ním zacházet jako a „ohýbat pravidla“). Všimněte si, že vzdání se tohoto požadavku znamená, že vlnová funkce není diferencovatelnou funkcí na hranici pole, a lze tedy říci, že vlnová funkce neřeší Schrödingerovu rovnici v hraničních bodech ${displaystyle x = 0}$ a ${displaystyle x = L}$ (ale řeší se všude jinde).

Nakonec neznámá konstanta ${displaystyle A}$ lze najít normalizace vlnové funkce takže celková hustota pravděpodobnosti nalezení částice v systému je 1. Z toho vyplývá

${displaystyle left | Aight | = {sqrt {frac {2} {L}}}.}$

Tím pádem, A může být jakékoli komplexní číslo s absolutní hodnota √2/L; tyto různé hodnoty A dát stejný fyzický stav, tak A = √2/L lze vybrat pro zjednodušení.

Očekává se, že vlastní číslatj. energie ${displaystyle E_ {n}}$ pole by mělo být stejné bez ohledu na jeho polohu v prostoru, ale ${displaystyle psi _ {n} (x, t)}$ Změny. Všimněte si toho ${displaystyle x_ {c} - {frac {L} {2}}}$ představuje fázový posun ve vlnové funkci, Tento fázový posun nemá žádný účinek při řešení Schrödingerovy rovnice, a proto neovlivňuje vlastní číslo.

Pokud nastavíme počátek souřadnic na levém okraji rámečku, můžeme prostorovou část vlnové funkce přepsat stručně jako:

${displaystyle psi _ {n} (x) = {egin {cases} {sqrt {frac {2} {L}}} sin (k_ {n} x) quad {} {ext {for}} n {ext {even }} {sqrt {frac {2} {L}}} cos (k_ {n} x) quad {} {ext {for}} n {ext {odd}} end {cases}}}$.

Funkce momentové vlny

Funkce hybnosti je úměrná Fourierova transformace funkce poziční vlny. S ${displaystyle k = p / hbar}$ (Všimněte si, že parametr k popis níže popsané funkce hybné vlny není úplně zvláštní k_n výše, spojené s vlastními hodnotami energie), je funkce hybné vlny dána vztahem

${displaystyle phi _ {n} (p, t) = {frac {1} {sqrt {2pi hbar}}} int _ {- infty} ^ {infty} psi _ {n} (x, t) e ^ {- ikx}, dx = {sqrt {frac {L} {pi hbar}}} vlevo ({frac {npi} {npi + kL}} ight), {extrm {sinc}} vlevo ({frac {1} {2} } (npi -kL) ight) e ^ {- ikx_ {c}} e ^ {i (n-1) {frac {pi} {2}}} e ^ {- iomega _ {n} t},}$

kde sinc je kardinální sinus funkce sinc, sinc (X) = hřích(x) / x. Pro středovou krabici (X_C= 0), řešení je skutečné a obzvláště jednoduché, protože fázový faktor vpravo klesá k jednotě. (Opatrně to lze napsat jako sudou funkci p.)

Je vidět, že spektrum hybnosti v tomto vlnovém paketu je spojité a lze usoudit, že pro energetický stav popsaný vlnovým číslem k_n, hybnost může, pokud je měřena, také dosáhnout jiné hodnoty mimo ${displaystyle p = pm hbar k_ {n}}$.

Proto se také zdá, že protože energie je ${displaystyle E_ {n} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n} ^ {2}} {2m}}}$ pro nvlastní stát, vztah ${displaystyle E = {frac {p ^ {2}} {2m}}}$ nedrží přesně pro měřenou hybnost p; vlastní stav energie ${displaystyle psi _ {n}}$ není hybným vlastním stavem a ve skutečnosti ani superpozicí dvou hybných vlastních stavů, jak by se dalo v pokušení představit si z rovnice (1) výše: kupodivu nemá před měřením žádný přesně definovaný impuls!

Rozložení pravděpodobnosti polohy a hybnosti

V klasické fyzice lze částice detekovat kdekoli v poli se stejnou pravděpodobností. V kvantové mechanice je však hustota pravděpodobnosti pro nalezení částice v dané poloze odvozena z vlnové funkce jako ${displaystyle P (x) = | psi (x) | ^ {2}.}$ U částice v krabici závisí hustota pravděpodobnosti pro nalezení částice v dané poloze na jejím stavu a je dána vztahem

${displaystyle P_ {n} (x, t) = {egin {cases} {frac {2} {L}} sin ^ {2} (k_ {n} (x-x_ {c} + {frac {L} { 2}})), & x_ {c} -L / 2$

Tedy pro jakoukoli hodnotu n větší než jedna, v rámci pole jsou oblasti, pro které ${displaystyle P (x) = 0}$, což naznačuje prostorové uzly existují částice, u kterých nelze částici najít.

V kvantové mechanice průměr nebo očekávaná hodnota polohy částice je dán vztahem

${displaystyle langle xangle = int _ {- infty} ^ {infty} xP_ {n} (x), mathrm {d} x.}$

U částice v ustáleném stavu v krabici lze ukázat, že průměrná poloha je vždy ${displaystyle langle xangle = x_ {c}}$, bez ohledu na stav částice. Pro superpozici stavů se očekávaná hodnota pozice změní na základě křížového období, které je úměrné ${displaystyle cos (omega t)}$.

Rozptyl v poloze je mírou nejistoty v poloze částice:

${displaystyle mathrm {Var} (x) = int _ {- infty} ^ {infty} (x-langle xangle) ^ {2} P_ {n} (x), dx = {frac {L ^ {2}} { 12}} vlevo (1- {frac {6} {n ^ {2} pi ^ {2}}} vpravo)}$

Hustota pravděpodobnosti pro nalezení částice s danou hybností je odvozena z vlnové funkce jako ${displaystyle P (x) = | phi (x) | ^ {2}}$. Stejně jako u polohy závisí hustota pravděpodobnosti pro nalezení částice v dané hybnosti na jejím stavu a je dána vztahem

${displaystyle P_ {n} (p) = {frac {L} {pi hbar}} vlevo ({frac {npi} {npi + kL}} ight) ^ {2}, {extrm {sinc}} ^ {2} left ({frac {1} {2}} (npi -kL) ight)}$

kde opět ${displaystyle k = p / hbar}$. Hodnota očekávání hybnosti se poté vypočítá jako nula a rozptyl hybnosti se vypočítá jako:

${displaystyle mathrm {Var} (p) = left ({frac {hbar npi} {L}} ight) ^ {2}}$

Nejistoty polohy a hybnosti (${displaystyle Delta x}$ a ${displaystyle Delta p}$) jsou definovány jako rovná druhé odmocnině jejich příslušných odchylek, takže:

${displaystyle Delta xDelta p = {frac {hbar} {2}} {sqrt {{frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {3}} - 2}}}$

Tento produkt se zvyšuje s přibývajícím n, která má minimální hodnotu pro n = 1. Hodnota tohoto produktu pro n = 1 je přibližně rovna 0,568 ${displaystyle hbar}$ který se řídí Heisenbergův princip nejistoty, který uvádí, že produkt bude větší nebo roven ${displaystyle hbar / 2}$

Další mírou nejistoty v poloze je informační entropie rozdělení pravděpodobnosti H_X:^[7]

${displaystyle H_ {x} = int _ {- infty} ^ {infty} P_ {n} (x) log (P_ {n} (x) x_ {0}), dx = log left ({frac {2L} { e, x_ {0}}} ight)}$

kde X₀ je libovolná referenční délka.

Další míra nejistoty hybnosti je informační entropie rozdělení pravděpodobnosti H_p:

${displaystyle H_ {p} (n) = int _ {- infty} ^ {infty} P_ {n} (p) log (P_ {n} (p) p_ {0}), dp}$

${displaystyle lim _ {n o infty} H_ {p} (n) = log left ({frac {4pi hbar, e ^ {2 (1-gamma)}} {L, p_ {0}}} ight)}$

kde γ je Eulerova konstanta. Kvantová mechanika princip entropické nejistoty uvádí, že pro ${displaystyle x_ {0}, p_ {0} = hbar}$

${displaystyle H_ {x} + H_ {p} (n) geq log (e, pi) cca 2,14473 ...}$ (nats )

Pro ${displaystyle x_ {0}, p_ {0} = hbar}$, součet výnosů polohy a hybnosti:

${displaystyle H_ {x} + H_ {p} (infty) = log (8pi, e ^ {1-2gamma}) cca 3,06974 ...}$ (nats )

který splňuje princip kvantové entropické nejistoty.

Úrovně energie

Energie částice v rámečku (černé kruhy) a volné částice (šedá čára) závisí na vlnovém čísle stejným způsobem. Částice v krabici však může mít pouze určité diskrétní energetické úrovně.

Energie, které odpovídají každému z povolených vlnových čísel, lze zapsat jako^[5]

${displaystyle E_ {n} = {frac {n ^ {2} hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}} = {frac {n ^ {2} h ^ {2}} { 8 ml ^ {2}}}}$.

Úrovně energie se zvyšují s ${displaystyle n ^ {2}}$, což znamená, že vysoké energetické hladiny jsou od sebe odděleny větším množstvím než nízké energetické hladiny. Nejnižší možná energie pro částici (její energie nulového bodu ) se nachází ve stavu 1, který je dán vztahem^[8]

${displaystyle E_ {1} = {frac {hbar ^ {2} pi ^ {2}} {2mL ^ {2}}}.}$

Částice proto má vždy pozitivní energii. To kontrastuje s klasickými systémy, kde částice může mít nulovou energii tím, že nehybně odpočívá. To lze vysvětlit pomocí princip nejistoty, který uvádí, že součin nejistot v poloze a hybnosti částice je omezen

${displaystyle Delta xDelta pgeq {frac {hbar} {2}}}$

Je možné ukázat, že nejistota v poloze částice je úměrná šířce pole.^[9] Nejistota hybnosti je tedy zhruba nepřímo úměrná šířce pole.^[8] Kinetická energie částice je dána vztahem ${displaystyle E = p ^ {2} / (2m)}$, a proto je minimální kinetická energie částice v krabici nepřímo úměrná hmotnosti a čtverci šířky jamky, v kvalitativní shodě s výše uvedeným výpočtem.^[8]

Boxy vyšších rozměrů

(Hyper) obdélníkové stěny

Vlnová funkce 2D jamky s n_X= 4 a n_y=4

Pokud je částice uvězněna v dvourozměrné schránce, může se volně pohybovat v ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$- směry, mezi závorami oddělenými délkami ${displaystyle L_ {x}}$ a ${displaystyle L_ {y}}$ resp. Pro středový rámeček může být funkce poziční vlny zapsána včetně délky rámečku jako ${displaystyle psi _ {n} (x, t, L)}$. Použitím podobného přístupu jako v jednorozměrné krabici lze ukázat, že vlnové funkce a energie pro středovou krabici jsou dány příslušně

${displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}} = psi _ {n_ {x}} (x, t, L_ {x}) psi _ {n_ {y}} (y, t, L_ {y })}$,

${displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n_ {x}, n_ {y}} ^ {2}} {2m}}}$,

kde dvourozměrný vlnovodič darováno

${displaystyle mathbf {k_ {n_ {x}, n_ {y}}} = k_ {n_ {x}} mathbf {hat {x}} + k_ {n_ {y}} mathbf {hat {y}} = {frac {n_ {x} pi} {L_ {x}}} mathbf {hat {x}} + {frac {n_ {y} pi} {L_ {y}}} mathbf {hat {y}}}$.

U trojrozměrného pole jsou řešení

${displaystyle psi _ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = psi _ {n_ {x}} (x, t, L_ {x}) psi _ {n_ {y}} (y, t, L_ {y}) psi _ {n_ {z}} (z, t, L_ {z})}$,

${displaystyle E_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} = {frac {hbar ^ {2} k_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} ^ {2}} {2m}}}$,

kde trojrozměrný vlnový vektor je dán vztahem:

${displaystyle mathbf {k_ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}} = k_ {n_ {x}} mathbf {hat {x}} + k_ {n_ {y}} mathbf {hat {y }} + k_ {n_ {z}} mathbf {hat {z}} = {frac {n_ {x} pi} {L_ {x}}} mathbf {hat {x}} + {frac {n_ {y} pi } {L_ {y}}} mathbf {hat {y}} + {frac {n_ {z} pi} {L_ {z}}} mathbf {hat {z}}}$.

Obecně platí, že pro n-dimenzionální pole jsou řešení

${displaystyle psi = prod _ {i} psi _ {n_ {i}} (x_ {i}, t, L_ {i})}$

Funkce n-rozměrné vlny hybnosti mohou být rovněž reprezentovány symbolem ${displaystyle phi _ {n} (x, t, L_ {x})}$ a funkce hybné vlny pro n-rozměrný středový box je pak:

${displaystyle phi = prod _ {i} phi _ {n_ {i}} (k_ {i}, t, L_ {i})}$

Zajímavou vlastností výše uvedených řešení je, že když jsou dvě nebo více délek stejné (např. ${displaystyle L_ {x} = L_ {y}}$), existuje několik vlnových funkcí odpovídajících stejné celkové energii. Například vlnová funkce s ${displaystyle n_ {x} = 2, n_ {y} = 1}$ má stejnou energii jako vlnová funkce ${displaystyle n_ {x} = 1, n_ {y} = 2}$. Této situaci se říká zvrhlost a pro případ, kdy přesně dvě degenerované vlnové funkce mají stejnou energii, o které se říká, že je energetická úroveň dvojnásobně zdegenerovaný. Degenerace je výsledkem symetrie v systému. Ve výše uvedeném případě jsou dvě délky stejné, takže systém je symetrický vzhledem k rotaci o 90 °.

Složitější tvary stěn

Vlnová funkce pro kvantově-mechanickou částici v krabici, jejíž stěny mají libovolný tvar, je dána vztahem Helmholtzova rovnice s výhradou okrajové podmínky, že vlnová funkce zmizí na stěnách. Tyto systémy jsou studovány v oboru kvantový chaos pro tvary stěn, jejichž odpovídající dynamické kulečníkové stoly jsou neintegrovatelné.

Aplikace

Kvůli své matematické jednoduchosti se částice v krabicovém modelu používá k nalezení přibližných řešení pro složitější fyzikální systémy, ve kterých je částice uvězněna v úzké oblasti nízké elektrický potenciál mezi dvěma překážkami s vysokým potenciálem. Tyto kvantová studna systémy jsou zvláště důležité v optoelektronika a používají se v zařízeních, jako je kvantový laser, kvantový infračervený fotodetektor a kvantově omezený Starkův efekt modulátor. Používá se také k modelování mřížky v Model Kronig-Penney a pro konečný kov s aproximací volného elektronu.

Konjugované polyeny

β-karoten je konjugovaný polyen

Konjugované polyenové systémy lze modelovat pomocí částice v krabici.^{[Citace je zapotřebí ]} Konjugovaný systém elektronů lze modelovat jako jednorozměrný box s délkou rovnající se celkové vzdálenosti vazby od jednoho konce polyenu k druhému. V tomto případě odpovídá každý pár elektronů v každé vazbě π jedné energetické úrovni. Energetický rozdíl mezi dvěma energetickými hladinami, n_F a n_i je:

${displaystyle Delta E = {frac {(n_ {f} ^ {2} -n_ {i} ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

Rozdíl mezi energií základního stavu, n, a prvním excitovaným stavem, n + 1, odpovídá energii potřebné k excitaci systému. Tato energie má specifickou vlnovou délku, a tedy barvu světla, vztaženou k:

${displaystyle lambda = {frac {hc} {Delta E}}}$

Běžným příkladem tohoto jevu je in β-karoten.^{[Citace je zapotřebí ]} β-karoten (C.₄₀H₅₆)^[10] je konjugovaný polyen s oranžovou barvou a molekulovou délkou přibližně 3,8 nm (i když jeho délka řetězce je pouze přibližně 2,4 nm).^[11] Vzhledem k vysoké hladině β-karotenu časování, elektrony jsou rozptýleny po celé délce molekuly, což umožňuje jednomu modelovat ji jako jednorozměrnou částici v krabici. β-karoten má 11 uhlík -uhlík dvojné vazby v konjugaci;^[10] každá z těchto dvojných vazeb obsahuje dva π-elektrony, proto má β-karoten 22 π-elektronů. Se dvěma elektrony na energetickou hladinu lze s β-karotenem zacházet jako s částicí v krabici na energetické úrovni n=11.^[11] Proto minimální energie potřebná k rozrušení elektron lze vypočítat další úroveň energie, n= 12, následovně^[11] (připomínáme, že hmotnost elektronu je 9,109 × 10⁻³¹ kg^[12]):

${displaystyle Delta E = {frac {(n_ {f} ^ {2} -n_ {i} ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

${displaystyle = {frac {(12 ^ {2} -11 ^ {2}) h ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

${displaystyle = 2,3658 obrázků 10 ^ {- 19} {ext {J}}}$

Využití předchozího vztahu vlnové délky k energii, připomínající oba Planckova konstanta h a rychlost světla C:

${displaystyle lambda = {frac {hc} {Delta E}}}$

${displaystyle = 0,00000084 {ext {m}} = 840 {ext {nm}}}$

To naznačuje, že β-karoten primárně absorbuje světlo v infračerveném spektru, proto by se lidskému oku zdálo bílé. Pozorovaná vlnová délka je však 450 nm,^[13] což naznačuje, že částice v krabici není dokonalým modelem pro tento systém.

Kvantový laser

Lze aplikovat na částice v krabicovém modelu kvantové lasery, což jsou laserové diody sestávající z jednoho polovodičového „studnového“ materiálu vloženého mezi dvě další polovodičové vrstvy z jiného materiálu. Protože vrstvy tohoto sendviče jsou velmi tenké (střední vrstva je obvykle tlustá asi 100 Å), kvantové omezení lze pozorovat účinky.^[14] Myšlenka, že kvantové efekty lze využít k vytvoření lepších laserových diod, vznikla v 70. letech. Kvantový laser byl patentován v roce 1976 R. Dingle a C. H. Henry.^[15]

Konkrétně chování kvantové jámy může být reprezentováno částicemi v modelu konečné jímky. Musí být vybrány dvě okrajové podmínky. První je, že vlnová funkce musí být spojitá. Druhá okrajová podmínka je často zvolena jako derivace vlnové funkce, která musí být spojitá napříč hranicí, ale v případě kvantové jamky jsou hmotnosti na obou stranách hranice odlišné. Místo toho je vybrána druhá okrajová podmínka, aby se zachoval tok částic jako${displaystyle (1 / m) dphi / dz}$, což odpovídá experimentu. Řešení částice konečné jamky v krabici musí být řešeno numericky, což má za následek vlnové funkce, které jsou sinusovými funkcemi uvnitř kvantové jamky a exponenciálně se rozpadající funkce v bariérách.^[16] Tato kvantizace energetických hladin elektronů umožňuje kvantovému jamkovému laseru emitovat světlo efektivněji než běžné polovodičové lasery.

Kvůli své malé velikosti kvantové tečky nevykazují hromadné vlastnosti specifikovaného polovodiče, ale spíše ukazují kvantované energetické stavy.^[17] Tento efekt je známý jako kvantové omezení a vedl k mnoha aplikacím kvantových teček, jako je kvantový laser.^[17]

Vědci z Princetonské univerzity nedávno vytvořili kvantový laser, který není větší než zrnko rýže.^[18] Laser je poháněn jediným elektronem, který prochází dvěma kvantovými tečkami; dvojitá kvantová tečka. Elektron se pohybuje ze stavu vyšší energie do stavu nižší energie, přičemž emituje fotony v mikrovlnné oblasti. Tyto fotony se odrážejí od zrcadel a vytvářejí paprsek světla; laser.^[18]

Kvantový laser je silně založen na interakci mezi světlem a elektrony. Tento vztah je klíčovou součástí kvantově mechanických teorií, které zahrnují De Broglieho vlnovou délku a částici v krabici. Dvojitá kvantová tečka umožňuje vědcům získat plnou kontrolu nad pohybem elektronu, což následně vede k produkci laserového paprsku.^[18]

Kvantové tečky

Kvantové tečky jsou extrémně malé polovodiče (na stupnici nanometrů).^[19] Zobrazují se kvantové omezení v tom, že elektrony nemohou uniknout z „tečky“, což umožňuje použití aproximací částice v krabici.^[20] Jejich chování lze popsat trojrozměrnými rovnicemi kvantizace energie částice v krabici.^[20]

The energetická mezera kvantové tečky je energetická mezera mezi ní valenční a vodivé pásma. Tato energetická mezera ${displaystyle Delta E (r)}$ se rovná pásové mezeře sypkého materiálu ${displaystyle E_ {ext {gap}}}$ plus energetická rovnice odvozená z částice v krabici, která dává energii pro elektrony a díry.^[20] To lze vidět na následující rovnici, kde ${displaystyle m_ {e} ^ {*}}$ a ${displaystyle m_ {h} ^ {*}}$ jsou efektivní hmotnosti elektronu a díry, ${displaystyle r}$ je poloměr tečky a ${displaystyle h}$ je Planckova konstanta:^[20]

${displaystyle Delta E (r) = E_ {ext {gap}} + vlevo ({frac {h ^ {2}} {8r ^ {2}}} vpravo) vlevo ({frac {1} {m_ {e} ^ {*}}} + {frac {1} {m_ {h} ^ {*}}} noc)}$

Proto je energetická mezera kvantové tečky nepřímo úměrná čtverci „délky pole“, tj. Poloměru kvantové tečky.^[20]

Manipulace s pásmovou mezerou umožňuje absorpci a emise specifických vlnových délek světla, protože energie je nepřímo úměrná vlnové délce.^[19] Čím menší je kvantová tečka, tím větší je mezera v pásmu, a tím tedy kratší absorbovaná vlnová délka.^[19][21]

K syntéze kvantových teček různých velikostí se používají různé polovodivé materiály, a proto emitují různé vlnové délky světla.^[21] Často se používají materiály, které normálně vyzařují světlo ve viditelné oblasti, a jejich velikosti jsou doladěny tak, aby vyzařovaly určité barvy.^[19] Typickými látkami používanými k syntéze kvantových teček jsou kadmium (Cd) a selen (Se).^[19][21] Například když elektrony dvou nanometrů CdSe kvantové tečky uvolněte se po excitaci, je emitováno modré světlo. Podobně je červené světlo vyzařováno ve čtyřech nanometrových kvantových tečkách CdSe.^[22][19]

Kvantové tečky mají řadu funkcí, mimo jiné fluorescenční barviva, tranzistory, LED diody, solární články a lékařské zobrazování pomocí optických sond.^[19][20]

Jednou z funkcí kvantových teček je jejich použití v mapování lymfatických uzlin, což je možné díky jejich jedinečné schopnosti vyzařovat světlo v blízké infračervené oblasti (NIR). Mapování lymfatických uzlin umožňuje chirurgům sledovat, zda a kde existují rakovinné buňky.^[23]

Kvantové tečky jsou pro tyto funkce užitečné díky jejich emisi jasnějšího světla, buzení širokým spektrem vlnových délek a vyšší odolnosti vůči světlu než u jiných látek.^[23][19]

Relativistické účinky

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (srpen 2013)

Hustota pravděpodobnosti v uzlech neklesne na nulu, pokud jsou relativistické efekty zohledněny pomocí Diracova rovnice.^[24]

Viz také

• Historie kvantové mechaniky
• Konečný potenciál dobře
• Funkční potenciál Delta
• Plyn v krabici
• Částice v kruhu
• Částice ve sféricky symetrickém potenciálu
• Kvantový harmonický oscilátor
• Polokruhový potenciál dobře
• Konfigurace integrální (statistická mechanika)
• Konfigurační integrál (statistická mechanika), 2008. tato wiki stránka nefunguje; vidět tento článek ve webovém archivu dne 28. dubna 2012.

Reference

Bibliografie

• Bransden, B. H .; Joachain, C. J. (2000). Kvantová mechanika (2. vyd.). Essex: Pearsonovo vzdělávání. ISBN  978-0-582-35691-7.
• Davies, John H. (2006). Fyzika nízkodimenzionálních polovodičů: Úvod (6. dotisk ed.). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-48491-6.
• Griffiths, David J. (2004). Úvod do kvantové mechaniky (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN  978-0-13-111892-8.

externí odkazy