Čepel (geometrie) - Blade (geometry)

Ve studii o geometrické algebry, a čepel je zobecněním pojmu skaláry a vektory zahrnout jednoduchý bivektory, trivektory atd. Konkrétně a $k$ -blade je jakýkoli objekt, který lze vyjádřit jako vnější produkt (neformálně klínový produkt) z $k$ vektory a je z školní známka $k$ .

Podrobně:^[1]

Čepel 0 je a skalární.
1 čepel je a vektor. Každý vektor je jednoduchý.
2-čepel je a jednoduchý bivektor. Lineární kombinace dvoulistů jsou také bivektory, ale nemusí to být jednoduché, a nemusí to tedy být nutně dvoulisty. 2-čepel může být vyjádřena jako klínový produkt dvou vektorů $A$ a $b$ :
${displaystyle awedge b.}$
3-čepel je jednoduchý trivektor, to znamená, že může být vyjádřena jako klínový produkt tří vektorů $A$ , $b$ , a $C$ :
${displaystyle awedge bwedge c.}$
V vektorový prostor z dimenze $n$ , čepel třídy $n - 1$ se nazývá a pseudovektor^[2] nebo antivector.^[3]
Prvek nejvyššího stupně v prostoru se nazývá a pseudoskalární a v prostoru dimenze $n$ je $n$ -čepel.^[4]
Ve vektorovém prostoru dimenze $n$ , existují $k (n - k) + 1$ dimenze svobody při výběru a $k$ - čepel, z nichž jedna dimenze je celkový multiplikátor škálování.^[5]

Pro $n$ -dimenzionální prostor, jsou zde čepele všech stupňů od 0 do $n$ včetně. A vektorový podprostor konečné dimenze $k$ mohou být zastoupeny $k$ -list vytvořený jako klínový produkt všech prvků základny pro tento podprostor.^[6]

Příklady

Například ve 2-dimenzionálním prostoru jsou skaláry popsány jako 0-čepele, vektory jsou 1-čepele a prvky oblasti jsou 2-čepele známé jako pseudoscalars v tom, že se jedná o prvky jednorozměrného prostoru odlišného od pravidelných skalárů.

V trojrozměrném prostoru jsou 0 čepele opět skaláry a 1 čepele jsou trojrozměrné vektory a 2 čepele jsou prvky orientované oblasti. 3 čepele představují objemové prvky a v trojrozměrném prostoru; tito jsou skalární - tj. 3-lopatky ve třech rozměrech tvoří jednorozměrný vektorový prostor.

Viz také

Poznámky

^ Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Geometrická algebra: obrys". Invarianty pro rozpoznávání a klasifikaci vzorů. World Scientific. p. 3 ff. ISBN 981-02-4278-6.
^ William E Baylis (2004). „§4.2.3 Multivektory vyšší třídy v Cℓ_n: Duals ". Přednášky o Cliffordových (geometrických) algebrách a aplikacích. Birkhäuser. p. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
^ Lengyel, Eric (2016). Základy vývoje herního enginu, svazek 1: Matematika. Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.
^ John A. Vince (2008). Geometrická algebra pro počítačovou grafiku. Springer. p. 85. ISBN 1-84628-996-3.
^ Pro Grassmannians (včetně výsledku o dimenzi) je dobrá kniha: Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, PAN 1288523. Důkaz rozměrnosti je ve skutečnosti přímý. Vzít $k$ vektory a zaklínit je dohromady ${displaystyle v_ {1} klínové cdoty klínové v_ {k}}$ a provádět na nich elementární sloupové operace (vyklopení čepů) až na vrchol $k \times k$ blok jsou elementární základní vektory ${displaystyle mathbb {F} ^ {k}}$ . Klínový produkt je poté parametrizován produktem čepů a spodku $k \times (n - k)$ blok.
^ David Hestenes (1999). Nové základy klasické mechaniky: Základní fyzikální teorie. Springer. p. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

Reference

David Hestenes; Garret Sobczyk (1987). „Kapitola 1: Geometrická algebra“. Clifford Algebra na Geometric Calculus: Jednotný jazyk pro matematiku a fyziku. Springer. p. 1 ff. ISBN 90-277-2561-6.
Chris Doran a Anthony Lasenby (2003). Geometrická algebra pro fyziky. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1.
A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Kovarianční přístup k geometrii pomocí geometrické algebry Technická zpráva. University of Cambridge Department of Engineering, Cambridge, UK.
R Wareham; J. Cameron a J. Lasenby (2005). "Aplikace konformní geometrické algebry na počítačové vidění a grafiku". V Hongbo Li; Peter J. Olver & Gerald Sommer (eds.). Počítačová algebra a geometrická algebra s aplikacemi. Springer. p. 329 ff. ISBN 3-540-26296-2.

externí odkazy

Geometrický algebraický základ, zejména pro počítačové vědce.

[Rodrigues-1] Marcos A. Rodrigues (2000). "§1.2 Geometrická algebra: obrys". Invarianty pro rozpoznávání a klasifikaci vzorů. World Scientific. p. 3 ff. ISBN 981-02-4278-6.

[Baylis01-2] William E Baylis (2004). „§4.2.3 Multivektory vyšší třídy v Cℓ_n: Duals ". Přednášky o Cliffordových (geometrických) algebrách a aplikacích. Birkhäuser. p. 100. ISBN 0-8176-3257-3.

[3] Lengyel, Eric (2016). Základy vývoje herního enginu, svazek 1: Matematika. Terathon Software LLC. ISBN 978-0-9858117-4-7.

[Vince-4] John A. Vince (2008). Geometrická algebra pro počítačovou grafiku. Springer. p. 85. ISBN 1-84628-996-3.

[5] Pro Grassmannians (včetně výsledku o dimenzi) je dobrá kniha: Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, PAN 1288523. Důkaz rozměrnosti je ve skutečnosti přímý. Vzít $k$ vektory a zaklínit je dohromady ${displaystyle v_ {1} klínové cdoty klínové v_ {k}}$ a provádět na nich elementární sloupové operace (vyklopení čepů) až na vrchol $k \times k$ blok jsou elementární základní vektory ${displaystyle mathbb {F} ^ {k}}$ . Klínový produkt je poté parametrizován produktem čepů a spodku $k \times (n - k)$ blok.

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). Nové základy klasické mechaniky: Základní fyzikální teorie. Springer. p. 54. ISBN 0-7923-5302-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]