Moyal produkt - Moyal product

v matematika, Moyal produkt (po José Enrique Moyal; také volal hvězdný produkt nebo Produkt Weyl – Groenewold, po Hermann Weyl a Hilbrand J. Groenewold ) je možná nejznámějším příkladem a hvězdný produkt ve fázovém prostoru. Je to asociativní, nekomutativní produkt, ★, na funkcích na ℝ²ⁿ, vybavené jeho Poissonova závorka (se zevšeobecněním na symplektická potrubí, popsané níže). Jedná se o speciální případ ★ -produktu „algebry symbolů“ a univerzální obalová algebra.

Historické komentáře

Produkt Moyal je pojmenován po José Enrique Moyal, ale někdy se mu také říká Weyl –Groenewold produkt, jak jej představil H. J. Groenewold ve své doktorské disertační práci z roku 1946, a to s oceněním^[1] z Weylova korespondence. Moyal ve skutečnosti ve svém slavném článku o produktu nevěděl^[2] a rozhodně mu to chybělo v jeho legendární korespondenci s Diracem, jak dokládá jeho životopis.^[3] Zdá se, že populární pojmenování po Moyalovi se objevilo až v 70. letech na počest jeho bytu kvantizace fázového prostoru obrázek.^[4]

Definice

Produkt pro plynulé funkce F a G na ℝ²ⁿ má formu

${ displaystyle f star g = fg + sum _ {n = 1} ^ { infty} hbar ^ {n} C_ {n} (f, g),}$

kde každý C_n je určitá bioperátor diferenciálu řádu n charakterizované následujícími vlastnostmi (explicitní vzorec viz níže):

1. ${ displaystyle f star g = fg + { mathcal {O}} ( hbar)}$

   Deformace bodového produktu - implicitní ve výše uvedeném vzorci.

2. ${ displaystyle f star gg star f = i hbar {f, g } + { mathcal {O}} ( hbar ^ {3}) equiv i hbar { {f, g } }}$

   Deformace Poissonovy závorky, tzv Věrný držák.

3. ${ displaystyle f hvězda 1 = 1 hvězda f = f}$

   1 nedeformované algebry je také identitou v nové algebře.

4. ${ displaystyle { overline {f star g}} = { overline {g}} star { overline {f}}}$

   Komplexní konjugát je antilineární antiautomorfismus.

Všimněte si, že pokud si přejete převzít funkce oceněné v reálná čísla, pak alternativní verze vylučuje ${ displaystyle i}$ ve stavu 2 a vylučuje stav 4.

Pokud se omezíme na polynomické funkce, je výše uvedená algebra isomorfní s Weylova algebra A_na oba nabízejí alternativní realizace Weyl mapa prostoru polynomů v n proměnné (nebo symetrická algebra vektorového prostoru dimenze 2n).

Chcete-li poskytnout explicitní vzorec, zvažte konstantu Poissonův bivektor Π dne ℝ²ⁿ:

${ displaystyle Pi = součet _ {i, j} Pi ^ {ij} částečný _ {i} klín částečný _ {j},}$

kde Π^ij je komplexní číslo pro každého i, j.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Hvězdný produkt dvou funkcí ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ pak lze definovat jako

${ displaystyle f star g = fg + { frac {i hbar} {2}} součet _ {i, j} Pi ^ {ij} ( částečný _ {i} f) ( částečný _ {j } g) - { frac { hbar ^ {2}} {8}} sum _ {i, j, k, m} Pi ^ {ij} Pi ^ {km} ( částečné _ {i} částečné _ {k} f) ( částečné _ {j} částečné _ {m} g) + ldots,}$

kde ħ je snížená Planckova konstanta, zde považováno za formální parametr. Toto je zvláštní případ toho, co je známé jako Berezin vzorec^[5] na algebře symbolů a může mít uzavřený tvar^[6] (což vyplývá z Baker – Campbell – Hausdorffův vzorec ). Uzavřenou formu lze získat pomocí exponenciální:

${ displaystyle f star g = m circ e ^ {{ frac {i hbar} {2}} Pi} (f otimes g),}$

kde ${ displaystyle m}$ je mapa násobení, ${ displaystyle m (a otimes b) = ab}$, a exponenciál je považován za mocninnou řadu:

${ displaystyle e ^ {A}: = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n!}} A ^ {n}.}$

To znamená vzorec pro ${ displaystyle C_ {n}}$ je

${ displaystyle C_ {n} = { frac {i ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} m circ Pi ^ {n}.}$

Jak již bylo uvedeno, člověk často eliminuje všechny výskyty ${ displaystyle i}$ výše a vzorce se potom přirozeně omezují na reálná čísla.

Všimněte si, že pokud funkce F a G jsou polynomy, výše uvedené nekonečné součty se stávají konečnými (redukují se na běžný případ Weyl-algebry).

Vztah produktu Moyal k zobecněnému produktu ★ použitému v definici „algebry symbolů“ univerzální obalová algebra vyplývá ze skutečnosti, že Weylova algebra je univerzální obalová algebra Heisenbergova algebra (modulo, že střed se rovná jednotce).

Na potrubích

Na libovolném symplektickém potrubí je možné, alespoň lokálně, zvolit souřadnice, aby se vytvořila symplektická struktura konstantnítím, že Darbouxova věta; a pomocí přidruženého Poissonova bivektoru lze uvažovat o výše uvedeném vzorci. Aby to fungovalo globálně, jako funkce na celém potrubí (a nejen na lokálním vzorci) je třeba vybavit symplektický potrubí symlektikem bez zkroucení spojení. Díky tomu je Fedosov potrubí.

Obecnější výsledky pro libovolné Poissonovy rozdělovače (kde Darbouxova věta neplatí) jsou dány Kontsevichův kvantizační vzorec.

Příklady

Jednoduchý explicitní příklad konstrukce a užitečnosti ★-produkt (pro nejjednodušší případ dvojrozměrného euklidea fázový prostor ) je uveden v článku o Wigner – Weylova transformace: dva Gaussové to skládají ★-produkt podle hyperbolického tangenta zákona:^[7]

${ displaystyle exp left [-a left (x ^ {2} + p ^ {2} right) right] star exp left [-b left (x ^ {2} + p ^ {2} right) right] = { frac {1} {1+ hbar ^ {2} ab}} exp left [- { frac {a + b} {1+ hbar ^ {2 } ab}} vlevo (x ^ {2} + p ^ {2} vpravo) vpravo].}$

(Všimněte si klasického limitu, ħ → 0.)

Každý recept na korespondenci mezi fázovým prostorem a Hilbertovým prostorem však indukuje jeho vlastní správně ★-produkt.^[8][9]

Podobné výsledky jsou patrné z Segal – Bargmannův prostor a v theta zastoupení z Skupina Heisenberg, kde operátory vytváření a zničení ${ displaystyle a ^ {*} = z}$ a ${ displaystyle a = částečné / částečné z}$ se rozumí, že působí na komplexní rovinu (respektive horní polorovina pro skupinu Heisenberg), takže operátory polohy a hybnosti jsou dány vztahem ${ displaystyle x = (a + a ^ {*}) / 2}$ a ${ displaystyle p = (a-a ^ {*}) / (2i)}$. Tato situace se jasně liší od případu, kdy se pozice berou tak, aby měly skutečnou hodnotu, ale nabízí pohledy na celkovou algebraickou strukturu Heisenbergovy algebry a její obálky, Weylovy algebry.

Reference