Dualita (projektivní geometrie) - Duality (projective geometry)

v geometrie, pozoruhodná vlastnost projektivní roviny je symetrie rolí, které hraje bodů a řádky v definicích a větách a (letadlo ) dualita je formalizace tohoto konceptu. Existují dva přístupy k tématu duality, jeden prostřednictvím jazyka (§ Princip duality ) a druhý funkčnější přístup prostřednictvím speciálních mapování. Jsou zcela ekvivalentní a výchozím bodem léčby je buď léčba axiomatický verze uvažovaných geometrií. Ve funkčním přístupu existuje mapa mezi souvisejícími geometriemi, která se nazývá a dualita. Taková mapa může být vytvořena mnoha způsoby. Koncept rovinné duality se snadno rozšíří na prostorovou dualitu a dále na dualitu v jakékoli konečně-dimenzionální projektivní geometrie.

Princip duality

A projektivní rovina C lze definovat axiomaticky jako struktura výskytu, pokud jde o sadu P z bodů, sada L z řádkya vztah výskytu Já který určuje, které body leží na kterých přímkách. Tyto sady lze použít k definování a rovinná duální struktura.

Vyměňte si roli „bodů“ a „čar“ v

C = (P, L, I)

získat duální struktura

C^∗ = (L, P, Já^∗),

kde Já^∗ je konverzní vztah z Já. C^∗ je také projektivní rovina, nazývaná dvojí letadlo z C.

Li C a C^∗ jsou tedy izomorfní C je nazýván self-dual. Projektivní roviny PG (2, K.) pro jakékoli pole (nebo obecněji pro každé pole) dělící prsten (skewfield) isomorphic to its dual) K. jsou sebe-duální. Zejména desarguesovské roviny konečného řádu jsou vždy sebe-duální. Existují však nedesarguesiánská letadla které nejsou sebe-duální, jako jsou Hallova letadla a některé, které jsou, jako například Hughesova letadla.

V projektivní rovině se výrok zahrnující body, čáry a výskyt mezi nimi, který se získá z jiného takového výroku záměnou slov „bod“ a „přímka“ a provedením jakýchkoli nezbytných gramatických úprav, nazývá rovina dvojí výpis první. Rovina dvojího prohlášení „Dva body jsou na jedinečné přímce“ je „Dvě čáry se setkávají v jedinečném bodě“. Tvoření roviny dvojího výrazu je známé jako dualizace prohlášení.

Pokud je výrok pravdivý v projektivní rovině C, pak rovina dvojí tohoto tvrzení musí být pravdivá v dvojí rovině C^∗. Toto následuje od dualizace každého prohlášení v důkazu „v C"poskytuje odpovídající prohlášení o důkazu" v C^∗".

The princip rovinné duality říká, že dualizace jakékoli věty v sebe-duální projektivní rovině C vytvoří další větu platnou v C.^[1]

Výše uvedené pojmy lze zobecnit a hovořit o vesmírné dualitě, kde jsou pojmy „body“ a „roviny“ zaměňovány (a čáry zůstávají čárami). To vede k princip duality prostoru.^[1]

Tyto principy jsou dobrým důvodem pro upřednostnění použití „symetrického“ výrazu pro relaci výskytu. Takže místo toho, abychom říkali „bod leží na přímce“, mělo by se říci „bod je incident s přímkou“, protože jeho dualizace zahrnuje pouze záměnu bodu a přímky („přímka je incident s bodem“).^[2]

Platnost principu rovinné duality vyplývá z axiomatické definice projektivní roviny. Tři axiomy této definice lze psát tak, aby šlo o sebe-duální výroky, z nichž vyplývá, že duál projektivní roviny je také projektivní rovinou. Duál pravdivého tvrzení v projektivní rovině je tedy pravdivým tvrzením v duální projektivní rovině a z toho vyplývá, že pro sebe-duální roviny je duál pravdivého tvrzení v této rovině také pravdivým tvrzením v této rovině.^[3]

Duální věty

Jako skutečná projektivní rovina, PG (2, R), je samo-duální existuje řada párů dobře známých výsledků, které jsou navzájem duální. Některé z nich jsou:

• Desarguesova věta ⇔ Věta Converse of Desargues
• Pascalova věta ⇔ Brianchonova věta
• Menelausova věta ⇔ Cevova věta

Duální konfigurace

Duální konfigurace

Lze zdvojnásobit nejen výroky, ale také systémy bodů a čar.

Sada m body a n řádky se nazývá (m_C, n_d) konfigurace -li C z n řádky procházejí každým bodem a d z m body leží na každém řádku. Dvojí z (m_C, n_d) konfigurace, je (n_d, m_C) konfigurace. Tedy duální čtyřúhelník, (4₃, 6₂) konfigurace čtyř bodů a šesti linií, je čtyřúhelník, a (6₂, 4₃) konfigurace šesti bodů a čtyř linií.^[4]

Sada všech bodů na přímce, která se nazývá a projektivní rozsah má jako svůj duální a tužka čar, množina všech čar v bodě.

Dualita jako mapování

Rovinná dualita

A rovinná dualita je mapa z a projektivní rovina C = (P, L, I) k jeho dvojí letadlo C^∗ = (L, P, Já^∗) (vidět § Princip duality výše), který zachovává výskyt. To znamená rovinnou dualitu σ bude mapovat body na čáry a čáry na body (P^σ = L a L^σ = P) takovým způsobem, že pokud bod Q je na lince m (označeno Q Já m) pak Q Já m ⇔ m^σ Já^∗Q^σ. Rovinná dualita, která je izomorfismem, se nazývá a korelace.^[5] Existence korelace znamená, že projektivní rovina C je self-dual.

Projektivní rovina C v této definici nemusí být Desarguesian letadlo. Pokud ano, tedy C = PG (2, K.) s K. A dělící prsten (skewfield), pak dualita, jak je obecně definováno níže projektivní prostory, dává rovině dualitu C který splňuje výše uvedenou definici.

Obecně projektivní prostory

Dualita δ a projektivní prostor je permutace podprostorů PG (n, K.) (také označeno K.Pⁿ) s K. A pole (nebo obecněji skewfield (dělící prsten )), který obrátí zařazení,^[6] to je:

S ⊆ T naznačuje S^δ ⊇ T^δ pro všechny podprostory S, T z PG (n, K.).^[7]

V důsledku toho dualita zaměňuje objekty dimenze r s objekty dimenze n − 1 − r ( = kodimenzionální r + 1). To znamená v projektivním dimenzionálním prostoru n, odpovídají body (kóta 0) hyperplanes (codimension 1), čáry spojující dva body (kóta 1) odpovídají průsečíku dvou hyperplánů (codimension 2) atd.

Klasifikace dualit

The dvojí PROTI^∗ konečného trojrozměrného (pravého) vektorového prostoru PROTI přes šikmé pole K. lze považovat za (pravý) vektorový prostor stejné dimenze nad naproti zkosenému poli K.^Ó. Mezi projektivními prostory tedy existuje bijekce obrácení inkluze PG (n, K.) a PG (n, K.^Ó). Li K. a K.^Ó jsou izomorfní, pak existuje dualita PG (n, K.). Naopak, pokud PG (n, K.) připouští dualitu pro n > 1, pak K. a K.^Ó jsou izomorfní.

Nechat π být dualitou PG (n, K.) pro n > 1. Li π se skládá z přirozeného izomorfismu mezi PG (n, K.) a PG (n, K.^Ó), kompozice θ je incident zachovávající bijekci mezi PG (n, K.) a PG (n, K.^Ó). Podle Základní věta o projektivní geometrii θ je indukován a semilineární mapa T: PROTI → PROTI^∗ s přidruženým izomorfismem σ: K. → K.^Ó, které lze zobrazit jako antiautomorfismus z K.. V klasické literatuře π bude nazýván a vzájemnost obecně, a pokud σ = id říkalo by se tomu a korelace (a K. by nutně bylo pole ). Někteří autoři potlačují roli přirozeného isomorfismu a volají θ dualita.^[8] Když je to provedeno, dualita může být považována za kolineace mezi dvojicí speciálně souvisejících projektivních prostorů a nazývá se vzájemnost. Pokud je tato kolinece a projektivita pak se tomu říká korelace.

Nechat T_w = T(w) označit lineární funkční z PROTI^∗ spojené s vektorem w v PROTI. Definujte formulář φ: PROTI × PROTI → K. podle:

${ displaystyle varphi (v, w) = T_ {w} (v).}$

φ je nedgenerativní sesquilineární forma s doprovodným antiautomorfismem σ.

Jakákoli dualita PG (n, K.) pro n > 1 je indukován nedegenerovanou seskvilineární formou na podkladovém vektorovém prostoru (s doprovodným antiautomorfismem) a naopak.

Homogenní formulace souřadnic

Homogenní souřadnice lze použít k algebraickému popisu dualit. Pro zjednodušení této diskuse budeme předpokládat, že K. je pole, ale vše lze udělat stejným způsobem, když K. je skewfield, pokud je věnována pozornost skutečnosti, že násobení nemusí být komutativní úkon.

Body z PG (n, K.) lze brát jako nenulové vektory v (n + 1)-dimenzionální vektorový prostor přes K., kde identifikujeme dva vektory, které se liší skalárním faktorem. Dalším způsobem, jak to vyjádřit, je to, že body n-dimenzionální projektivní prostor jsou 1-dimenzionální vektor podprostory, které lze vizualizovat jako čáry procházející počátkem v K.ⁿ⁺¹.^[9] Také n- (vektor) dimenzionální podprostory K.ⁿ⁺¹ představují (n − 1) - (geometrické) dimenzionální hyperplány projektivní n-prostor přes K., tj., PG (n, K.).

Nenulový vektor u = (u₀, u₁, ..., u_n) v K.ⁿ⁺¹ také určuje (n − 1) - geometrický rozměrný podprostor (nadrovina) H_utím, že

H_u = {(X₀, X₁, ..., X_n) : u₀X₀ + ... + u_nX_n = 0}.

Když vektor u se používá k definování hyperplánu tímto způsobem, který bude označen u_H, zatímco pokud označuje bod, použijeme ho u_P. Jsou označovány jako bodové souřadnice nebo souřadnice hyperplánu respektive (v důležitém dvojrozměrném případě jsou volány souřadnice nadroviny souřadnice čáry). Někteří autoři rozlišují, jak má být vektor interpretován zápisem souřadnic hyperplánu jako horizontálních (řádkových) vektorů, zatímco souřadnice bodů jsou psány jako vertikální (sloupcové) vektory. Pokud tedy u je sloupcový vektor, který bychom měli u_P = u zatímco u_H = u^T. Pokud jde o obvyklé Tečkovaný produkt, H_u = {X_P : u_H ⋅ X_P = 0}. Od té doby K. je pole, tečkový součin je symetrický, což znamená u_H ⋅ X_P = u₀X₀ + u₁X₁ + ... + u_nX_n = X₀u₀ + X₁u₁ + ... + X_nu_n = X_H ⋅ u_P.

Zásadní příklad

Jednoduchá vzájemnost (ve skutečnosti korelace) může být dána vztahem u_P ↔ u_H mezi body a hyperplany. To sahá až do vzájemnosti mezi přímkou ​​generovanou dvěma body a průsečíkem dvou takových hyperplánů atd.

Konkrétně v projektivní rovina, PG (2, K.), s K. pole, máme korelaci danou: body v homogenní souřadnice (A, b, C) ↔ řádky s rovnicemi sekera + podle + cz = 0. V projektivním prostoru PG (3, K.), korelace je dána: body v homogenních souřadnicích (A, b, C, d) ↔ roviny s rovnicemi sekera + podle + cz + dw = 0. Tato korelace by také mapovala linii určenou dvěma body (A₁, b₁, C₁, d₁) a (A₂, b₂, C₂, d₂) k přímce, která je průsečíkem dvou rovin s rovnicemi A₁X + b₁y + C₁z + d₁w = 0 a A₂X + b₂y + C₂z + d₂w = 0.

Přidružená sesquilineární forma pro tuto korelaci je:

φ(u, X) = u_H ⋅ X_P = u₀X₀ + u₁X₁ + ... + u_nX_n,

kde společník antiautomorphism σ = id. Jedná se tedy o bilineární forma (Všimněte si, že K. musí být pole). To lze zapsat v maticové formě (s ohledem na standardní základ) jako:

φ(u, X) = u_H G X_P,

kde G je (n + 1) × (n + 1) matice identity pomocí konvence, že u_H je řádek vektor a X_P je sloupcový vektor.

Korelace je dána:

${ displaystyle pi ( mathbf {x} _ {P}) = (G mathbf {x} _ {P}) ^ { mathsf {T}} = ( mathbf {x} _ {P}) ^ { mathsf {T}} = mathbf {x} _ {H}.}$

Geometrická interpretace ve skutečné projektivní rovině

Tato korelace v případě PG (2, R) lze popsat geometricky pomocí Modelka z skutečná projektivní rovina což je „jednotková koule s antipody^[10] identifikován ", nebo ekvivalentně, model přímek a rovin počátkem vektorového prostoru R³. Přiřaďte libovolné přímce přes počátek jedinečnou rovinu přes počátek, která je kolmá (kolmá) na přímku. Když jsou v modelu tyto čáry považovány za body a roviny za čáry projektivní roviny PG (2, R), tato asociace se stává korelací (vlastně polaritou) projektivní roviny. Model koule je získán protínáním přímek a rovin počátkem s jednotkovou koulí vycentrovanou na počátek. Čáry se setkávají s koulí v antipodálních bodech, které pak musí být identifikovány, aby se získal bod projektivní roviny, a roviny se setkají s koulí v velké kruhy což jsou tedy čáry projektivní roviny.

To, že tato asociace „zachovává“ výskyt, je nejsnadněji vidět z modelu linií a rovin. Bod dopadající s přímkou ​​v projektivní rovině odpovídá přímce procházející počátkem ležící v rovině procházející počátkem v modelu. Použitím asociace se z roviny stane čára procházející počátkem kolmým k rovině, ke které je přidružena. Tato obrazová čára je kolmá na každou čáru roviny, která prochází počátkem, zejména původní čáru (bod projektivní roviny). Všechny čáry, které jsou kolmé na původní čáru v počátku, leží v jedinečné rovině, která je kolmá k původní čáře, tj. Rovině obrazu pod asociací. Linie obrazu tedy leží v obrazové rovině a asociace zachovává výskyt.

Maticová forma

Stejně jako ve výše uvedeném příkladu matice lze použít k reprezentaci dualit. Nechat π být dualitou PG (n, K.) pro n > 1 a nechte φ být asociovaná seskvilineární forma (s doprovodným antiautomorfismem σ) na podkladovém (n + 1) -dimenzionální vektorový prostor PROTI. Daný základ { E_i } z PROTI, můžeme tento formulář představovat:

${ displaystyle varphi ( mathbf {u}, mathbf {x}) = mathbf {u} ^ { mathsf {T}} G ​​( mathbf {x} ^ { sigma}),}$

kde G je nonsingular (n + 1) × (n + 1) matice skončila K. a vektory jsou zapsány jako sloupcové vektory. Zápis X^σ znamená, že antiautomorfismus σ se aplikuje na každou souřadnici vektoru X.

Nyní definujte dualitu z hlediska souřadnic bodů pomocí:

${ displaystyle pi ( mathbf {x}) = (G ( mathbf {x} ^ { sigma})) ^ { mathsf {T}}.}$

Polarita

Dualita, která je involuce (má pořadí dva) se nazývá a polarita. Je nutné rozlišovat mezi polaritami obecných projektivních prostorů a polaritami, které vyplývají z poněkud obecnější definice rovinné duality. Je také možné poskytnout přesnější údaje v případě a konečná geometrie, takže zdůrazníme výsledky v konečných projektivních rovinách.

Polarita obecných projektivních prostorů

Li π je dualita PG (n, K.), s K. skewfield, pak je obecný zápis definován π(S) = S^⊥ pro podprostor S z PG (n, K.). Polarita je tedy dualita, pro kterou S^⊥⊥ = S pro každý podprostor S z PG (n, K.). Je také běžné obejít zmínku o duálním prostoru a psát, pokud jde o přidruženou sesquilineární formu:

${ displaystyle S ^ { bot} = { mathbf {u} { text {in}} V colon varphi ( mathbf {u}, mathbf {x}) = 0 { text {pro všechny }} mathbf {x} { text {in}} S }.}$

Sesquilineární forma φ je reflexní -li φ(u, X) = 0 naznačuje φ(X, u) = 0.

Dualita je polarita právě tehdy, když (nedgenerovaná) sesquilineární forma, která ji definuje, je reflexivní.^[11]

Polarita byla klasifikována, výsledek Birkhoff & von Neumann (1936) který byl několikrát pokárán.^[11][12][13] Nechat PROTI být (vlevo) vektorový prostor nad zkoseným polem K. a φ být reflexivní nedegenerovanou seskvilineární formou PROTI s doprovodným anti-automorfismem σ. Li φ je sesquilineární forma spojená s polaritou, pak buď:

1. σ = id (proto, K. je pole) a φ(u, X) = φ(X, u) pro všechny u, X v PROTI, to znamená, φ je bilineární forma. V tomto případě se nazývá polarita ortogonální (nebo obyčejný). Pokud je charakteristika pole K. je dva, pak v tomto případě musí existovat vektor z s φ(z, z) ≠ 0, a polarita se nazývá a pseudo polarita.^[14]
2. σ = id (proto, K. je pole) a φ(u, u) = 0 pro všechny u v PROTI. Polarita se nazývá a nulová polarita (nebo a symplektická polarita) a může existovat pouze tehdy, když je projektivní dimenze n je zvláštní.
3. σ² = id ≠ σ (tady K. nemusí být pole) a φ(u, X) = φ(X, u)^σ pro všechny u, X v PROTI. Taková polarita se nazývá a jednotná polarita (nebo a Hermitova polarita).

Bod P z PG (n, K.) je absolutní bod (samo-konjugovaný bod) s ohledem na polaritu ⊥ -li P Já P^⊥. Podobně, a nadrovina H je absolutní hyperplán (samo-konjugovaná nadrovina), pokud H^⊥ Já H. Vyjádřeno jinými slovy, bod X je absolutní bod polarity π s přidruženou sesquilineární formou φ -li φ(X, X) = 0 a pokud φ je psáno z hlediska matice G, X^T G X^σ = 0.

Lze popsat množinu absolutních bodů každého typu polarity. Opět omezujeme diskusi na tento případ K. je pole.^[15]

1. Li K. je pole, jehož charakteristika není dvě, množina absolutních bodů ortogonální polarity tvoří nesingulární kvadrický (li K. je nekonečný, může být prázdný). Pokud je charakteristika dvě, tvoří absolutní body pseudo polarity nadrovinu.
2. Všechny body prostoru PG (2s + 1, K.) jsou absolutní body nulové polarity.
3. Absolutní body Hermitovské polarity tvoří a Hermitská odrůda, které mohou být prázdné, pokud K. je nekonečný.

Když se skládá sám se sebou, korelace φ(X_P) = X_H (v jakékoli dimenzi) produkuje funkce identity, takže je to polarita. Množinou absolutních bodů této polarity by byly body, jejichž homogenní souřadnice splňují rovnici:

X_H ⋅ X_P = X₀X₀ + X₁X₁ + ... + X_nX_n = X₀² + X₁² + ... + X_n² = 0.

Které body jsou v této množině bodů závisí na poli K.. Li K. = R pak je sada prázdná, neexistují žádné absolutní body (a žádné absolutní hyperplány). Na druhou stranu, pokud K. = C množina absolutních bodů tvoří nedgenerovaný kvadrický (A kónický ve dvojrozměrném prostoru). Li K. je konečné pole liché charakteristický absolutní body také tvoří kvadric, ale pokud je charakteristika dokonce i absolutní body tvoří hyperplán (jedná se o příklad pseudo polarity).

Pod každou dualitou jde o to P se nazývá pól nadroviny P^⊥, a tato nadrovina se nazývá polární bodu P. Pomocí této terminologie jsou absolutní body polarity body, které dopadají na jejich póly, a absolutní hyperplany jsou hyperplany, které dopadají na jejich póly.

Polarita v konečných projektivních rovinách

Podle Wedderburnova věta každé konečné skewfield je pole a automorfismus řádu dva (jiný než identita) může existovat pouze v konečném poli, jehož pořadí je čtverec. Tato fakta pomáhají zjednodušit obecnou situaci na konečnou Desarguesiánská letadla. My máme:^[16]

Li π je polarita konečné desarguesovské projektivní roviny PG (2, q) kde q = str^E pro některé prime str, pak počet absolutních bodů π je q + 1 -li π je ortogonální nebo q^3/2 + 1 -li π je unitární. V ortogonálním případě leží absolutní body na a kónický -li str je liché nebo tvoří čáru, pokud str = 2. Jednotný případ může nastat pouze tehdy, když q je čtverec; absolutní body a absolutní čáry tvoří a unital.

V obecném případě projektivní roviny, kde dualita znamená rovinná dualita, definice polarity, absolutních prvků, pólu a poláru zůstávají stejné.

Nechat P označit projektivní rovinu řádu n. Počítání argumentů to může stanovit pro polaritu π z P:^[16]

Počet neabsolutních bodů (linií) dopadajících na neabsolentní linii (bod) je sudý.

Dále^[17]

Polarita π má alespoň n + 1 absolutní body a pokud n není přesně čtverec n + 1 absolutní body. Li π má přesně n + 1 absolutní body pak;

1. -li n je liché, absolutní body tvoří ovál jehož tangenty jsou absolutní úsečky; nebo
2. -li n je sudé, absolutní body jsou kolineární na ne-absolutní linii.

Horní hranice počtu absolutních bodů v případě, že n je čtverec, který dal Seib^[18] a čistě kombinatorický argument může stanovit:^[19]

Polarita π v projektivní rovině čtvercového řádu n = s² má nanejvýš s³ + 1 absolutní body. Kromě toho, pokud je počet absolutních bodů s³ + 1, pak absolutní body a absolutní čáry tvoří a unital (tj. každá přímka roviny splňuje tuto sadu absolutních bodů v obou 1 nebo s + 1 bodů).^[20]

Poláci a poláry

Pól a polární s ohledem na kruh C. P a Q jsou inverzní body, str je polární z P, P je pól str.

Reciprocita v euklidovské rovině

Metoda, kterou lze použít ke konstrukci polarity skutečné projektivní roviny, má jako výchozí bod konstrukci částečné duality v Euklidovské letadlo.

V euklidovské rovině opravte kruh C se středem Ó a poloměr r. Za každý bod P jiný než Ó definovat obrazový bod Q aby OP ⋅ OQ = r². Mapování definované pomocí P → Q je nazýván inverze s ohledem na kruh C. Linie str přes Q která je kolmá na přímku OP se nazývá polární^[21] bodu P s ohledem na kruh C.

Nechat q být linkou, která neprochází Ó. Pustit kolmici z Ó na q, Setkání q na místě P (o to jde q to je nejblíže Ó). Obrázek Q z P v inverzi s ohledem na C se nazývá pól^[21] z q. Pokud bod M je na lince q (neprochází Ó) pak tyč q leží na poláru M a naopak. Proces zachování incidentu, při kterém jsou body a čáry transformovány do svých pólů a pólů s ohledem na C je nazýván odplata.^[22]

Aby se tento proces změnil na korelaci, je třeba euklidovskou rovinu (která není projektivní rovinou) rozšířit na prodloužená euklidovská rovina přidáním a čára v nekonečnu a body v nekonečnu které leží na této linii. V této rozšířené rovině definujeme polární bod Ó být přímkou ​​v nekonečnu (a Ó je pól čáry v nekonečnu) a póly čar procházejí Ó jsou body nekonečna, kde, pokud čára má sklon s (≠ 0) jeho pól je nekonečný bod spojený s paralelní třídou přímek se sklonem −1/s. Pól X-os je bod nekonečna svislých čar a pól y-osa je bod nekonečna vodorovných čar.

Konstrukci korelace založenou na inverzi v kruhu uvedené výše lze zobecnit pomocí inverze v kuželovitém řezu (v rozšířené reálné rovině). Korelace konstruované tímto způsobem jsou řádu dva, tj. Polarity.

Algebraická formulace

Tři páry duálních bodů a linií: jeden červený pár, jeden žlutý pár a jeden modrý pár.

Tuto polaritu popíšeme algebraicky podle výše uvedené konstrukce v případě, že C je jednotkový kruh (tj. r = 1) se středem na počátek.

Afinní bod P, jiný než počátek, s kartézskými souřadnicemi (A, b) má jako inverzní v jednotkové kružnici bod Q se souřadnicemi,

${ displaystyle left ({ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} right) .}$

Linka procházející skrz Q to je kolmé na přímku OP má rovnici sekera + podle = 1.

Přepnutí na homogenní souřadnice pomocí vložení (A, b) ↦ (A, b, 1), prodloužení do skutečné projektivní roviny se získá povolením, aby poslední souřadnice byla 0. Připomeňme si, že souřadnice bodů jsou zapsány jako vektory sloupců a souřadnice linií jako vektory řádků, můžeme tuto polaritu vyjádřit pomocí:

${ displaystyle pi: mathbb {R} P ^ {2} rightarrow mathbb {R} P ^ {2}}$

takhle

${ displaystyle pi left ((x, y, z) ^ { mathsf {T}} right) = (x, y, -z).}$

Nebo pomocí alternativní notace π((X, y, z)_P) = (X, y, −z)_L. Matice související sesquilineární formy (s ohledem na standardní základ) je:

${ displaystyle G = left ({ begin {matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 end {matrix}} right).}$

Absolutní body této polarity jsou dány řešením:

${ displaystyle 0 = P ^ { mathsf {T}} GP = x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2},}$

kde P^T= (X, y, z). Všimněte si, že omezeno na euklidovskou rovinu (tj. Množinu z = 1) toto je jen jednotkový kruh, kruh inverze.

Syntetický přístup

Diagonální trojúhelník P, Q, R čtyřúhelníku A, B, J, K. na kuželovitý. Poláry diagonálních bodů jsou zabarveny stejně jako body.

Teorii pólů a pólů kuželosečky v projektivní rovině lze rozvíjet bez použití souřadnic a dalších metrických konceptů.

Nechat C být kuželovitý PG (2, F) kde F je pole, které nemá charakteristiku dva, a nechť P být bodem této roviny ne na C. Řekněme dvě zřetelné sečanové linie do kuželosečky AB a JK určete čtyři body na kužele (A, B, J, K.), které tvoří a čtyřúhelník. Bod P je vrchol úhlopříčného trojúhelníku tohoto čtyřúhelníku. The polární z P s ohledem na C je strana úhlopříčného trojúhelníku naproti P.^[23]

Teorie projektivní harmonické konjugáty k definování tohoto vztahu lze také použít bodů na přímce. Použití stejné notace jako výše;

Pokud proměnná čára procházející bodem P je sekans kuželosečky C, harmonické konjugáty P s ohledem na dva body C na sekánci všichni leží na polární z P.^[24]

Vlastnosti

Existuje několik vlastností, které polarity v projektivní rovině mají.^[25]

Vzhledem k polaritě π, bod P leží on-line q, polární bod Q kdyby a jen kdyby Q leží na str, polární z P.

Body P a Q které se v této souvislosti nazývají sdružené body s ohledem na π. Absolutní body se nazývají vlastní konjugát v souladu s touto definicí, protože se střetávají se svými vlastními póly. Konjugované čáry jsou definovány dvojitě.

Přímka spojující dva body s vlastním konjugátem nemůže být linií s vlastním konjugátem.

Řádek nesmí obsahovat více než dva body s vlastním konjugátem.

Polarita indukuje involuci konjugovaných bodů na libovolné linii, která není samo-konjugovaná.

Trojúhelník, ve kterém je každý vrchol pólem opačné strany, se nazývá a sebepolární trojúhelník.

Korelace, která mapuje tři vrcholy trojúhelníku na jejich opačné strany, je polarita a tento trojúhelník je vzhledem k této polaritě autopolární.

Dějiny

Princip duality je způsoben Joseph Diaz Gergonne (1771–1859) bojovník za tehdy vznikající pole Analytická geometrie a zakladatel a editor prvního časopisu věnovaného výhradně matematice, Annales de mathématiques pures et appliquées. Gergonne a Charles Julien Brianchon (1785-1864) vyvinul koncept rovinné duality. Gergonne vytvořila pojmy „dualita“ a „polární“ (ale „pól“ je způsoben F.-J. Servois ) a ve svém deníku převzal styl psaní duálních prohlášení vedle sebe.

Jean-Victor Poncelet (1788–1867) autor prvního textu dne projektivní geometrie, Traité des propriétés projectives des numbers, byl syntetický geometr kteří systematicky rozvíjeli teorii pólů a pólů s ohledem na kuželosečku. Poncelet tvrdil, že princip duality byl důsledkem teorie pólů a pólů.

Julius Plücker (1801–1868) se připisuje rozšíření konceptu duality na trojrozměrné projektivní prostory.

Poncelet a Gergonne začínali jako seriózní, ale přátelští soupeři, kteří v příspěvcích, které se objevili v Annales de Gergonne. Antagonismus se rozrostl nad otázkou priority při prosazování principu duality jako svého vlastního. Mladý Plücker byl chycen v tomto sporu, když papír, který předložil Gergonne, byl tak silně upraven v době, kdy vyšlo, že Poncelet byl uveden do omylu, aby věřil, že ho Plücker plagoval. Proti vitriolickému útoku Ponceleta čelil Plücker s podporou Gergonna a nakonec byla na Gergonna uložena břemeno.^[26] Z tohoto sporu Pierre Samuel^[27] vtipkoval, že jelikož oba muži byli ve francouzské armádě a Poncelet byl generál, zatímco Gergonne byl pouhý kapitán, převládal Ponceletův názor, přinejmenším mezi jejich francouzskými současníky.

Viz také

• Dvojitá křivka

Poznámky

Reference

• Artin, E. (1957), „1.4 Dualita a párování“, Geometrická algebra, Wiley Interscience, ISBN  0-470-03432-7
• Baer, ​​Reinhold (2005) [1952]. Lineární algebra a projektivní geometrie. Mineola NY: Dover. ISBN  0-486-44565-8.
• Barwick, Susan; Ebert, Gary (2008), Jednotky v projektivních rovináchSpringer, doi:10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN  978-0-387-76364-4
• Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), „Logika kvantové mechaniky“, Annals of Mathematics, 37: 823–843, doi:10.2307/1968621
• Boyer, Carl B. (2004) [1956], Historie analytické geometrieDover, ISBN  978-0-486-43832-0
• Coxeter, H.S.M. (1964), Projektivní geometrie, Blaisdell
• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometrie Revisited, Washington, D.C .: Mathematical Association of America, ISBN  0-88385-600-X
• Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, PAN  0233275
• Eves, Howard (1963), Průzkum svazku geometrie IAllyn a Bacon
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projektivní geometrie přes konečná pole, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850295-1
• Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Projektivní roviny, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Samuel, Pierre (1988). Projektivní geometrie. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96752-4.

Další čtení

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), Úvod do konečných projektivních rovin„New York: Holt, Rinehart a Winston
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlín.
• Bennett, M.K. (1995). Afinní a projektivní geometrie. New York: Wiley. ISBN  0-471-11315-8.
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998). Projektivní geometrie: od základů po aplikace. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-48277-1.
• Casse, Rey (2006), Projektivní geometrie: Úvod, New York: Oxford University Press, ISBN  0-19-929886-6
• Cederberg, Judith N. (2001). Kurz moderních geometrií. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98972-2.
• Coxeter, H. S. M., 1995. Skutečná projektivní rovina, 3. vyd. Springer Verlag.
• Coxeter, H. S. M., 2003. Projektivní geometrie, 2. vyd. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-40623-7.
• Coxeter, H. S. M. (1969). Úvod do geometrie. New York: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-50458-0.
• Garner, Lynn E. (1981). Nástin projektivní geometrie. New York: Severní Holandsko. ISBN  0-444-00423-8.
• Greenberg, M. J., 2007. Euklidovské a neeuklidovské geometrie, 4. vyd. Freemane.
• Hartshorne, Robine (2009), Základy projektivní geometrie (2. vyd.), Ishi Press, ISBN  978-4-87187-837-1
• Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
• Hilbert, D. a Cohn-Vossen, S., 1999. Geometrie a představivost, 2. vyd. Chelsea.
• Kárteszi, F. (1976), Úvod do konečných geometrií, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN  0-7204-2832-7
• Mihalek, R.J. (1972). Projektivní geometrie a algebraické struktury. New York: Academic Press. ISBN  0-12-495550-9.
• Ramanan, S. (srpen 1997). "Projektivní geometrie". Rezonance. Springer Indie. 2 (8): 87–94. doi:10.1007 / BF02835009. ISSN  0971-8044.
• Stevenson, Frederick W. (1972), Projektivní roviny, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN  0-7167-0443-9
• Veblen, Oswald; Young, J. W. A. ​​(1938). Projektivní geometrie. Boston: Ginn & Co. ISBN  978-1-4181-8285-4.

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Princip duality“. MathWorld.