Očekávaná hodnota (kvantová mechanika) - Expectation value (quantum mechanics)
v kvantová mechanika, očekávaná hodnota je pravděpodobnostní očekávaná hodnota výsledku (měření) experimentu. Lze jej považovat za průměr všech možných výsledků měření vážený jejich pravděpodobností, a jako takový to není většina pravděpodobná hodnota měření; skutečně může mít očekávanou hodnotu nulová pravděpodobnost výskytu (např. měření, která mohou poskytnout pouze celočíselné hodnoty, mohou mít necelý průměr). Jedná se o základní koncept ve všech oblastech kvantová fyzika.
Operační definice
Zvažte operátor . Hodnota očekávání je tedy v Diracova notace s A normalizováno státní vektor.
Formalismus v kvantové mechanice
V kvantové teorii je experimentální uspořádání popsáno v pozorovatelný které mají být měřeny, a Stát systému. Očekávaná hodnota ve státě je označen jako .
Matematicky, je samoadjung operátor na a Hilbertův prostor. V nejčastěji používaném případě v kvantové mechanice je čistý stav, popsal normalizovaný[A] vektor v Hilbertově prostoru. Očekávaná hodnota ve státě je definován jako
(1) .
Li dynamika je považován buď vektor nebo operátor je považován za časově závislý, v závislosti na tom, zda Schrödingerův obrázek nebo Heisenbergův obrázek se používá. Vývoj hodnoty očekávání však nezávisí na této volbě.
Li má kompletní sadu vlastní vektory , s vlastní čísla , pak (1) lze vyjádřit jako
(2) .
Tento výraz je podobný aritmetický průměr, a ilustruje fyzický význam matematického formalismu: Vlastní čísla jsou možné výsledky experimentu,[b] a jejich odpovídající koeficient je pravděpodobnost, že k tomuto výsledku dojde; často se tomu říká pravděpodobnost přechodu.
Obzvláště jednoduchý případ nastane, když je projekce, a má tedy pouze vlastní čísla 0 a 1. To fyzicky odpovídá experimentu typu „ano-ne“. V tomto případě je očekávanou hodnotou pravděpodobnost, že výsledek experimentu bude „1“, a lze ji vypočítat jako
(3) .
V kvantové teorii se používají také operátoři s nediskrétním spektrem, například operátor polohy v kvantové mechanice. Tento operátor nemá vlastní čísla, ale má úplně spojité spektrum. V tomto případě vektor lze psát jako komplexní funkce na spektru (obvykle skutečná čára). Pro očekávanou hodnotu operátoru polohy má potom vzorec
(4) .
Podobný vzorec platí pro operátor hybnosti , v systémech, kde má spojité spektrum.
Všechny výše uvedené vzorce platí pro čisté stavy pouze. Prominentně v termodynamika a kvantová optika, taky smíšené státy jsou důležité; jsou popsány pozitivem stopová třída operátor , statistický operátor nebo matice hustoty. Očekávanou hodnotu pak lze získat jako
(5) .
Obecná formulace
Obecně platí, že kvantové stavy jsou popsány pozitivní normalizací lineární funkcionály na množině pozorovatelných, matematicky často považovaných za a C * algebra. Očekávaná hodnota pozorovatelné je pak dáno
(6) .
Pokud algebra pozorovatelných působí neredukovatelně na a Hilbertův prostor, a pokud je normální funkční, to znamená, že je kontinuální v ultra slabá topologie, pak to může být napsáno jako
s pozitivem stopová třída operátor stopy 1. Získá se vzorec (5) výše. V případě a čistý stav, je projekce na jednotkový vektor . Pak , který dává vzorec (1) výše.
se předpokládá, že je operátor s vlastním nastavením. Obecně jeho spektrum nebude ani zcela diskrétní, ani zcela spojité. Přesto lze psát v spektrální rozklad,
s mírou oceněnou projektorem . Pro očekávanou hodnotu v čistém stavu , to znamená
- ,
což lze považovat za společné zobecnění vzorců (2) a (4) výše.
V nerelativistických teoriích konečně mnoha částic (kvantová mechanika v pravém slova smyslu) jsou uvažované stavy obecně normální[je zapotřebí objasnění ]. V jiných oblastech kvantové teorie se však používají i nenormální stavy: objevují se například. ve formě Státy KMS v kvantová statistická mechanika nekonečně rozšířených médií,[1] a jako účtované státy v kvantová teorie pole.[2] V těchto případech je hodnota očekávání určena pouze obecnějším vzorcem (6).
Příklad v konfiguračním prostoru
Jako příklad zvažte kvantově mechanické částice v jedné prostorové dimenzi, v konfigurační prostor zastoupení. Tady je Hilbertův prostor , prostor funkcí integrovatelných do čtverce na skutečné linii. Vektory jsou reprezentovány funkcemi , volala vlnové funkce. Skalární součin je dán vztahem . Vlnové funkce mají přímou interpretaci jako rozdělení pravděpodobnosti:
udává pravděpodobnost nalezení částice v nekonečně dlouhém intervalu délky o nějakém bodě .
Jako pozorovatel zvažte operátora polohy , který působí na vlnové funkce podle
- .
Očekávaná hodnota nebo střední hodnota měření provedeno na velmi velkém počtu identické nezávislé systémy budou dány
- .
Očekávaná hodnota existuje pouze v případě, že integrál konverguje, což neplatí pro všechny vektory . Je to proto, že operátor polohy je neomezený, a musí být vybrán z jeho doména definice.
Obecně lze očekávání jakéhokoli pozorovatelného vypočítat nahrazením s příslušným provozovatelem. Například pro výpočet průměrné hybnosti se používá operátor hybnosti v konfigurační prostor, . Výslovně je jeho očekávaná hodnota
- .
Ne všichni operátoři obecně poskytují měřitelnou hodnotu. Operátor, který má čistou skutečnou hodnotu očekávání, se nazývá an pozorovatelný a jeho hodnotu lze přímo měřit v experimentu.
Viz také
Poznámky
Reference
- ^ Bratteli, Ola; Robinson, Derek W (1987). Operátorovy algebry a kvantová statistická mechanika 1. Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2. vydání.
- ^ Haag, Rudolf (1996). Místní kvantová fyzika. Springer. str. Kapitola IV. ISBN 3-540-61451-6.
Další čtení
Očekávaná hodnota, zejména jak je uvedeno v části „Formalismus v kvantové mechanice „, je obsažen ve většině základních učebnic kvantové mechaniky.
K diskusi o koncepčních aspektech viz:
- Isham, Chris J (1995). Přednášky o kvantové teorii: Matematické a strukturní základy. Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.