Konjugujte proměnné - Conjugate variables

Konjugujte proměnné jsou páry proměnných matematicky definované tak, aby se staly Fourierova transformace duální,^[1][2] nebo obecněji souvisí prostřednictvím Dualita Pontryagin. Vztahy duality přirozeně vedou ke vztahu nejistoty - v fyzika volal Heisenbergův princip nejistoty -mezi nimi. Z matematického hlediska jsou konjugované proměnné součástí symplektické báze a vztah nejistoty odpovídá symlektická forma. Konjugované proměnné také souvisí s Noetherova věta, který uvádí, že pokud jsou zákony fyziky neměnné s ohledem na změnu jedné z konjugovaných proměnných, pak se druhá konjugovaná proměnná s časem nezmění (tj. bude zachována).

Příklady

Existuje mnoho typů konjugovaných proměnných, v závislosti na typu práce, kterou určitý systém dělá (nebo je podroben). Mezi příklady kanonicky konjugovaných proměnných patří následující:

• Období a frekvence: čím déle je nota udržována, tím přesněji známe její frekvenci, ale má delší trvání a je tedy více distribuovanou událostí nebo „okamžitým“ v čase. Naopak velmi krátká nota se stává pouhým kliknutím, a tak je časově lokalizovanější, ale nelze přesně určit její frekvenci.^[3]
• Doppler a rozsah: čím více víme o tom, jak daleko je a radar cíl je, tím méně můžeme vědět o přesné rychlosti přiblížení nebo ústupu a naopak. V tomto případě je dvourozměrná funkce doppleru a rozsahu známa jako a funkce radarové nejednoznačnosti nebo radarový nejednoznačný diagram.
• Povrchová energie: y dA (y = povrchové napětí; A = povrchová plocha).
• Elastické protahování: F dL (F = elastická síla; L délka natažená).

Deriváty akce

V klasické fyzice jsou deriváty akce jsou konjugované proměnné k veličině, s ohledem na kterou se diferencuje. V kvantové mechanice jsou tyto stejné páry proměnných spojeny Heisenbergem princip nejistoty.

• The energie určité částice událost je zápor derivátu akce podél trajektorie této částice končící v daném případě vzhledem k čas akce.
• The lineární hybnost částice je derivát jejího působení s ohledem na její pozice.
• The moment hybnosti částice je derivát jejího působení s ohledem na její orientace (úhlová poloha).
• The hromadný okamžik (${ displaystyle mathbf {N} = t mathbf {p} -E mathbf {r}}$) částice je zápor derivátu její činnosti s ohledem na její rychlost.
• The elektrický potenciál (φ, Napětí ) při události je zápor derivátu působení elektromagnetického pole s ohledem na hustotu (volného) elektrický náboj v té události.^{[Citace je zapotřebí ]}
• The magnetický potenciál (A) v případě je derivace působení elektromagnetického pole s ohledem na hustotu (volného) elektrický proud v té události.^{[Citace je zapotřebí ]}
• The elektrické pole (E) v případě je derivace působení elektromagnetického pole vzhledem k elektrický hustota polarizace v té události.^{[Citace je zapotřebí ]}
• The magnetická indukce (B) v případě je derivace působení elektromagnetického pole vzhledem k magnetizace v té události.^{[Citace je zapotřebí ]}
• Newtonian gravitační potenciál v případě je zápor derivátu působení newtonovského gravitačního pole vzhledem k hustota hmoty v té události.^{[Citace je zapotřebí ]}

Kvantová teorie

v kvantová mechanika, konjugované proměnné jsou realizovány jako dvojice pozorovatelných, jejichž operátoři nedojíždějí. V konvenční terminologii se o nich říká, že jsou nekompatibilní pozorovatelné. Vezměme si jako příklad měřitelné veličiny dané polohou ${ displaystyle left (x right)}$ a hybnost ${ displaystyle left (p right)}$. V kvantově mechanickém formalismu jsou dva pozorovatelní ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle p}$ odpovídají operátorům ${ displaystyle { widehat {x}}}$ a ${ displaystyle { widehat {p}}}$, které nutně uspokojují kanonický komutační vztah:

${ displaystyle [{ widehat {x}}, { widehat {p ,}}] = { widehat {x}} { widehat {p ,}} - { widehat {p ,}} { widehat {x}} = i hbar}$

Pro každý nenulový komutátor dvou operátorů existuje „princip neurčitosti“, který může být v našem současném příkladu vyjádřen ve formě:

${ displaystyle Delta x , Delta p geq hbar / 2}$

V této špatně definované notaci ${ displaystyle Delta x}$ a ${ displaystyle Delta p}$ označit "nejistotu" v současné specifikaci ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle p}$. Přesnější a statisticky úplnější prohlášení zahrnující směrodatnou odchylku ${ displaystyle sigma}$ zní:

${ displaystyle sigma _ {x} sigma _ {p} geq hbar / 2}$

Obecněji pro jakékoli dva pozorovatelné ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ odpovídající operátorům ${ displaystyle { widehat {A}}}$ a ${ displaystyle { widehat {B}}}$, je obecný princip nejistoty dán:

${ displaystyle { sigma _ {A}} ^ {2} { sigma _ {B}} ^ {2} geq left ({ frac {1} {2i}} left langle left [{ widehat {A}}, { widehat {B}} right] right rangle right) ^ {2}}$

Nyní předpokládejme, že jsme měli explicitně definovat dva konkrétní operátory, přiřadit každý a charakteristický matematická forma, takže dvojice splňuje výše uvedený komutační vztah. Je důležité si uvědomit, že náš konkrétní „výběr“ operátorů by pouze odrážel jedno z mnoha ekvivalentních nebo izomorfních reprezentací obecné algebraické struktury, která zásadně charakterizuje kvantovou mechaniku. Zevšeobecnění formálně poskytuje Heisenbergova algebra ${ displaystyle { mathfrak {h}} _ {3}}$, s odpovídající skupinou zvanou Heisenbergova skupina ${ displaystyle H_ {3}}$.

Mechanika tekutin

v Hamiltonovská mechanika tekutin a kvantová hydrodynamika, akce sám (nebo rychlostní potenciál ) je konjugovaná proměnná z hustota (nebo hustota pravděpodobnosti ).

Viz také

• Kanonické souřadnice

Poznámky