Počet proměnných - Multivariable calculus

Počet proměnných (také známý jako vícerozměrný počet) je příponou počet v jednom proměnná k počtu pomocí funkce několika proměnných: diferenciace a integrace funkcí zahrnujících několik proměnných, nikoli jen jednu.^[1]

Typické operace

Limity a kontinuita

Studie o limity a kontinuita v multivariabilním počtu poskytuje mnoho neintuitivních výsledků, které funkce jedné proměnné neprokázaly.^[1]^:19–22 Například existují skalární funkce dvou proměnných s body v jejich doméně, které při přiblížení po různých cestách dávají různé limity. Např. Funkce

{ displaystyle f (x, y) = { frac {x ^ {2} y} {x ^ {4} + y ^ {2}}}}

se blíží nule, kdykoli je bod ${ displaystyle (0,0)}$ je přiblížen podél čar počátkem ( ${ displaystyle y = kx}$ ). Když se však k původu přistupuje podél a parabola ${ displaystyle y = pm x ^ {2}}$ , hodnota funkce má limit ${ displaystyle pm 0,5}$ . Vzhledem k tomu, že použití různých cest směrem ke stejnému bodu vede k různým mezním hodnotám, obecný limit tam neexistuje.

Kontinuita v každém argumentu není dostatečná pro vícerozměrná kontinuita lze také vidět z následujícího příkladu.^[1]^:17–19 Zejména pro funkci se skutečnou hodnotou se dvěma parametry se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f (x, y)}$ kontinuita ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle x}$ pro pevné ${ displaystyle y}$ a kontinuita ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle y}$ pro pevné ${ displaystyle x}$ neznamená kontinuitu ${ displaystyle f}$ .

Zvážit

{ displaystyle f (x, y) = { begin {cases} { frac {y} {x}} - y & { text {if}} quad 0 leq y

Je snadné ověřit, že tato funkce je nulová podle definice na hranici a mimo čtyřúhelník ${ displaystyle (0,1) krát (0,1)}$ . Dále jsou definovány funkce pro konstantu ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle 0 leq a leq 1}$ podle

{ displaystyle g_ {a} (x) = f (x, a) quad}

a

{ displaystyle quad h_ {a} (y) = f (a, y) quad}

jsou spojité. Konkrétně

{ displaystyle g_ {0} (x) = f (x, 0) = h_ {0} (0, y) = f (0, y) = 0}

pro všechny

X

a

y

.

Pořadí ${ displaystyle f left ({ tfrac {1} {n}}, { tfrac {1} {n}} right)}$ (pro přirozené ${ displaystyle n}$ ) konverguje k ${ displaystyle lim _ {n to infty} f left ({ tfrac {1} {n}}, { tfrac {1} {n}} right) = 1}$ , vykreslení funkce jako diskontinuální v ${ displaystyle (0,0)}$ . Blížící se k původu ne paralelně k ${ displaystyle x}$ - a ${ displaystyle y}$ - osa odhaluje tuto diskontinuitu.

Kontinuita kompozitní funkce: Li ${ displaystyle f (x, y)}$ je spojitá v ${ displaystyle (a, b)}$ a ${ displaystyle g}$ je jedna proměnná funkce spojitá v ${ displaystyle f (a, b)}$ pak složená funkce ${ displaystyle h = g circ f}$ definován ${ displaystyle h (x, y) = g (f (x, y))}$ je spojitá v ${ displaystyle (a, b)}$ .

Například: ${ displaystyle exp (x-y)}$ , ${ displaystyle ln (1 + xy-4x + 10y)}$

Vlastnosti spojité funkce:

Li ${ displaystyle f (x, y)}$ a ${ displaystyle g (x, y)}$ jsou spojité v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ pak

(i) ${ displaystyle f (x, y)}$ ${ displaystyle pm}$ ${ displaystyle g (x, y)}$ jsou spojité v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ .

ii) ${ displaystyle Kf (x, y)}$ je spojitá v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ .

(iii) ${ displaystyle f (x, y)}$ ${ displaystyle.}$ ${ displaystyle g (x, y)}$ je spojitá v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ .

(iv) ${ displaystyle { frac {f (x, y)} {g (x, y)}}}$ je spojitá v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ ,li ${ displaystyle g (x, y)}$ se nerovná ${ displaystyle 0}$ .

(proti) ${ displaystyle mid}$ ${ displaystyle f (x, y)}$ ${ displaystyle mid}$ je spojitá v bodě ${ displaystyle (a, b)}$ .

Částečná diferenciace

Parciální derivace zobecňuje pojem derivace na vyšší dimenze. Parciální derivace funkce s více proměnnými je derivací s ohledem na jednu proměnnou, přičemž všechny ostatní proměnné jsou konstantní.^[1]^:26ff

Částečné derivace lze zajímavým způsobem kombinovat a vytvářet tak komplikovanější výrazy derivace. v vektorový počet, del operátor ( ${ displaystyle nabla}$ ) se používá k definování pojmů spád, divergence, a kučera z hlediska dílčích derivátů. Matice parciálních derivací, Jacobian matice, může být použita k reprezentaci derivace funkce mezi dvěma prostory libovolné dimenze. Derivát lze tedy chápat jako a lineární transformace který se přímo liší od bodu k bodu v doméně funkce.

Diferenciální rovnice obsahující parciální deriváty se nazývají parciální diferenciální rovnice nebo PDE. Tyto rovnice jsou obecně obtížněji řešitelné než obyčejné diferenciální rovnice, které obsahují deriváty pouze s jednou proměnnou.^[1]^:654ff

Vícenásobná integrace

Vícenásobný integrál rozšiřuje koncept integrálu na funkce libovolného počtu proměnných. Pro výpočet ploch a objemů oblastí v rovině a v prostoru lze použít dvojité a trojité integrály. Fubiniho věta zaručuje, že vícenásobný integrál lze vyhodnotit jako a opakovaný integrál nebo iterovaný integrál pokud je integrand nepřetržitý v celé doméně integrace.^[1]^:367ff

The povrchový integrál a linka integrální se používají k integraci přes zakřivené rozdělovače jako povrchy a křivky.

Základní věta o počtu ve více dimenzích

V kalkulu s jednou proměnnou je základní věta o počtu navazuje spojení mezi derivátem a integrálem. Vazba mezi derivátem a integrálem v mnoho proměnném počtu je ztělesněna integrálními teorémami vektorového počtu:^[1]^:543ff

V pokročilejší studii multivariabilního počtu je vidět, že tyto čtyři věty jsou specifickými inkarnacemi obecnější věty, zobecněné Stokesova věta, který se vztahuje na integraci diferenciální formy přes rozdělovače.^[2]

Aplikace a použití

Ke studiu mnoha objektů zájmu v hmotném světě se používají techniky více proměnných. Zejména,

	Typ funkcí	Použitelné techniky
Křivky	${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R} ^ {n}}$ pro ${ displaystyle n> 1}$	Délky křivek, line integrály, a zakřivení.
Povrchy	${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R} ^ {n}}$ pro ${ displaystyle n> 2}$	Oblasti povrchů, povrchové integrály, tok skrz povrchy a zakřivení.
Skalární pole	${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$	Maxima a minima, Lagrangeovy multiplikátory, směrové deriváty, sady úrovní.
Vektorová pole	${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {m} to mathbb {R} ^ {n}}$	Jakákoli z operací společnosti vektorový počet počítaje v to spád, divergence, a kučera.

K analýze lze použít kalkul s více proměnnými deterministické systémy které mají více stupně svobody. Funkce s nezávislé proměnné odpovídající každému ze stupňů volnosti se často používají k modelování těchto systémů a vícerozměrný počet poskytuje nástroje pro charakterizaci dynamika systému.

Vícerozměrný počet se používá v optimální ovládání z nepřetržitý čas dynamické systémy. Používá se v regresní analýza odvodit vzorce pro odhadování vztahů mezi různými sadami empirické údaje.

Kalkul s více proměnnými se používá v mnoha oblastech přírodní a společenské vědy a inženýrství modelovat a studovat vysokodimenzionální systémy, které vykazují deterministické chování. v ekonomika, například, spotřebitelská volba u různých druhů zboží a volba výrobce u různých vstupů k použití a výstupů k produkci jsou modelovány pomocí vícerozměrného počtu. Kvantitativní analytici v finance také často používá vícerozměrný počet k předpovědi budoucích trendů v EU akciový trh.

Nedeterministické nebo stochastický systémy lze studovat pomocí jiného druhu matematiky, jako např stochastický počet.

Viz také

Reference

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Richard Courant; Fritz John (14 prosince 1999). Úvod do kalkulu a analýzy, svazek II / 2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
^ Spivak, Michael (1965). Kalkul na rozdělovačích potrubích. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

externí odkazy

UC Berkeley video přednášky o Multivariable Calculus, podzim 2009, profesor Edward Frenkel
Video přednášky MIT na téma Multivariable Calculus, podzim 2007
Počet proměnných: Bezplatná online učebnice od George Caina a Jamese Heroda
Kalkulus s více proměnnými online: Bezplatná online učebnice od Jeffa Knisleyho
Kalkulus s více proměnnými - velmi rychlý přehled Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
Počet proměnných, Online text Dr. Jerry Shurman

[CourantJohn1999-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Richard Courant; Fritz John (14 prosince 1999). Úvod do kalkulu a analýzy, svazek II / 2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.

[2] Spivak, Michael (1965). Kalkul na rozdělovačích potrubích. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

[1]

[2]