Kritérium Sylvesters - Sylvesters criterion - Wikipedia

V matematice Sylvestrovo kritérium je nezbytné a dostatečné kritérium k určení, zda a Hermitova matice je pozitivní-definitivní. Je pojmenován po James Joseph Sylvester.

Kritérium Sylvester uvádí, že hermitovská matice M je kladně definitivní právě tehdy, pokud všechny následující matice mají kladnou hodnotu určující:

levý horní roh 1 na 1 M,
levý horní roh 2 na 2 M,
levý horní roh 3 x 3 M,
${ displaystyle {} quad vdots}$
M sám.

Jinými slovy, všechny přední hlavní nezletilí musí být pozitivní.

Pro charakterizaci platí analogická věta kladně semidefinitní Hermitovské matice, kromě toho, že již nestačí uvažovat pouze o vedoucí hlavní nezletilí: hermitovská matice M je kladně-semidefinitní právě tehdy, pokud všechny hlavní nezletilí z M jsou negativní.^[1]^[2]

Důkaz

Důkaz je pouze pro nesmyslné Hermitova matice s koeficienty v ${ displaystyle mathbb {R}}$ , tedy pouze pro nesmyslný skutečné symetrické matice.

Pozitivní definitivní nebo semidefinitní matice: Symetrická matice A jejichž vlastní čísla jsou kladná (λ > 0) je volána pozitivní určitý, a když jsou vlastní čísla pouze nezáporná (λ ≥ 0), A se říká, že je pozitivní semidefinit.

Věta I: Skutečně symetrická matice A má nezáporná vlastní čísla právě tehdy A lze započítat jako A = B^TBa všechna vlastní čísla jsou kladná, pokud a pouze pokud B je nesmyslná.^[3]

Důkaz:

Dopadové důsledky: Li A ∈ R^n×n je symetrický, tedy spektrální věta, existuje ortogonální matice P takhle A = PDP^T , kde D = diag (λ₁, λ₂, . . . , λ_n) je skutečná diagonální matice s položkami, která jsou vlastními hodnotami A a P je takový, že jeho sloupce jsou vlastní vektory A. Li λ_i ≥ 0 pro každého i, pak D^1/2 existuje, takže A = PDP^T = PD^1/2D^1/2P^T = B^TB pro B = D^1/2P^T, a λ_i > 0 pro každého i kdyby a jen kdyby B je nesmyslná.

Reverzní implikace:Naopak, pokud A lze započítat jako A = B^TB, pak všechna vlastní čísla A jsou nezáporné, protože pro jakýkoli vlastní pár (λ, X):

{ displaystyle lambda = { frac {x ^ {T} sekera} {x ^ {T} x}} = { frac {x ^ {T} B ^ {T} Bx} {x ^ {T} x }} = { frac { | Bx | ^ {2}} { | x | ^ {2}}} geq 0.}

Věta II (Choleský rozklad): Symetrická matice A má pozitivní otočné čepy právě tehdy A lze jednoznačně započítat jako A = R^TR, kde R je horní trojúhelníková matice s kladnými diagonálními vstupy. Toto je známé jako Choleský rozklad z A, a R se nazývá Choleský faktor A.^[4]

Důkaz:

Dopadové důsledky: Li A má pozitivní čepy (proto A má LU faktorizace: A = L·U'), pak má LDU faktorizace A = LDU = LDL^T ve kterém D = diag (u₁₁, u₂₂, . . . , u_nn) je diagonální matice obsahující čepy u_ii > 0.

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {A} & = LU '= { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 ell _ {12} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots ell _ {1n} & ell _ {2n} & cdots & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} u_ {11} & u_ {12} & cdots & u_ {1n} 0 & u_ {22} & cdots & u_ {2n} vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & u_ {nn} end {bmatrix}} [8pt] & = LDU = { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 ell _ {12} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots ell _ {1n} & ell _ {2n} & cdots & 1 end {bmatrix} } { begin {bmatrix} u_ {11} & 0 & cdots & 0 0 & u_ {22} & cdots & 0 vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & u_ {nn} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & u_ {12} / u_ {11} & cdots & u_ {1n} / u_ {11} 0 & 1 & cdots & u_ {2n} / u_ {22} vdots & vdots && vdots 0 a 0 & cdots & 1 end {bmatrix}} end {zarovnáno}}}

Vlastností jedinečnosti LDU rozklad, symetrie A výnosy: U = L^T, tudíž A = LDU = LDL^T. Nastavení R = D^1/2L^T kde D^1/2 = diag ( ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {u_ {11}}}, scriptstyle { sqrt {u_ {22}}}, ldots, scriptstyle { sqrt {u_ {11}}}}$ ) poskytuje požadovanou faktorizaci, protože A = LD^1/2D^1/2L^T = R^TR, a R je horní trojúhelníkový s kladnými diagonálními položkami.

Reverzní implikace: Naopak, pokud A = RR^T, kde R je nižší trojúhelníkový s kladnou úhlopříčkou, poté vyřazuje diagonální položky z R je následující:

{ displaystyle mathbf {R} = LD = { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 r_ {12} / r_ {11} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots r_ { 1n} / r_ {11} & r_ {2n} / r_ {22} & cdots & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} r_ {11} & 0 & cdots & 0 0 & r_ {22} & cdots & 0 vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & r_ {nn} end {bmatrix}}.}

R = LD, kde L je dolní trojúhelníková matice s jednotkovou úhlopříčkou a D je diagonální matice, jejíž diagonální vstupy jsou r_ii Je. Proto D má kladnou úhlopříčku, a tedy D není singulární. Proto D² je nesingulární diagonální matice. Taky, L^T je horní trojúhelníková matice s jednotkovou úhlopříčkou. Tudíž, A = LD²L^T je LDU faktorizace pro A, a proto musí být otočné čepy kladné, protože se jedná o diagonální vstupyD².

Jedinečnost Choleského rozkladu: Pokud máme další Choleský rozklad A = R₁R₁^T z A, kde R₁ je nižší trojúhelníkový s kladnou úhlopříčkou, potom podobný výše, který můžeme napsat R₁ = L₁D₁, kde L₁ je dolní trojúhelníková matice s jednotkovou úhlopříčkou a D₁ je diagonální matice, jejíž diagonální vstupy jsou stejné jako odpovídající diagonální vstupy z R₁. Tudíž, A = L₁D₁²L₁^T je LDU faktorizace pro A. Jedinečností LDU faktorizace A, my máme L₁ = L a D₁² = D². Jako oba D₁ a D jsou diagonální matice s kladnými diagonálními vstupy, máme D₁ = D. Proto R₁ = L₁D₁ = LD = R. Proto A má jedinečný Choleský rozklad.

Věta III: Nechat A_k být k × k hlavní hlavní submatice A_n×n. Li A má LU faktorizace A = LU, kde L je dolní trojúhelníková matice s jednotkovou úhlopříčkou, pak det (A_k) = u₁₁u₂₂ · · · u_kka k-tý pivot je u_kk = det (A₁) = A₁₁ pro k = 1, u_kk = det (A_k) / det (A_k−1) pro k = 2, 3, . . . , n, kde u_kk je (k, k) -tý záznam U pro všechny k = 1, 2, . . . , n.^[5]

Kombinování Věta II s Věta III výnosy:

Prohlášení I: Pokud je symetrická matice A lze započítat jako A = R^TR kde R je horní trojúhelníková matice s kladnými diagonálními vstupy, pak všechny otočné čepy A jsou pozitivní (od Věta II), tedy všichni přední hlavní nezletilí z A jsou pozitivní (od Věta III).

Prohlášení II: Pokud nesmyslný n × n symetrická matice A lze započítat jako ${ displaystyle A = B ^ {T} B}$ , pak QR rozklad (úzce souvisí s Gram-Schmidtův proces ) z B (B = QR) výnosy: ${ displaystyle A = B ^ {T} B = R ^ {T} Q ^ {T} QR = R ^ {T} R}$ , kde Q je ortogonální matice a R je horní trojúhelníková matice.

Tak jako A není singulární a ${ displaystyle A = R ^ {T} R}$ , z toho vyplývá, že všechny diagonální vstupy z R jsou nenulové. Nechat r_jj být (j, j) -tý záznam E pro všechny j = 1, 2, . . . , n. Pak r_jj ≠ 0 za všechny j = 1, 2, . . . , n.

Nechat F být diagonální matice, a nechť F_jj být (j, j) -tý záznam F pro všechny j = 1, 2, . . . , n. Pro všechny j = 1, 2, . . . , n, jsme si stanovili F_jj = 1 pokud r_jj > 0 a nastavíme F_jj = -1 pokud r_jj <0. Potom ${ displaystyle F ^ {T} F = I_ {n}}$ , n × n matice identity.

Nechat S=FR. Pak S je matice horního trojúhelníku se všemi diagonálními položkami kladnými. Proto máme ${ displaystyle A = R ^ {T} R = R ^ {T} F ^ {T} FR = S ^ {T} S}$ , pro nějakou horní trojúhelníkovou matici S přičemž všechny diagonální položky jsou kladné.

A to Prohlášení II vyžaduje nesingularitu symetrické matice A.

Kombinování Věta I s Prohlášení I a Prohlášení II výnosy:

Prohlášení III: Pokud je skutečná symetrická matice A je tedy kladně definitivní A mají faktorizaci formy A = B^TB, kde B je nonsingular (Věta I), výraz A = B^TB to naznačuje A mají faktorizaci formy A = R^TR kde R je horní trojúhelníková matice s kladnými diagonálními vstupy (Prohlášení II), tedy všichni přední hlavní nezletilí z A jsou pozitivní (Prohlášení I).

Jinými slovy, Prohlášení III dokazuje část "pouze pokud" Sylvestrovo kritérium pro nesingulární reálné symetrické matice.

Kritérium Sylvester: Skutečně symetrická matice A je kladné určité, právě když všichni přední hlavní nezletilí z A jsou pozitivní.

Poznámky

^ Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 7.6 Kladné určité matice, strana 566
^ Prussing, John E. (1986), „Hlavní menší test pro semidefinitní matice“ (PDF), Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 9 (1): 121–122, archivovány od originál (PDF) dne 01.01.2017, vyvoláno 2017-09-28
^ Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 7.6 Kladné určité matice, strana 558
^ Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 3.10 Faktorizace LU, Příklad 3.10.7, strana 154
^ Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 6.1 Determinanty, Cvičení 6.1.16, strana 474

Reference

Gilbert, George T. (1991), „Pozitivní určité matice a Sylvestrovo kritérium“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 98 (1): 44–46, doi:10.2307/2324036, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324036.
Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985), Maticová analýza, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6. Viz věta 7.2.5.
Carl D. Meyer, Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra, SIAM, ISBN 0-89871-454-0.

[ref1b-1] Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 7.6 Kladné určité matice, strana 566

[prussing-2] Prussing, John E. (1986), „Hlavní menší test pro semidefinitní matice“ (PDF), Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 9 (1): 121–122, archivovány od originál (PDF) dne 01.01.2017, vyvoláno 2017-09-28

[ref1-3] Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 7.6 Kladné určité matice, strana 558

[ref2-4] Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 3.10 Faktorizace LU, Příklad 3.10.7, strana 154

[ref3-5] Carl D. Meyer, maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Viz část 6.1 Determinanty, Cvičení 6.1.16, strana 474

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]