Integrální křivka - Integral curve

Tři integrální křivky pro svahové pole odpovídající diferenciální rovnici dy / dx = X² − X − 2.

v matematika, an integrální křivka je parametrická křivka který představuje konkrétní řešení pro obyčejná diferenciální rovnice nebo soustava rovnic. Pokud je diferenciální rovnice reprezentována jako a vektorové pole nebo svahové pole, pak jsou odpovídající integrální křivky tečna do pole v každém bodě.

Integrální křivky jsou známy pod různými jinými jmény, v závislosti na povaze a interpretaci diferenciální rovnice nebo vektorového pole. v fyzika, integrální křivky pro elektrické pole nebo magnetické pole jsou známé jako siločáry a integrální křivky pro rychlostní pole a tekutina jsou známé jako zefektivňuje. v dynamické systémy, integrální křivky pro diferenciální rovnici, která řídí a Systém jsou označovány jako trajektorie nebo oběžné dráhy.

Definice

Předpokládejme to F je vektorové pole: to je, a funkce s vektorovou hodnotou s Kartézské souřadnice (F₁,F₂,...,F_n); a X(t) a parametrická křivka s kartézskými souřadnicemi (X₁(t),X₂(t),...,X_n(t)). Pak X(t) je integrální křivka z F pokud jde o řešení následujícího autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic:

${ displaystyle { begin {seřazeno} { frac {dx_ {1}} {dt}} & = F_ {1} (x_ {1}, ldots, x_ {n}) & vdots { frac {dx_ {n}} {dt}} & = F_ {n} (x_ {1}, ldots, x_ {n}). end {zarovnáno}}}$

Takový systém lze napsat jako jedinou vektorovou rovnici

${ displaystyle mathbf {x} '(t) = mathbf {F} ( mathbf {x} (t)). ! ,}$

Tato rovnice říká, že vektor tečný ke křivce v kterémkoli bodě X(t) podél křivky je přesně vektor F(X(t)), a tak křivka X(t) je tečna v každém bodě k vektorovému poli F.

Pokud je dané vektorové pole Lipschitz kontinuální, pak Picard – Lindelöfova věta znamená, že na krátkou dobu existuje jedinečný tok.

Zobecnění na diferencovatelné potrubí

Definice

Nechat M být Banachovo potrubí třídy C^r s r ≥ 2. Jako obvykle, TM označuje tečný svazek z M s jeho přirozeným projekce π_M : TM → M dána

${ displaystyle pi _ {M} :( x, v) mapsto x.}$

Vektorové pole na M je průřez tangenta svazku TM, tj. přiřazení ke každému bodu potrubí M tečného vektoru do M v tom bodě. Nechat X být vektorovým polem M třídy C^r−1 a nechte p ∈ M. An integrální křivka pro X procházející p v čase t₀ je křivka α : J → M třídy C^r−1, definované na otevřený interval J z skutečná linie R obsahující t₀, takový, že

${ displaystyle alpha (t_ {0}) = p; ,}$

${ displaystyle alpha '(t) = X ( alpha (t)) { mbox {pro všechny}} t v J.}$

Vztah k obyčejným diferenciálním rovnicím

Výše uvedená definice integrální křivky α pro vektorové pole X, procházející p v čase t₀, je totéž jako to říkat α je lokální řešení problému běžné diferenciální rovnice / počáteční hodnoty

${ displaystyle alpha (t_ {0}) = p; ,}$

${ displaystyle alpha '(t) = X ( alpha (t)). ,}$

Je místní v tom smyslu, že je definován pouze pro časy v J, a ne nutně pro všechny t ≥ t₀ (natož t ≤ t₀). Problém prokázání existence a jedinečnosti integrálních křivek je tedy stejný jako problém hledání řešení běžných diferenciálních rovnic / problémů počáteční hodnoty a prokázání jejich jedinečnosti.

Poznámky k časové derivaci

Ve výše uvedeném α′(t) označuje derivát α v čase t, směr α ukazuje „v čase t. Z abstraktnějšího hlediska je to Fréchetův derivát:

${ displaystyle ( mathrm {d} _ {t} f) (+ 1) v mathrm {T} _ { alfa (t)} M.}$

Ve zvláštním případě M je nějaký otevřená podmnožina z Rⁿ, toto je známý derivát

${ displaystyle left ({ frac { mathrm {d} alpha _ {1}} { mathrm {d} t}}, dots, { frac { mathrm {d} alpha _ {n} } { mathrm {d} t}} vpravo),}$

kde α₁, ..., α_n jsou souřadnice pro α s ohledem na obvyklé směry souřadnic.

Totéž lze formulovat ještě abstraktněji indukované mapy. Všimněte si, že tečný svazek TJ z J je triviální svazek J × R a tam je kanonický průřez ι tohoto svazku tak ι(t) = 1 (nebo přesněji (t, 1)) pro všechny t ∈ J. Křivka α indukuje a mapa svazku α_∗ : TJ → TM takže následující diagram dojíždí:

Pak časová derivace α' je složení α′ = α_∗ Ó ι, a α′(t) je jeho hodnota v určitém okamžikut ∈ J.

Reference

• Lang, Serge (1972). Diferenciální potrubí. Reading, Massachusetts - Londýn – Don Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.