Vlnková transformace - Wavelet transform

Příklad 2D diskrétní vlnková transformace který se používá v JPEG2000.

v matematika, a vlnková řada je reprezentace a čtvercově integrovatelný (nemovitý - nebo komplex -hodnota) funkce jistým ortonormální série generované a vlnka. Tento článek poskytuje formální, matematickou definici ortonormální vlnka a integrální waveletová transformace.^[1]^[2]^[3]^[4]

Definice

Funkce ${ displaystyle psi , v , L ^ {2} ( mathbb {R})}$ se nazývá ortonormální vlnka pokud lze použít k definování a Hilbertův základ, to je a kompletní ortonormální systém, pro Hilbertův prostor ${ displaystyle L ^ {2} left ( mathbb {R} right)}$ z čtvercový integrovatelný funkce.

Hilbertův základ je konstruován jako rodina funkcí ${ displaystyle { psi _ {jk}: , j, , k , v , mathbb {Z} }}$ pomocí dyadický překlady a dilatace z ${ displaystyle psi ,}$ ,

{ displaystyle psi _ {jk} (x) = 2 ^ { frac {j} {2}} psi vlevo (2 ^ {j} x-k vpravo) ,}

pro celá čísla ${ displaystyle j, , k , v , mathbb {Z}}$ .

Pokud podle standardu vnitřní produkt na ${ displaystyle L ^ {2} left ( mathbb {R} right)}$ ,

{ displaystyle langle f, g rangle = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { overline {g (x)}} dx}

tato rodina je ortonormální, je to ortonormální systém:

{ displaystyle { begin {aligned} langle psi _ {jk}, psi _ {lm} rangle & = int _ {- infty} ^ { infty} psi _ {jk} (x) { overline { psi _ {lm} (x)}} dx & = delta _ {jl} delta _ {km} end {zarovnáno}}}

kde ${ displaystyle delta _ {jl} ,}$ je Kroneckerova delta.

Úplnost je splněna, pokud každá funkce ${ displaystyle f , in , L ^ {2} left ( mathbb {R} right)}$ lze rozšířit v základu jako

{ displaystyle f (x) = součet _ {j, k = - infty} ^ { infty} c_ {jk} psi _ {jk} (x)}

s konvergencí řady chápána jako konvergence v normě. Taková reprezentace F je znám jako vlnková řada. To znamená, že ortonormální vlnka je self-dual.

The integrální waveletová transformace je integrální transformace definováno jako

{ displaystyle left [W _ { psi} f right] (a, b) = { frac {1} { sqrt {| a |}}} int _ {- infty} ^ { infty} { overline { psi left ({ frac {xb} {a}} right)}} f (x) dx ,}

The vlnkové koeficienty ${ displaystyle c_ {jk}}$ jsou pak dány

{ displaystyle c_ {jk} = doleva [W _ { psi} f doprava] doleva (2 ^ {- j}, k2 ^ {- j} doprava)}

Tady, ${ displaystyle a = 2 ^ {- j}}$ se nazývá binární dilatace nebo dyadická dilatace, a ${ displaystyle b = k2 ^ {- j}}$ je binární nebo dyadická poloha.

Zásada

Základní myšlenkou vlnkových transformací je, že transformace by měla umožňovat pouze změny v časovém prodloužení, ale ne tvar. To je ovlivněno výběrem vhodných základních funkcí, které to umožňují.^{[jak? ]} Očekává se, že změny v časovém prodloužení odpovídají odpovídající frekvenci analýzy základní funkce. Založeno na princip nejistoty zpracování signálu,

{ displaystyle Delta t Delta omega geq { frac {1} {2}}}

kde ${ displaystyle t}$ představuje čas a ${ displaystyle omega}$ úhlová frekvence ( ${ displaystyle omega = 2 pi f}$ , kde ${ displaystyle f}$ je časová frekvence).

Čím vyšší je požadované rozlišení v čase, tím nižší musí být rozlišení ve frekvenci. Čím větší je rozšíření analýzy Okna je vybrána, tím větší je hodnota ${ displaystyle Delta t}$ ^{[jak? ]}.

Když ${ displaystyle Delta t}$ je velký,

Špatné časové rozlišení
Dobré frekvenční rozlišení
Nízká frekvence, velký měřítko

Když ${ displaystyle Delta t}$ je malý

Dobré časové rozlišení
Špatné rozlišení frekvence
Vysoká frekvence, malý faktor škálování

Jinými slovy, základní funkce ${ displaystyle psi}$ lze považovat za impulzní odezvu systému, s nímž funkce funguje ${ displaystyle x (t)}$ byl filtrován. Transformovaný signál poskytuje informace o čase a frekvenci. Transformace vlnky tedy obsahuje informace podobné krátkodobá Fourierova transformace, ale s dalšími speciálními vlastnostmi vlnek, které se zobrazují v rozlišení v čase při vyšších frekvencích analýzy základní funkce. Rozdíl v časovém rozlišení při vzestupných frekvencích pro Fourierova transformace a vlnková transformace je uvedena níže. Všimněte si však, že rozlišení frekvence klesá s rostoucí frekvencí, zatímco se zvyšuje časové rozlišení. Tento důsledek Princip Fourierovy nejistoty se na obrázku nezobrazuje správně.

To ukazuje, že vlnková transformace je dobrá v časovém rozlišení vysokých frekvencí, zatímco pro pomalu se měnící funkce je frekvenční rozlišení pozoruhodné.

Další příklad: Analýza tří superponovaných sinusových signálů ${ Displaystyle y (t) ; = ; sin (2 pi f_ {0} t) ; + ; sin (4 pi f_ {0} t) ; + ; sin (8 pi f_ {0} t)}$ s STFT a waveletovou transformací.

Vlnková komprese

Vlnková komprese je forma komprese dat vhodný pro komprese obrazu (někdy také komprese videa a audio komprese ). Pozoruhodné implementace jsou JPEG 2000, DjVu a ECW pro statické obrázky, CineForm a BBC Dirac. Cílem je uložit obrazová data na co nejmenším prostoru v a soubor. Vlnková komprese může být buď bezztrátový nebo ztrátový.^[5] Waveletové kódování je variantou diskrétní kosinová transformace (DCT) kódování, které používá vlnky místo blokového algoritmu DCT.^[6]

Pomocí vlnkové transformace jsou metody komprimace vlnky adekvátní pro reprezentaci přechodné, jako jsou zvuky perkusí ve zvuku nebo vysokofrekvenční komponenty ve dvourozměrných obrazech, například obraz hvězd na noční obloze. To znamená, že přechodné prvky datového signálu mohou být zastoupeny menším množstvím informací, než by tomu bylo v případě jiné transformace, například rozšířenější diskrétní kosinová transformace, byly použity.

Diskrétní vlnková transformace byla úspěšně použita pro kompresi signálů elektrokardiografu (EKG)^[7] V této práci je využívána vysoká korelace mezi odpovídajícími vlnkovými koeficienty signálů po sobě jdoucích srdečních cyklů s využitím lineární predikce.

Vlnková komprese není dobrá pro všechny druhy dat: přechodové charakteristiky signálu znamenají dobrou vlnovou kompresi, zatímco plynulé periodické signály jsou lépe komprimovány jinými metodami, zejména tradiční harmonickou kompresí (frekvenční doména, jako Fourierovy transformace a související).

Vidět Deník vývojáře x264: Problémy s wavelety (2010) k diskusi o praktických problémech současných metod využívajících vlnky pro kompresi videa.

Metoda

Nejprve se použije vlnková transformace. To produkuje tolik koeficienty jak jsou pixelů v obrázku (tj. zatím neexistuje žádná komprese, protože se jedná pouze o transformaci). Tyto koeficienty lze pak snadněji komprimovat, protože informace jsou statisticky soustředěny do několika koeficientů. Tento princip se nazývá transformovat kódování. Poté, co koeficienty jsou kvantováno a kvantované hodnoty jsou entropie kódovaná a / nebo délka běhu kódována.

Několik 1D a 2D aplikací vlnkové komprese používá techniku zvanou „vlnkové stopy“.^[8]^[9]

Srovnání s Fourierovou transformací a časově-frekvenční analýzou

Přeměnit	Zastoupení	Vstup
Fourierova transformace	${ displaystyle { hat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- 2 pi ix xi} , dx}$	${ displaystyle xi}$ frekvence
Časově-frekvenční analýza	${ displaystyle X (t, f)}$	${ displaystyle t}$ čas; ${ displaystyle f}$ frekvence
Vlnková transformace	${ displaystyle X (a, b) = { frac {1} { sqrt {a}}} int _ {- infty} ^ { infty} { overline { Psi left ({ frac { tb} {a}} doprava)}} x (t) , dt}$	${ displaystyle a}$ škálování; ${ displaystyle b}$ faktor časového posunu

Vlnky mají oproti Fourierovým transformacím určité nepatrné výhody při snižování výpočtů při zkoumání konkrétních frekvencí. Jsou však zřídka citlivější a skutečně běžné Morletova vlnka je matematicky totožný s a krátkodobá Fourierova transformace pomocí funkce Gaussova okna.^[10] Výjimkou je vyhledávání signálů známého nesinusového tvaru (např. Srdeční rytmus); v takovém případě může použití spárovaných vlnek překonat standardní analýzy STFT / Morlet.^[11]

Další praktické aplikace

Vlnková transformace nám může poskytnout frekvenci signálů a čas spojený s těmito frekvencemi, což je velmi výhodné pro její použití v mnoha polích. Například zpracování signálu zrychlení pro analýzu chůze,^[12] pro detekci poruchy,^[13] pro design kardiostimulátorů s nízkou spotřebou a také pro bezdrátovou komunikaci v ultraširokopásmovém připojení (UWB).^[14]^[15]^[16]

Diskretizace ${ displaystyle c- tau}$ osa
Použila následující diskretizaci frekvence a času:
${ displaystyle { begin {sladěno} c_ {n} & = c_ {0} ^ {n} tau _ {m} & = m cdot T cdot c_ {0} ^ {n} end { zarovnaný}}}$
Vedoucí k vlnkám tvaru, diskrétní vzorec pro základní vlnku:
${ displaystyle Psi (k, n, m) = { frac {1} { sqrt {c_ {0} ^ {n}}}} cdot Psi left [{ frac {k-mc_ {0 } ^ {n}} {c_ {0} ^ {n}}} T right] = { frac {1} { sqrt {c_ {0} ^ {n}}}} cdot Psi left [ left ({ frac {k} {c_ {0} ^ {n}}} - m right) T right]}$
Takové diskrétní vlnky lze použít pro transformaci:
${ displaystyle Y_ {DW} (n, m) = { frac {1} { sqrt {c_ {0} ^ {n}}}} cdot sum _ {k = 0} ^ {K-1} y (k) cdot Psi left [ left ({ frac {k} {c_ {0} ^ {n}}} - m right) T right]}$
Implementace pomocí FFT (rychlá Fourierova transformace)
Jak je patrné z reprezentace transformace vlnky (zobrazeno níže)
${ displaystyle Y_ {W} (c, tau) = { frac {1} { sqrt {c}}} cdot int _ {- infty} ^ { infty} y (t) cdot Psi left ({ frac {t- tau} {c}} right) , dt}$
kde ${ displaystyle c}$ je měřítko, ${ displaystyle tau}$ představuje faktor časového posunu
a jak již bylo v této souvislosti zmíněno, transformace vlnky odpovídá konvoluci funkce ${ displaystyle y (t)}$ a funkce wavelet. Konvoluce může být implementována jako násobení ve frekvenční doméně. Díky tomu vyústí následující přístup implementace do:
- Fourierova transformace signálu ${ displaystyle y (k)}$ s FFT
- Výběr diskrétního měřítka ${ displaystyle c_ {n}}$
- Změna měřítka vlnové funkce na základě tohoto faktoru ${ displaystyle c_ {n}}$ a následné FFT této funkce
- Násobení transformovaným signálem YFFT prvního kroku
- Výsledkem je inverzní transformace produktu do časové oblasti ${ displaystyle Y_ {W} (c, tau)}$ pro různé diskrétní hodnoty ${ displaystyle tau}$ a diskrétní hodnota ${ displaystyle c_ {n}}$
- Zpět do druhého kroku, dokud nebudou všechny diskrétní hodnoty měřítka pro ${ displaystyle c_ {n}}$ jsou zpracovány
Existuje mnoho různých typů vlnkových transformací pro specifické účely. Viz také celý seznam transformací souvisejících s vlnkami ale běžné jsou uvedeny níže: Mexická vlnka, Haar Wavelet, Vlnovka Daubechies, trojúhelníková vlnka.

Viz také

Kontinuální vlnková transformace
Diskrétní vlnková transformace
Složitá vlnková transformace
Konstanta-Q transformace
Stacionární vlnková transformace
Duální vlnka
Multirezoluční analýza
MrSID, obrazový formát vyvinutý z původního výzkumu komprese waveletů na Národní laboratoř Los Alamos (LANL)
ECW, založené na vlnkách geoprostorové obrazový formát navržený pro rychlost a efektivitu zpracování
JPEG 2000, založené na vlnkách komprese obrazu Standard
DjVu formát používá pro kompresi obrazu algoritmus IW44 založený na vlnkách
stupnice, typ spektrogram generovány pomocí waveletů místo a krátkodobá Fourierova transformace
Wavelet
Haarova vlnka
Vlnovka Daubechies
Binomický QMF (také známý jako Vlnovka Daubechies )
Morletova vlnka
Gaborova vlnka
Chirpletova transformace
Časově-frekvenční reprezentace
S transformace
Nastavit dělení v hierarchických stromech
Krátkodobá Fourierova transformace

Reference

^ Meyer, Yves (1992), Wavelets and Operators, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8
^ Chui, Charles K. (1992), An Introduction to Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8
^ Daubechies, Ingrid. (1992), Ten Lectures on Wavelets, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2
^ Akansu, Ali N .; Haddad, Richard A. (1992), Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6
^ JPEG 2000 například může použít 5/3 wavelet pro bezztrátovou (reverzibilní) transformaci a 9/7 wavelet pro ztrátovou (nevratnou) transformaci.
^ Hoffman, Roy (2012). Komprese dat v digitálních systémech. Springer Science & Business Media. str. 124. ISBN 9781461560319. V zásadě je kódování waveletů variantou transformačního kódování založeného na DCT, které omezuje nebo eliminuje některá jeho omezení. (...) Další výhodou je, že namísto práce s bloky 8 × 8 pixelů, stejně jako JPEG a další techniky založené na blocích DCT, může kódování waveletů současně komprimovat celý obraz.
^ A. G. Ramakrishnan a S. Saha, "EKG kódování pomocí vlnkové lineární predikce," IEEE Trans. Biomed. Eng., Sv. 44, č. 12, str. 1253-1261, 1977.
^ N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman a V. V. Dinesh Chander. „Nový a nový algoritmus komprese obrazu pomocí vlnkových stop“
^ Ho Tatt Wei a Jeoti, V. „Schéma komprese signálů EKG založené na vlnkových stopách“. Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). Msgstr "Schéma komprese signálů EKG na základě vlnových stop". 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. A. str. 283. doi:10.1109 / TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122.
^ Bruns, Andreas (2004). „Fourierova, Hilbertova a analýza signálu založená na vlnkách: jsou to opravdu odlišné přístupy?“. Journal of Neuroscience Methods. 137 (2): 321–332. doi:10.1016 / j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077. S2CID 21880274.
^ Krantz, Steven G. (1999). Panorama harmonické analýzy. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-031-1.
^ Martin, E. (2011). "Nová metoda pro odhad délky kroku s akcelerometry sítě oblasti těla". 2011 IEEE Top Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems. str. 79–82. doi:10.1109 / BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047.
^ Liu, Jie (2012). "Shannonova analýza vlnového spektra na zkrácených vibračních signálech pro detekci počátečních poruch stroje". Věda a technika měření. 23 (5): 1–11. Bibcode:2012MeScT..23e5604L. doi:10.1088/0957-0233/23/5/055604.
^ Akansu, A. N .; Serdijn, W. A .; Selesnick, I. W. (2010). „Rozvíjející se aplikace vlnek: recenze“ (PDF). Fyzická komunikace. 3: 1–18. doi:10.1016 / j.phycom.2009.07.001.
^ Sheybani, E .; Javidi, G. (prosinec 2009). "Snížení rozměrů a odstranění šumu v datových sadách bezdrátových senzorů". Druhá mezinárodní konference o počítači a elektrotechnice v roce 2009. 2: 674–677. doi:10.1109 / ICCEE.2009.282. ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179.
^ Sheybani, E.O .; Javidi, G. (květen 2012). "Banky filtrů s více rozlišeními pro vylepšené zobrazování SAR". 2012 Mezinárodní konference o systémech a informatice (ICSAI2012): 2702–2706. doi:10.1109 / ICSAI.2012.6223611. ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915.

externí odkazy

Amara Graps (červen 1995). „Úvod do vlnky“. IEEE Computational Science & Engineering.
Robi Polikar (2001-01-12). „Výukový program pro wavelety“.
Stručný úvod do vlnky René Puschinger

[1] Meyer, Yves (1992), Wavelets and Operators, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-42000-8

[2] Chui, Charles K. (1992), An Introduction to Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8

[3] Daubechies, Ingrid. (1992), Ten Lectures on Wavelets, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2

[4] Akansu, Ali N .; Haddad, Richard A. (1992), Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands, and Wavelets, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6

[5] JPEG 2000 například může použít 5/3 wavelet pro bezztrátovou (reverzibilní) transformaci a 9/7 wavelet pro ztrátovou (nevratnou) transformaci.

[Hoffman-6] Hoffman, Roy (2012). Komprese dat v digitálních systémech. Springer Science & Business Media. str. 124. ISBN 9781461560319. V zásadě je kódování waveletů variantou transformačního kódování založeného na DCT, které omezuje nebo eliminuje některá jeho omezení. (...) Další výhodou je, že namísto práce s bloky 8 × 8 pixelů, stejně jako JPEG a další techniky založené na blocích DCT, může kódování waveletů současně komprimovat celý obraz.

[7] A. G. Ramakrishnan a S. Saha, "EKG kódování pomocí vlnkové lineární predikce," IEEE Trans. Biomed. Eng., Sv. 44, č. 12, str. 1253-1261, 1977.

[8] N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman a V. V. Dinesh Chander. „Nový a nový algoritmus komprese obrazu pomocí vlnkových stop“

[9] Ho Tatt Wei a Jeoti, V. „Schéma komprese signálů EKG založené na vlnkových stopách“. Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). Msgstr "Schéma komprese signálů EKG na základě vlnových stop". 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. A. str. 283. doi:10.1109 / TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID 43806122.

[10] Bruns, Andreas (2004). „Fourierova, Hilbertova a analýza signálu založená na vlnkách: jsou to opravdu odlišné přístupy?“. Journal of Neuroscience Methods. 137 (2): 321–332. doi:10.1016 / j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077. S2CID 21880274.

[11] Krantz, Steven G. (1999). Panorama harmonické analýzy. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-031-1.

[12] Martin, E. (2011). "Nová metoda pro odhad délky kroku s akcelerometry sítě oblasti těla". 2011 IEEE Top Conference on Biomedical Wireless Technologies, Networks, and Sensing Systems. str. 79–82. doi:10.1109 / BIOWIRELESS.2011.5724356. ISBN 978-1-4244-8316-7. S2CID 37689047.

[13] Liu, Jie (2012). "Shannonova analýza vlnového spektra na zkrácených vibračních signálech pro detekci počátečních poruch stroje". Věda a technika měření. 23 (5): 1–11. Bibcode:2012MeScT..23e5604L. doi:10.1088/0957-0233/23/5/055604.

[14] Akansu, A. N .; Serdijn, W. A .; Selesnick, I. W. (2010). „Rozvíjející se aplikace vlnek: recenze“ (PDF). Fyzická komunikace. 3: 1–18. doi:10.1016 / j.phycom.2009.07.001.

[15] Sheybani, E .; Javidi, G. (prosinec 2009). "Snížení rozměrů a odstranění šumu v datových sadách bezdrátových senzorů". Druhá mezinárodní konference o počítači a elektrotechnice v roce 2009. 2: 674–677. doi:10.1109 / ICCEE.2009.282. ISBN 978-1-4244-5365-8. S2CID 17066179.

[16] Sheybani, E.O .; Javidi, G. (květen 2012). "Banky filtrů s více rozlišeními pro vylepšené zobrazování SAR". 2012 Mezinárodní konference o systémech a informatice (ICSAI2012): 2702–2706. doi:10.1109 / ICSAI.2012.6223611. ISBN 978-1-4673-0199-2. S2CID 16302915.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]