Klasifikace elektromagnetických polí - Classification of electromagnetic fields - Wikipedia

v diferenciální geometrie a teoretická fyzika, klasifikace elektromagnetických polí je bodově klasifikace bivektory v každém bodě a Lorentzian potrubí. Používá se při studiu řešení Maxwellovy rovnice a má aplikace v Einsteinově teorie relativity.

Věta o klasifikaci

Elektromagnetické pole v bodě p (tj. událost) Lorentzianova časoprostoru je reprezentována a nemovitý bivektor F = F^ab definované přes tečný prostor v p.

Tečný prostor v p je izometrický jako skutečný vnitřní produktový prostor k E^1,3. To znamená, že má stejnou představu o vektoru velikost a úhel tak jako Minkowského časoprostor. Pro zjednodušení zápisu budeme předpokládat časoprostor je Minkowského časoprostor. To má tendenci stírat rozdíl mezi tečným prostorem v p a podkladové potrubí; naštěstí touto specializací není nic ztraceno, a to z důvodů, o nichž pojednáváme na konci článku.

Klasifikační věta pro elektromagnetická pole charakterizuje bivektor F ve vztahu k Lorentzianově metrice η = η_ab definováním a zkoumáním takzvaných „hlavních nulových směrů“. Vysvětlíme to.

Bivektor F^ab výnosy a šikmo symetrický lineární operátor F^A_b = F^acη_cb definováno snížením jednoho indexu s metrikou. Působí na tečný prostor v p podle r^A → F^A_br^b. Použijeme symbol F k označení bivektoru nebo operátora podle kontextu.

Zmínili jsme dichotomii z vnější algebry. Bivektor, který lze zapsat jako F = proti ∧ w, kde proti, w jsou lineárně nezávislé, se nazývá jednoduchý. Libovolný nenulový bivektor nad 4-dimenzionálním vektorovým prostorem je buď jednoduchý, nebo může být zapsán jako F = proti ∧ w + X ∧ y, kde proti, w, X, a y jsou lineárně nezávislé; oba případy se vzájemně vylučují. Vyjádřeno takto, dichotomie neodkazuje na metriku η, pouze k vnější algebře. Je ale snadno vidět, že přidružený šikmý symetrický lineární operátor F^A_b má hodnocení 2 v prvním případě a hodnocení 4 v druhém případě.^[1]

Pro vyjádření věty o klasifikaci uvažujeme problém s vlastním číslem pro F, tj. problém najít vlastní čísla λ a vlastní vektory r které splňují rovnici vlastních čísel

{ displaystyle F ^ {a} {} _ {b} r ^ {b} = lambda , r ^ {a}.}

Šikmá symetrie F znamená, že:

buď vlastní vektor r je nulový vektor (tj. η(r,r) = 0), nebo vlastní číslo λ je nula, nebo oboje.

Jednorozměrný podprostor generovaný nulovým vlastním vektorem se nazývá a hlavní nulový směr bivektoru.

Klasifikační věta charakterizuje možné hlavní nulové směry bivektoru. Uvádí, že pro jakýkoli nenulový bivektor musí platit jedna z následujících možností:

bivektor má jeden „opakovaný“ hlavní nulový směr; v tomto případě se říká, že samotný bivektor je nula,
bivektor má dva odlišné hlavní nulové směry; v tomto případě se volá bivektor nenulový.

Navíc pro jakýkoli nenulový bivektor mají dvě vlastní čísla spojená se dvěma odlišnými hlavními nulovými směry stejnou velikost, ale opačné znaménko, λ = ±ν, takže máme tři podtřídy nenulových bivektorů:

vesmírný: ν = 0
podobný : ν ≠ 0 a hodnost F = 2
jednoduché: ν ≠ 0 a hodnost F = 4,

kde hodnost odkazuje na hodnost lineárního operátoru F.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Fyzická interpretace

Algebraická klasifikace bivektorů uvedená výše má v aplikaci důležitou aplikaci relativistická fyzika: elektromagnetické pole je reprezentováno šikmým symetrickým tenzorovým polem druhé řady ( tenzor elektromagnetického pole ), takže okamžitě získáme algebraickou klasifikaci elektromagnetických polí.

V kartézské tabulce Minkowského časoprostor, má tenzor elektromagnetického pole komponenty

{ displaystyle F_ {ab} = left ({ begin {matrix} 0 & B_ {z} & - B_ {y} & E_ {x} / c - B_ {z} & 0 & B_ {x} & E_ {y} / c B_ {y} & - B_ {x} & 0 & E_ {z} / c - E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c & 0 end {matrix}} vpravo) }

kde ${ displaystyle E_ {x}, E_ {y}, E_ {z}}$ a ${ displaystyle B_ {x}, B_ {y}, B_ {z}}$ označit jednotlivé složky elektrického a magnetického pole, měřeno setrvačným pozorovatelem (v klidu v našich souřadnicích). Jako obvykle v relativistické fyzice se nám bude dobře pracovat geometrizované jednotky ve kterém ${ displaystyle c = 1}$ . V „Indexová gymnastika "formalismus speciální relativity, Minkowského metrika ${ displaystyle eta}$ se používá ke zvýšení a snížení indexů.

Invarianty

Základní invarianty elektromagnetického pole jsou:

{ displaystyle P equiv { frac {1} {2}} F_ {ab} , F ^ {ab} = | { vec {B}} | ^ {2} - { frac { | { vec {E}} | ^ {2}} {c ^ {2}}} = - { frac {1} {2}} {} ^ {*} F_ {ab} , {} ^ { *} F ^ {ab}}

{ displaystyle Q equiv { frac {1} {4}} F_ {ab} , {} ^ {*} F ^ {ab} = { frac {1} {8}} epsilon ^ {abcd} F_ {ab} F_ {cd} = { frac {{ vec {E}} cdot { vec {B}}} {c}}}

.

(Základní znamená, že každý další invariant lze vyjádřit pomocí těchto dvou.)

A nulové elektromagnetické pole se vyznačuje ${ displaystyle P = Q = 0}$ . V tomto případě invarianty odhalují, že elektrické a magnetické pole jsou kolmé a že mají stejnou velikost (v geometrizovaných jednotkách). Příkladem nulového pole je a rovinná elektromagnetická vlna v Minkowského prostor.

A nenulové pole se vyznačuje ${ displaystyle P ^ {2} + Q ^ {2} neq , 0}$ . Li ${ displaystyle P neq 0 = Q}$ , existuje setrvačný referenční rámec pro které zmizí elektrické nebo magnetické pole. (Odpovídají příslušně magnetostatický a elektrostatický pole.) Pokud ${ displaystyle Q neq 0}$ existuje setrvačný rámec, ve kterém jsou elektrické a magnetické pole proporcionální.

Zakřivené Lorentzian potrubí

Zatím jsme diskutovali pouze Minkowského časoprostor. Podle principu (silné) ekvivalence, pokud jednoduše nahradíme „inerciální rámec“ výše a rámové pole, na zakřivených rozdělovačích potrubí vše funguje úplně stejně.

Viz také

Poznámky

^ Zde uvedená hodnost odpovídá lineárnímu operátoru nebo tenzoru; the pořadí definované pro a k-vektor je polovina oproti zde uvedenému.

Reference

Landau, Lev D .; Lifshitz, E. M. (1973). Klasická teorie polí. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6. Vidět část 25.

[1] Zde uvedená hodnost odpovídá lineárnímu operátoru nebo tenzoru; the pořadí definované pro a k-vektor je polovina oproti zde uvedenému.

[1]