Časově závislé vektorové pole - Time dependent vector field

v matematika, a časově závislé vektorové pole je stavba v vektorový počet který zobecňuje pojem vektorová pole. Lze jej považovat za vektorové pole, které se pohybuje v průběhu času. Pro každý okamžik přidruží a vektor do každého bodu v Euklidovský prostor nebo v potrubí.

Definice

A časově závislé vektorové pole na potrubí M je mapa z otevřené podmnožiny ${displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} je M}$ na ${displaystyle TM}$

${displaystyle X: Omega subset mathbb {R} imes Mlongrightarrow TM}$

${displaystyle (t, x) longmapsto X (t, x) = X_ {t} (x) v T_ {x} M}$

tak, že pro každého ${displaystyle (t, x) v Omeze}$, ${displaystyle X_ {t} (x)}$ je prvek ${displaystyle T_ {x} M}$.

Pro každého ${displaystyle tin mathbb {R}}$ takové, že soubor

${displaystyle Omega _ {t} = {xin M | (t, x) v Omega} podmnožina M}$

je neprázdný, ${displaystyle X_ {t}}$ je vektorové pole v obvyklém smyslu definované na otevřené množině ${displaystyle Omega _ {t} podmnožina M}$.

Přidružená diferenciální rovnice

Vzhledem k časově závislému vektorovému poli X na potrubí M, můžeme k ní přidružit následující diferenciální rovnice:

${displaystyle {frac {dx} {dt}} = X (t, x)}$

který se nazývá neautonomní podle definice.

Integrální křivka

An integrální křivka výše uvedené rovnice (nazývané také integrální křivka o X) je mapa

${displaystyle alpha: Isubset mathbb {R} longrightarrow M}$

takhle ${displaystyle forall t_ {0} in I}$, ${displaystyle (t_ {0}, alpha (t_ {0}))}$ je prvkem doména definice z X a

${displaystyle {frac {dalpha} {dt}} vlevo. {!! {frac {} {}}} vpravo | _ {t = t_ {0}} = X (t_ {0}, alfa (t_ {0}) )}$.

Ekvivalence s časově nezávislými vektorovými poli

Časově nezávislé vektorové pole ${displaystyle X}$ na ${displaystyle M}$ lze považovat za vektorové pole ${displaystyle {ilde {X}}}$ na ${displaystyle mathbb {R} imes M,}$ kde ${displaystyle {ilde {X}} (t, p) in T _ {(t, p)} (mathbb {R} imes M)}$ nezávisí na ${displaystyle t.}$

Naopak spojené s časově závislým vektorovým polem ${displaystyle X}$ na ${displaystyle M}$ je časově nezávislý ${displaystyle {ilde {X}}}$

${displaystyle mathbb {R} imes Mi (t, p) mapsto {dfrac {částečný} {částečný t}} {Biggl |} _ {t} + X (p) v T _ {(t, p)} (mathbb {R } je M)}$

na ${displaystyle mathbb {R} imes M.}$ V souřadnicích,

${displaystyle {ilde {X}} (t, x) = (1, X (t, x)).}$

Systém autonomních diferenciálních rovnic pro ${displaystyle {ilde {X}}}$ je ekvivalentní s neautonomními ${displaystyle X,}$ a ${displaystyle x_ {t} leftrightarrow (t, x_ {t})}$ je bijekce mezi množinami integrálních křivek ${displaystyle X}$ a ${displaystyle {ilde {X}},}$ resp.

Tok

The tok časově závislého vektorového pole X, je jedinečná rozlišitelná mapa

${displaystyle F: D (X) podmnožina mathbb {R} je Omega longrightarrow M}$

tak, že pro každého ${displaystyle (t_ {0}, x) v Omega}$,

${displaystyle tlongrightarrow F (t, t_ {0}, x)}$

je integrální křivka ${displaystyle alpha}$ z X to uspokojuje ${displaystyle alpha (t_ {0}) = x}$.

Vlastnosti

Definujeme ${displaystyle F_ {t, s}}$ tak jako ${displaystyle F_ {t, s} (p) = F (t, s, p)}$

1. Li ${displaystyle (t_ {1}, t_ {0}, p) v D (X)}$ a ${displaystyle (t_ {2}, t_ {1}, F_ {t_ {1}, t_ {0}} (p)) v D (X)}$ pak ${displaystyle F_ {t_ {2}, t_ {1}} cirkus F_ {t_ {1}, t_ {0}} (p) = F_ {t_ {2}, t_ {0}} (p)}$
2. ${displaystyle forall t, s}$, ${displaystyle F_ {t, s}}$ je difeomorfismus s inverzní ${displaystyle F_ {s, t}}$.

Aplikace

Nechat X a Y být hladká časově závislá vektorová pole a ${displaystyle F}$ tok X. Lze prokázat následující totožnost:

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo. {!! {frac {} {}}} vpravo | _ {t = t_ {1}} (F_ {t, t_ {0}} ^ {*} Y_ {t}) _ {p} = vlevo (F_ {t_ {1}, t_ {0}} ^ {*} vlevo ([X_ {t_ {1}}, Y_ {t_ {1}}] + {frac { d} {dt}} doleva. {!! {frac {} {}}} hned | _ {t = t_ {1}} Y_ {t} hned) hned) _ {p}}$

Můžeme také analogicky definovat časově závislá tenzorová pole a dokázat tuto podobnou identitu, za předpokladu, že ${displaystyle eta}$ je plynulé časově závislé tenzorové pole:

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo. {!! {frac {} {}}} vpravo | _ {t = t_ {1}} (F_ {t, t_ {0}} ^ {*} eta _ {t}) _ {p} = vlevo (F_ {t_ {1}, t_ {0}} ^ {*} vlevo ({mathcal {L}} _ {X_ {t_ {1}}} eta _ {t_ {1}} + {frac {d} {dt}} vlevo. {!! {frac {} {}}} ight | _ {t = t_ {1}} eta _ {t} ight) ight) _ {p }}$

Tato poslední identita je užitečná k prokázání Darbouxova věta.

Reference

• Lee, John M., Úvod do hladkých potrubí, Springer-Verlag, New York (2003) ISBN  0-387-95495-3. Učebnice pro absolventy na úrovni hladkých potrubí.