Omezení pásma - Bandlimiting

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek nebo část mohou být psány stylem, který je příliš abstraktní být snadno srozumitelný pro obecné publikum. Prosím zlepšit definováním technické terminologie a přidáním příkladů. (Červen 2015) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Bandlimiting"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Ledna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Ledna 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Spektrum a pásmo omezeno základní pásmo signál jako funkce frekvence

Omezení pásma je omezení signálu frekvenční doména zastoupení nebo spektrální hustota na nulu nad určitou konečnou frekvence.

A signál omezený na pásmo je ten, jehož Fourierova transformace nebo spektrální hustota je ohraničená Podpěra, podpora.

Signál s omezeným pásmem může být náhodný (stochastický ) nebo nenáhodný (deterministický ).

Obecně platí, že nekonečně mnoho termínů je vyžadováno Fourierova řada reprezentace signálu, ale pokud lze z tohoto signálu vypočítat konečný počet členů Fourierovy řady, považuje se tento signál za pásmo omezený.

Vzorkování signálů bez omezení pásma

Signál s omezeným pásmem lze ze svých vzorků plně rekonstruovat, pokud vzorkovací frekvence překračuje dvojnásobek maximální frekvence v signálu s omezeným pásmem. Tato minimální vzorkovací frekvence se nazývá Nyquistova sazba. Tento výsledek se obvykle připisuje Nyquist a Shannon, je známý jako Nyquist – Shannonova věta o vzorkování.

Příkladem jednoduchého deterministického signálu s omezeným pásmem je a sinusoida formuláře ${ displaystyle x (t) = sin (2 pi ft + theta) }$. Pokud je tento signál vzorkován rychlostí ${ displaystyle f_ {s} = { frac {1} {T}}> 2f}$ abychom měli vzorky ${ displaystyle x (nT) }$, pro všechna celá čísla ${ displaystyle n}$, můžeme se vzchopit ${ displaystyle x (t) }$ úplně z těchto vzorků. Podobně jsou součty sinusoidů s různými frekvencemi a fázemi také omezeny na nejvyšší z jejich frekvencí.

Signál, jehož Fourierova transformace je zobrazena na obrázku, je také pásmově omezen. Předpokládat ${ displaystyle x (t) }$ je signál, jehož Fourierova transformace je ${ displaystyle X (f) }$, jehož velikost je znázorněna na obrázku. Složka s nejvyšší frekvencí v ${ displaystyle x (t) }$ je ${ displaystyle B }$. Výsledkem je Nyquistova sazba

${ displaystyle R_ {N} = 2B ,}$

nebo dvojnásobek složky s nejvyšší frekvencí v signálu, jak je znázorněno na obrázku. Podle věty o výběru je možné rekonstruovat ${ displaystyle x (t) }$ úplně a přesně pomocí vzorků

${ displaystyle x [n] { stackrel { mathrm {def}} {=}} x (nT) = x left ({n over f_ {s}} right)}$ pro všechna celá čísla ${ displaystyle n ,}$ a ${ displaystyle T { stackrel { mathrm {def}} {=}} {1 nad f_ {s}}}$

tak dlouho jak

${ displaystyle f_ {s}> R_ {N} ,}$

Rekonstrukci signálu z jeho vzorků lze provést pomocí Whittaker-Shannonův interpolační vzorec.

Omezeno pásmem a časově omezeno

^{[je třeba další vysvětlení ]}

Nelze také omezit časově omezený signál. Přesněji řečeno, funkce a její Fourierova transformace nemohou mít obě konečné Podpěra, podpora pokud není identicky nula. Tuto skutečnost lze prokázat pomocí komplexní analýzy a vlastností Fourierovy transformace.

Důkaz: Předpokládejme, že existuje signál f (t), který má konečnou podporu v obou doménách a není identicky nulový. Pojďme to ochutnat rychleji než Nyquistova frekvence a vypočítat příslušné Fourierova transformace ${ displaystyle FT (f) = F_ {1} (w)}$ a diskrétní Fourierova transformace ${ displaystyle DTFT (f) = F_ {2} (w)}$. Podle vlastností DTFT, ${ displaystyle F_ {2} (w) = součet _ {n = - infty} ^ {+ infty} F_ {1} (w + nf_ {x})}$, kde ${ displaystyle f_ {x}}$ je frekvence použitá pro diskretizaci. Pokud je f omezeno pásmem, ${ displaystyle F_ {1}}$ je nula mimo určitý interval, takže s dostatečně velkým ${ displaystyle f_ {x}}$, ${ displaystyle F_ {2}}$ bude také nula v některých intervalech, protože individuální podporuje z ${ displaystyle F_ {1}}$ v součtu ${ displaystyle F_ {2}}$ nebude se překrývat. Podle definice DTFT, ${ displaystyle F_ {2}}$ je součet trigonometrických funkcí, a protože f (t) je časově omezené, bude tento součet konečný, takže ${ displaystyle F_ {2}}$ bude ve skutečnosti trigonometrický polynom. Všechny trigonometrické polynomy jsou holomorfní na celé složité rovině, a ve složité analýze existuje jednoduchá věta, která to říká všechny nuly nekonstantní holomorfní funkce jsou izolovány. To ale odporuje našemu dřívějšímu zjištění ${ displaystyle F_ {2}}$ má intervaly plné nul, protože body v takových intervalech nejsou izolované. Jediným signálem omezeným časem a šířkou pásma je tedy konstantní nula.

Jedním důležitým důsledkem tohoto výsledku je, že je nemožné vygenerovat skutečně pásmový signál v jakékoli situaci v reálném světě, protože signál s omezeným pásmem by vyžadoval nekonečný čas k přenosu. Všechny signály ze skutečného světa jsou nutně časově omezený, což znamená, že oni nemůže být omezen pásmem. Koncept signálu s omezeným pásmem je nicméně užitečnou idealizací pro teoretické a analytické účely. Dále je možné aproximovat pásmově omezený signál na libovolnou požadovanou úroveň přesnosti.

Podobný vztah mezi dobou trvání a šířka pásma ve frekvenci také tvoří matematický základ pro princip nejistoty v kvantová mechanika. V tomto nastavení je "šířka" funkcí časové domény a frekvenční domény hodnocena pomocí a rozptyl -jako opatření. Kvantitativně princip neurčitosti ukládá následující podmínku pro jakýkoli skutečný tvar vlny:

${ displaystyle W_ {B} T_ {D} geq 1}$

kde

${ displaystyle W_ {B}}$ je (vhodně zvolená) míra šířky pásma (v hertzích) a

${ displaystyle T_ {D}}$ je (vhodně zvolená) míra trvání času (v sekundách).

v časově-frekvenční analýza, tyto limity jsou známé jako Gaborův limit, a jsou interpretovány jako limit na simultánní lze dosáhnout časově-frekvenčního rozlišení.

Reference

• William McC. Siebert (1986). Obvody, signály a systémy. Cambridge, MA: MIT Press.