Entropická nejistota - Entropic uncertainty
v kvantová mechanika, teorie informace, a Fourierova analýza, entropická nejistota nebo Hirschmanova nejistota je definován jako součet časových a spektrálních Shannon entropuje. Ukázalo se, že Heisenberg princip nejistoty lze vyjádřit jako dolní mez na součtu těchto entropií. Tohle je silnější než obvyklé vyjádření principu nejistoty, pokud jde o součin směrodatných odchylek.
V roce 1957[1] Hirschman považována za funkci F a jeho Fourierova transformace G takhle
kde "≈" označuje konvergenci v L2a normalizováno tak, aby (do Plancherelův teorém ),
Ukázal, že pro všechny takové funkce je součet Shannonových entropií nezáporný,
Pevněji svázaný,
byl domněnkou Hirschman[1] a Everett,[2] v roce 1975 prokázáno W. Beckner[3] a ve stejném roce interpretován jako zobecněný princip kvantové mechanické nejistoty pomocí Białynicki-Birula a Mycielski.[4]Rovnost platí v případě Gaussovy distribuce.[5]Hirschman-Everettova entropie je vstřikována do logaritmická Schrödingerova rovnice Uvědomte si však, že výše uvedená funkce entropické nejistoty je zřetelně odlišný z kvanta Von Neumannova entropie zastoupena v fázový prostor.
Náčrt důkazu
Důkaz této těsné nerovnosti závisí na tzv (q, p)-norma Fourierovy transformace. (Stanovení této normy je nejtěžší částí důkazu.)
Z této normy je možné stanovit dolní mez na součtu (rozdílu) Rényi entropuje, Hα(| f | ²) + Hβ(| g | ²), kde 1 / α + 1 / β = 2, které zobecňují Shannonovy entropie. Pro jednoduchost považujeme tuto nerovnost pouze v jedné dimenzi; rozšíření do více dimenzí je přímé a lze jej nalézt v citované literatuře.
Nerovnost Babenko – Beckner
The (q, p)-norma Fourierovy transformace je definována jako[6]
- kde a
V roce 1961 Babenko[7] našel tuto normu pro dokonce celočíselné hodnoty q. A konečně, v roce 1975, pomocí Hermitovské funkce jako vlastní funkce Fourierovy transformace, Beckner[3] dokázal, že hodnota této normy (v jedné dimenzi) pro všechny q ≥ 2 je
Tak máme Nerovnost Babenko – Beckner že
Rényi entropie vázána
Z této nerovnosti je vyjádření principu nejistoty ve smyslu Rényiho entropie lze odvodit.[6][8]
Pronájem , 2α=pa 2β=q, aby 1 / α + 1 / β = 2 a 1/2 <α<1<β, my máme
Vyrovnáme obě strany a vezmeme logaritmus, dostaneme
Vynásobením obou stran
obrací smysl nerovnosti,
Přeskupením podmínek se nakonec získá nerovnost, pokud jde o součet Rényiho entropií,
Všimněte si, že tato nerovnost je symetrická vzhledem k α a β: Jeden už to nemusí předpokládat α <β; jen že jsou pozitivní a ne oba jeden, a to 1 / α + 1 / β = 2. Chcete-li vidět tuto symetrii, jednoduše vyměňte role i a -i ve Fourierově transformaci.
Shannonova entropie vázána
Vezmeme-li limit této poslední nerovnosti jako α, β → 1 získá méně obecnou Shannonovu entropickou nerovnost,
platí pro jakoukoli základnu logaritmu, pokud zvolíme vhodnou jednotku informací, bit, nat, atd.
Konstanta bude jiná, pro jinou normalizaci Fourierovy transformace (jaká se obvykle používá ve fyzice, s normalizacemi zvolenými tak, aby ħ= 1), tj.,
V tomto případě dilatace absolutní Fourierovy transformace na druhou o faktor 2π jednoduše přidá log (2π) na jeho entropii.
Hranice entropie versus rozptyl
Gaussian nebo normální rozdělení pravděpodobnosti hraje důležitou roli ve vztahu mezi rozptyl a entropie: je to problém variační počet ukázat, že toto rozdělení maximalizuje entropii pro danou odchylku a současně minimalizuje rozptyl pro danou entropii. Ve skutečnosti pro jakoukoli funkci hustoty pravděpodobnosti na skutečné linii určuje Shannonova entropická nerovnost:
kde H je Shannonova entropie a PROTI je rozptyl, nerovnost, která je nasycena pouze v případě a normální distribuce.
Kromě toho je Fourierova transformace Gaussovy pravděpodobnostní amplitudové funkce také Gaussova - a absolutní čtverce obou z nich jsou také Gaussovy. To pak může být použito k odvození obvyklé Robertsonovy odchylky nejistoty odchylky od výše uvedené entropické nerovnosti, což umožňuje druhý je těsnější než první. To je (pro ħ= 1), umocnění Hirschmanovy nerovnosti a použití Shannonova výrazu výše,
Hirschman[1] vysvětlil, že entropie - jeho verze entropie byla záporem Shannonovy - je „mírou koncentrace [rozdělení pravděpodobnosti] v souboru malé míry.“ Tím pádem nízká nebo velká záporná Shannonova entropie znamená, že značná hmotnost rozdělení pravděpodobnosti je omezena na soubor malé míry.
Všimněte si, že tato sada malé míry nemusí být souvislá; rozdělení pravděpodobnosti může mít několik koncentrací hmoty v intervalech malé míry a entropie může být stále nízká bez ohledu na to, jak jsou tyto intervaly rozptýleny. Toto není případ rozptylu: rozptyl měří koncentraci hmoty kolem průměru distribuce a nízký rozptyl znamená, že značná hmotnost rozdělení pravděpodobnosti je koncentrována v souvislý interval malé míry.
Abychom formalizovali tento rozdíl, říkáme, že dvě funkce hustoty pravděpodobnosti a jsou měřitelný -li
kde μ je Lebesgueovo opatření. Jakékoli dvě stejně měřitelné funkce hustoty pravděpodobnosti mají stejnou Shannonovu entropii a ve skutečnosti stejnou Rényiho entropii libovolného řádu. Totéž však neplatí pro rozptyl. Jakákoli funkce hustoty pravděpodobnosti má radiálně se snižující měřitelné „přeskupení“, jehož odchylka je menší (až do překladu) než jakékoli jiné přeskupení funkce; a existují přesmyky libovolně vysoké variance (všechny mají stejnou entropii).
Viz také
- Nerovnosti v teorii informací
- Logaritmická Schrödingerova rovnice
- Princip nejistoty
- Rieszova – Thorinova věta
- Fourierova transformace
Reference
- ^ A b C Hirschman, I. I., Jr. (1957), „Note on entropy“, American Journal of Mathematics, 79 (1): 152–156, doi:10.2307/2372390, JSTOR 2372390.
- ^ Hugh Everett, III. Mnohosvětová interpretace kvantové mechaniky: teorie univerzální vlnové funkce. Everettova disertační práce
- ^ A b Beckner, W. (1975), „Nerovnosti ve Fourierově analýze“, Annals of Mathematics, 102 (6): 159–182, doi:10.2307/1970980, JSTOR 1970980, PMC 432369, PMID 16592223.
- ^ Bialynicki-Birula, I .; Mycielski, J. (1975), „Vztahy nejistoty pro informační entropii ve vlnové mechanice“, Komunikace v matematické fyzice, 44 (2): 129, Bibcode:1975CMaPh..44..129B, doi:10.1007 / BF01608825, S2CID 122277352
- ^ Ozaydin, Murad; Przebinda, Tomasz (2004). „Princip nejistoty založený na entropii pro lokálně kompaktní abelianskou skupinu“ (PDF). Journal of Functional Analysis. Elsevier Inc. 215 (1): 241–252. doi:10.1016 / j.jfa.2003.11.008. Citováno 2011-06-23.
- ^ A b Bialynicki-Birula, I. (2006). "Formulace vztahů nejistoty z hlediska Rényiho entropií". Fyzický přehled A. 74 (5): 052101. arXiv:quant-ph / 0608116. Bibcode:2006PhRvA..74e2101B. doi:10.1103 / PhysRevA.74.052101. S2CID 19123961.
- ^ K.I. Babenko. Nerovnost v teorii Fourierových integrálů. Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. 25 (1961), str. 531–542 anglický překlad, Amer. Matematika. Soc. Transl. (2) 44, str. 115-128
- ^ H.P. Heinig a M. Smith, Rozšíření nerovnosti Heisenberg – Weil. Internat. J. Math. & Matematika. Sci., Sv. 9, č. 1 (1986), str. 185–192. [1]
Další čtení
- Jizba, P .; Smět.; Hayes, A .; Dunningham, J.A. (2016). "Jednoparametrická třída vztahů nejistoty založená na entropické síle". Phys. Rev. 93 (6): 060104 (R). doi: 10,1103 / PhysRevE.93.060104.
- Zozor, S .; Vignat, C. (2007). „Na třídách negaussovských asymptotických minimalizátorů v principech entropické nejistoty“. Physica A: Statistická mechanika a její aplikace. 375 (2): 499. arXiv:matematika / 0605510. Bibcode:2007PhyA..375..499Z. doi:10.1016 / j.physa.2006.09.019. S2CID 119718352. arXiv: math / 0605510v1
- Maassen, H .; Uffink, J. (1988). „Zobecněné vztahy entropické nejistoty“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 60 (12): 1103–1106. Bibcode:1988PhRvL..60.1103M. doi:10.1103 / PhysRevLett.60.1103. PMID 10037942.
- Ballester, M .; Wehner, S. (2007). „Entropické vztahy nejistoty a zamykání: pevné hranice pro vzájemně nezaujaté základy“. Fyzický přehled A. 75 (2): 022319. arXiv:quant-ph / 0606244. Bibcode:2007PhRvA..75b2319B. doi:10.1103 / PhysRevA.75.022319. S2CID 119470256.
- Ghirardi, G .; Marinatto, L .; Romano, R. (2003). "Optimální vztah entropické nejistoty v dvourozměrném Hilbertově prostoru". Fyzikální písmena A. 317 (1–2): 32–36. arXiv:quant-ph / 0310120. Bibcode:2003PhLA..317 ... 32G. doi:10.1016 / j.physleta.2003.08.029. S2CID 9267554.
- Salcedo, L. L. (1998). Msgstr "Minimální nejistota pro antisymetrické vlnové funkce". Dopisy z matematické fyziky. 43 (3): 233–248. arXiv:quant-ph / 9706015. Bibcode:1997quant.ph..6015S. doi:10.1023 / A: 1007464229188. S2CID 18118758.