Plückerovy souřadnice - Plücker coordinates
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Únor 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v geometrie, Plückerovy souřadnice, představil Julius Plücker v 19. století představují způsob, jak přiřadit šest homogenní souřadnice ke každému čára v projektivní 3prostor, P3. Protože uspokojují kvadratické omezení, zakládají a osobní korespondence mezi 4-dimenzionálním prostorem čar v P3 a ukazuje na a kvadrický v P5 (projektivní 5prostor). Předchůdce a zvláštní případ Grassmann souřadnice (které popisují k-rozměrné lineární podprostory, nebo byty, v n-dimenzionální Euklidovský prostor ), Plückerovy souřadnice vznikají přirozeně v geometrická algebra. Ukázaly se užitečné pro počítačová grafika, a také lze rozšířit na souřadnice pro šrouby a klíče v teorii kinematika používá ovládání robota.
Geometrická intuice

Linka L v 3-dimenzionálním Euklidovský prostor je určen dvěma odlišnými body, které obsahuje, nebo dvěma odlišnými rovinami, které jej obsahují. Zvažte první případ s body X = (X1,X2,X3) a y = (y1,y2,y3). Vektorové posunutí z X na y je nenulová, protože body jsou odlišné, a představuje směr linky. To znamená, že každý posun mezi body na L je skalární násobek d = y − X. Pokud by se měla pohybovat fyzická částice jednotkové hmotnosti X na y, mělo by to okamžik o původu. Geometrický ekvivalent je vektor, jehož směr je kolmý na rovinu obsahující L a počátek a jehož délka se rovná dvojnásobku plochy trojúhelníku tvořeného posunem a počátkem. Moment považujeme za posunutí od počátku od počátku m = X × y, kde „ד označuje vektor křížový produkt. Pro pevnou linku L, plocha trojúhelníku je úměrná délce segmentu mezi X a y, považovaný za základ trojúhelníku; nemění se posunutím základny podél čáry, rovnoběžně s ní samou. Podle definice je vektor momentu kolmý na každý posun podél linie, takže d ⋅ m = 0, kde „⋅“ označuje vektor Tečkovaný produkt.
I když ani jeden d ani m sám o sobě je dostačující k určení Lspolečně to dvojice dělá jedinečně, až do společného (nenulového) skalárního násobku, který závisí na vzdálenosti mezi nimi X a y. To znamená souřadnice
- (d:m) = (d1:d2:d3:m1:m2:m3)
lze zvážit homogenní souřadnice pro L, v tom smyslu, že všechny páry (λd:λm), pro λ ≠ 0, lze vytvořit body na L a jen La jakýkoli takový pár určuje jedinečnou linii, pokud d není nula a d ⋅ m = 0. Dále tento přístup zahrnuje bodů, řádky a letadlo "v nekonečnu", ve smyslu projektivní geometrie.
- Příklad. Nechat X = (2,3,7) a y = (2,1,0). Pak (d:m) = (0:−2:−7:−7:14:−4).
Alternativně nechte rovnice pro body X dvou odlišných letadel obsahujících L být
- 0 = A + A ⋅ X
- 0 = b + b ⋅ X .
Pak jsou jejich příslušné roviny kolmé na vektory A a ba směr L musí být na obě kolmé. Proto můžeme nastavit d = A × b, což je nenulové, protože A a b nejsou nulové ani paralelní (roviny jsou odlišné a protínají se). Pokud bod X splňuje obě rovinné rovnice, pak také splňuje lineární kombinaci
0 = A (b + b ⋅ X) − b (A + A ⋅ X) = (A b − b A) ⋅ X .
To znamená m = A b − b A je vektor kolmý na posunutí k bodům L od původu; je to ve skutečnosti okamžik konzistentní s d dříve definované z A a b.
Důkaz 1: Je třeba to ukázat m = A b − b A = r × d = r × (A × b).
Bez ztráty obecnosti, nechť A ⋅ A = b ⋅ b = 1.

Směřovat B je původ. Čára L prochází bodem D a je kolmý k rovině obrázku. Obě letadla procházejí CD a DE a oba jsou kolmé k rovině obrázku. Body C a E jsou nejbližší body v těchto rovinách k počátku B, tedy úhly BCD a POSTEL jsou pravé úhly a tedy body B, C, D, E leží na kruhu (z důvodu Thalesova věta ). BD je průměr této kružnice.
- A : = BE / || BE ||, b : = BC / || BC || ,r : = BD, -A = || BE || = || BF || , -b = || BC || = || BG ||, m = Ab − bA = FG, ||d|| = ||A × b|| = hřích (FBG)
Úhel BHF je pravý úhel kvůli následujícímu argumentu. Nechat . Od té doby (kongruencí ze strany úhlu na stranu) . Od té doby , nechť . Podle věta o vepsaném úhlu, , tak . ; , proto . Pak DHF musí být také pravý úhel.
Úhly DCF a DHF jsou pravé úhly, takže čtyři body C, D, H, F leží na kruhu a (o protínající věta o secantech )
|| BF || || BC || = || BH || || BD ||, to je ab sin (FBG) = || BH || ||r|| sin (FBG), 2 (plocha trojúhelníku BFG) = ab sin (FBG) = || BH || || FG || = || BH || ||r|| hřích (FBG), ||m|| = || FG || = ||r|| sin (FBG) = ||r|| ||d||, zkontrolujte směr a m = r × d. ∎
Důkaz 2:
Nechat A ⋅ A = b ⋅ b = 1. Z toho vyplývá, že
- A = - || BE ||,b = - || BC ||.
Podle vektorový trojitý produkt vzorec,
- r × (A × b) = (r · b) A − (r · A) b
Pak
r × (A × b) | = | A ||r|| ||b|| cos (BCDBC) - b ||r|| ||A|| cos (∠DBE) |
= | A ||r|| cos (BCDBC) - b ||r|| cos (∠DBE) | |
= | A || BC || - b || BE || | |
= | −b A − (−A) b | |
= | A b − b A ∎ |
Když ||r|| = 0, řádek L předává počátek se směrem d. Pokud ||r|| > 0, čára má směr d; rovina, která zahrnuje počátek a přímku L má normální vektor m; přímka je tečná ke kružnici v této rovině (normální k m a kolmo k rovině obrázku) se středem v počátku as poloměrem ||r||.
- Příklad. Nechat A0 = 2, A = (-1,0,0) a b0 = −7, b = (0,7, -2). Pak (d:m) = (0:−2:−7:−7:14:−4).
Ačkoli obvyklá algebraická definice má tendenci tento vztah zakrývat, (d:m) jsou Plückerovy souřadnice L.
Algebraická definice
Prvotní souřadnice
V trojrozměrném projektivním prostoru P3, nechť L být přímka skrz odlišné body X a y s homogenní souřadnice (X0:X1:X2:X3) a (y0:y1:y2:y3Souřadnice Plücker pij jsou definovány takto:
(šikmá symetrická matice, jejíž prvky jsou pij se také nazývá Plückerova matice )
Z toho vyplývá pii = 0 a pij = −pji, čímž se možnosti omezují pouze na šest (4 Vybrat 2) nezávislá množství. Šestnáct
je jednoznačně určeno L až do společného nenulového měřítka. Navíc nemusí být všech šest komponent nula. Plückerovy souřadnice tedy L lze považovat za homogenní souřadnice bodu v 5-dimenzionálním projektivním prostoru, jak naznačuje notace dvojtečky.
Chcete-li vidět tato fakta, dovolte M být matice 4 × 2 se souřadnicemi bodů jako sloupy.
Plückerova souřadnice pij je determinant řádků i a j z M.Protože X a y jsou odlišné body, sloupce M jsou lineárně nezávislé; M má hodnost 2. Nechte M ′ být druhá matice se sloupci X' a y ' jiný pár odlišných bodů L. Pak sloupce M ′ jsou lineární kombinace ze sloupců M; takže pro některé 2 × 2 nesingulární matice Λ,
Zejména řádky i a j z M ′ a M jsou ve vztahu
Proto se determinant matice levé strany 2 × 2 rovná součinu determinantů matic pravé strany 2 × 2, z nichž druhá je fixní skalární, det Λ. Všech šest subdeterminantů 2 × 2 v M nemůže být nula, protože hodnost M je 2.
Mapa Plücker
Označte množinu všech řádků (lineární obrázky P1) v P3 podle G1,3. Máme tedy mapu:
kde
Duální souřadnice
Alternativně lze čáru popsat jako průsečík dvou rovin. Nechat L být čára obsažená v odlišných rovinách A a b s homogenními koeficienty (A0:A1:A2:A3) a (b0:b1:b2:b3). (První rovina roviny je ∑k AkXk= 0, například.) Dvojitá Plückerova souřadnice pij je
Duální souřadnice jsou v některých výpočtech vhodné a jsou ekvivalentní s primárními souřadnicemi:
Tady rovnost mezi dvěma vektory v homogenních souřadnicích znamená, že čísla na pravé straně se rovnají číslům na levé straně až do nějakého společného měřítka . Konkrétně nechte (i,j,k,ℓ) být dokonce permutace z (0,1,2,3); pak
Geometrie
Chcete-li se vrátit zpět k geometrické intuici, vezměte si X0 = 0 jako rovina v nekonečnu; tedy souřadnice bodů ne v nekonečnu lze normalizovat tak, že X0 = 1. Potom M se stává
a nastavení X = (X1,X2,X3) a y = (y1,y2,y3), my máme d = (p01,p02,p03) a m = (p23,p31,p12).
Duálně máme d = (p23,p31,p12) a m = (p01,p02,p03).
Bijekce mezi linkami a Kleinovým kvadrikem
Rovinné rovnice
Pokud jde o bod z = (z0:z1:z2:z3) leží na L, pak sloupce
jsou lineárně závislé, takže hodnost této větší matice je stále 2. To znamená, že všechny submatice 3 × 3 mají determinant nula, generující čtyři (4 vyberte 3) rovinné rovnice, jako například
Čtyři možné získané roviny jsou následující.
Pomocí duálních souřadnic a nechat (A0:A1:A2:A3) jsou řádkové koeficienty, každý z nich je jednoduše Ai = pijnebo
Každá Plückerova souřadnice se objevuje ve dvou ze čtyř rovnic, přičemž pokaždé vynásobí jinou proměnnou; a protože alespoň jedna ze souřadnic je nenulová, máme zaručené nevakuové rovnice pro dvě odlišné roviny protínající se v L. Plückerovy souřadnice čáry tedy určují tuto čáru jednoznačně a mapa α je injekce.
Kvadratický vztah
Obraz α není úplná sada bodů v P5; Plückerovy souřadnice čáry L uspokojit kvadratický Plückerův vztah
Pro důkaz napište tento homogenní polynom jako determinanty a použijte Laplaceova expanze (opačně).
Protože oba determinanty 3 × 3 mají duplicitní sloupce, je pravá strana identicky nulová.
Další důkaz lze provést takto: Od vektoru
je kolmá na vektor
(viz výše), skalární součin d a m musí být nula! q.e.d.
Bodové rovnice
Pronájem (X0:X1:X2:X3) jsou souřadnice bodu, každý ze čtyř možných bodů na přímce má souřadnice Xi = pij, pro j = 0 ... 3. Některé z těchto možných bodů mohou být nepřípustné, protože všechny souřadnice jsou nulové, ale protože alespoň jedna Plückerova souřadnice je nenulová, jsou zaručeny alespoň dva odlišné body.
Bijektivita
Pokud (q01:q02:q03:q23:q31:q12) jsou homogenní souřadnice bodu v P5, bez ztráty obecnosti předpokládejme, že q01 je nenulová. Pak matice
má pořadí 2, a proto jsou jeho sloupce odlišné body definující čáru L. Když P5 souřadnice, qij, uspokojí kvadratický Plückerův vztah, jsou to Plückerovy souřadnice L. Chcete-li to vidět, nejprve normalizujte q01 až 1. Pak to máme okamžitě pro Plückerovy souřadnice vypočítané z M, pij = qij, až na
Ale pokud qij uspokojit vztah Plücker q23+q02q31+q03q12 = 0, tedy p23 = q23, doplnění sady identit.
V důsledku toho je α a surjection na algebraická rozmanitost skládající se ze sady nul kvadratického polynomu
A protože α je také injekce, řádky uvnitř P3 jsou tedy v bijektivní korespondence s body tohoto kvadrický v P5, nazvaný Plückerův kvadrik nebo Klein quadric.
Použití
Souřadnice Plückera umožňují stručné řešení problémů geometrie čar v trojrozměrném prostoru, zejména těch, které se týkají výskyt.
Křížení linie-linie
Dva řádky dovnitř P3 jsou buď překroutit nebo koplanární, a v druhém případě jsou buď shodné, nebo se protínají v jedinečném bodě. Li pij a p′ij jsou Plückerovy souřadnice dvou linií, pak jsou přesně v jedné rovině d•m′+m•d′ = 0, jak ukazuje
Když jsou čáry šikmé, znaménko výsledku označuje smysl křížení: pozitivní, pokud se použije šroub pro pravou ruku L do L′, Jinak negativní.
Kvadratický Plückerův vztah v podstatě uvádí, že přímka je koplanární sama se sebou.
Spojení řádek-řádek
V případě, že dvě přímky jsou koplanární, ale ne rovnoběžné, má jejich společná rovina rovnici
- 0 = (m•d′)X0 + (d×d′)•X ,
kde X = (X1,X2,X3).
I sebemenší narušení zničí existenci společné roviny a téměř rovnoběžnost přímek způsobí numerické potíže při hledání takové roviny, i když existuje.
Line-line setkat
Dvě koplanární čáry, z nichž ani jedna neobsahuje počátek, mají společný bod
- (X0 : X) = (d•m′:m×m′) .
Chcete-li zpracovat řádky, které nesplňují toto omezení, podívejte se na odkazy.
Letadlo se setkává
Vzhledem k rovině s rovnicí
nebo výstižněji 0 = A0X0+A•X; a dostal řádek, který v něm není, se souřadnicemi Plücker (d:m), pak je jejich průsečík
- (X0 : X) = (A•d : A×m − A0d) .
Souřadnice bodů, (X0:X1:X2:X3), lze také vyjádřit pomocí Plückerových souřadnic jako
Spojení bod-čára
Dvojí, daný bod (y0:y) a řádek, který ji neobsahuje, má jejich společná rovina rovnici
- 0 = (y•m) X0 + (y×d−y0m)•X .
Souřadnice letadla, (A0:A1:A2:A3), lze také vyjádřit pomocí dvojitých Plückerových souřadnic jako
Liniové rodiny
Protože Klein quadric je v P5, obsahuje lineární podprostory dimenzí jedna a dvě (ale ne vyšší). Ty odpovídají jedno- a dvouparametrovým rodinám linek v P3.
Předpokládejme například L a L′ Jsou odlišné řádky P3 určeno body X, y a X′, y′. Lineární kombinace jejich určujících bodů dávají lineární kombinace jejich Plückerových souřadnic, čímž generují jednoparametrovou rodinu čar obsahujících L a L'. To odpovídá jednorozměrnému lineárnímu podprostoru patřícímu do Kleinova kvadrika.
Čáry v rovině
Pokud jsou tři odlišné a neparalelní čáry koplanární; jejich lineární kombinace generují dvouparametrovou rodinu čar, všechny čáry v rovině. To odpovídá dvourozměrnému lineárnímu podprostoru patřícímu do Kleinova kvadrika.
Řádky procházející bodem
Pokud se v bodě protínají tři odlišné a nekoplanární čáry, jejich lineární kombinace vygenerují dvojparametrovou rodinu čar, všechny čáry procházející bodem. To také odpovídá dvourozměrnému lineárnímu podprostoru patřícímu do Kleinova kvadrika.
Vládl povrch
A ovládaný povrch je rodina čar, která nemusí být nutně lineární. Odpovídá křivce na Kleinově kvadriku. Například a hyperboloid jednoho listu je kvadrický povrch v P3 vládne dvěma různými rodinami linií, přičemž každá linie prochází každým bodem povrchu; každá rodina odpovídá pod Plückerovou mapou a kuželovitý řez v Kleinově kvadriku v P5.
Geometrie čáry
Během devatenáctého století geometrie čáry byl intenzivně studován. Z hlediska výše uvedené bijekce se jedná o popis vnitřní geometrie Kleinova kvadrika.
Sledování paprsku
Geometrie čar je značně používána v sledování paprsku aplikace, kde je třeba vypočítat geometrii a průsečíky paprsků ve 3D. Implementace je popsána vÚvod do Plückerových souřadnic napsal pro fórum Ray Tracing Thouis Jones.
Viz také
Reference
- Hodge, W. V. D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Metody algebraické geometrie, svazek I (kniha II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.
- Behnke, H .; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle, eds. (1984). Základy matematiky, svazek II: Geometrie. trans. S.H. Gould. MIT Stiskněte. ISBN 978-0-262-52094-2.
Z němčiny: Grundzüge der Mathematik, Band II: Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht. - Guilfoyle, B .; W. Klingenberg (2004). "V prostoru orientovaných afinních linií v R ^ 3". Archiv der Mathematik. Birkhäuser. 82 (1): 81–84. doi:10.1007 / s00013-003-4861-3. ISSN 0003-889X.
- Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Plückerovy souřadnice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Mason, Matthew T .; J. Kenneth Salisbury (1985). Robotické ruce a mechanika manipulace. MIT Stiskněte. ISBN 978-0-262-13205-3.
- Hartley, R. ~ I .; Zisserman A. (2004). Geometrie více pohledů v počítačovém vidění. Cambridge University Press. ISBN 0521540518.
- Hohmeyer, M .; Teller (1999). „Stanovení linií čtyřmi liniemi“ (PDF). Journal of Graphics Tools. K Peters. 4 (3): 11–22. doi:10.1080/10867651.1999.10487506. ISSN 1086-7651.
- Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Lineární algebra a geometrie. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
- Jia, Yan-Bin (2017). Plückerovy souřadnice pro přímky v prostoru (PDF) (Zpráva).
- Shoemake, Ken (1998). „Výukový program pro souřadnici Plücker“. Ray Tracing News. Citováno 4. července 2018.