Částice v kruhu - Particle in a ring

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Částice v kruhu“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v kvantová mechanika, případ a částice v jednorozměrném kruhu je podobný částice v krabici. The Schrödingerova rovnice pro volná částice který je omezen na prsten (technicky, jehož konfigurační prostor je kruh ${ displaystyle S ^ {1}}$) je

${ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi = E psi}$

Vlnová funkce

Animovaná vlnová funkce „koherentního“ stavu skládající se z vlastních stavů n = 1 an = 2.

Použitím polární souřadnice na jednorozměrném kruhu o poloměru R, vlnová funkce záleží jen na hranatý koordinovat a tak

${ displaystyle nabla ^ {2} = { frac {1} {R ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné theta ^ {2}}}}$

Vyžaduje, aby byla vlnová funkce periodicky v ${ displaystyle theta}$ s tečkou ${ displaystyle 2 pi}$ (z požadavku, aby byly vlnové funkce jednohodnotové funkce na kruh ), a že jsou normalizováno vede k podmínkám

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} vlevo | psi ( theta) vpravo | ^ {2} , d theta = 1 }$,

a

${ displaystyle psi ( theta) = psi ( theta +2 pi)}$

Za těchto podmínek je řešení Schrödingerovy rovnice dáno vztahem

${ displaystyle psi _ { pm} ( theta) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} , e ^ { pm i { frac {R} { hbar}} { sqrt {2mE}} theta}}$

Vlastní čísla energie

The energie vlastní čísla ${ displaystyle E}$ jsou kvantováno z důvodu periodického okrajové podmínky a jsou povinni uspokojit

${ displaystyle e ^ { pm i { frac {R} { hbar}} { sqrt {2mE}} theta} = e ^ { pm i { frac {R} { hbar}} { sqrt {2mE}} ( theta +2 pi)}}$nebo

${ displaystyle e ^ { pm i2 pi { frac {R} { hbar}} { sqrt {2mE}}} = 1 = e ^ {i2 pi n}}$

Vlastní funkce a vlastní energie jsou

${ displaystyle psi ( theta) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} , e ^ { pm v theta}}$

${ displaystyle E_ {n} = { frac {n ^ {2} hbar ^ {2}} {2mR ^ {2}}}}$ kde ${ displaystyle n = 0, pm 1, pm 2, pm 3, ldots}$

Proto existují dva zdegenerovaní kvantové stavy pro každou hodnotu ${ displaystyle n> 0}$ (souhlasí s ${ displaystyle e ^ { pm v theta}}$). Proto existují 2n+1 stavů s energiemi až do energie indexované číslem n.

Případ částice v jednorozměrném kruhu je poučným příkladem při studiu kvantování z moment hybnosti pro, řekněme, an elektron obíhající kolem jádro. The azimutální vlnové funkce jsou v tomto případě identické s energií vlastní funkce částice na prstenci.

Tvrzení, že jakoukoli vlnovou funkci částice na kruhu lze zapsat jako a superpozice z energie vlastní funkce je přesně totožný s Fourierova věta o vývoji jakéhokoli periodika funkce v Fourierova řada.

Tento jednoduchý model lze použít k nalezení přibližných energetických hladin některých kruhových molekul, jako je benzen.

aplikace

v organická chemie, aromatický sloučeniny obsahují atomové kruhy, jako například benzen prsteny ( Kekulé struktura) skládající se obvykle z pěti nebo šesti uhlík, atomy. Stejně tak povrch „buckyballs "(buckminsterfullerene). Tento prsten se chová jako kruh." vlnovod, s valenčními elektrony obíhajícími v obou směrech. Vyplnit všechny energetické úrovně až do n vyžaduje ${ displaystyle 2 krát (2n + 1) = 4n + 2}$ elektrony, protože elektrony mají navíc dvě možné orientace svých rotací. To poskytuje výjimečnou stabilitu („aromatickou“) a je známé jako Hückelova vláda.

Dále v rotační spektroskopii lze tento model použít jako aproximaci úrovní rotační energie.

Viz také

• Moment hybnosti
• Harmonická analýza
• Jednorozměrný periodický případ