Jaderný prostor - Nuclear space
v matematika, a jaderný prostor je topologický vektorový prostor s mnoha dobrými vlastnostmi konečných rozměrů vektorové prostory. Topologii na nich lze definovat pomocí rodiny semináře jehož jednotkové koule rychle se zmenšují. Vektorové prostory, jejichž prvky jsou v určitém smyslu „hladké“, bývají nukleárními prostory; typickým příkladem jaderného prostoru je soubor plynulé funkce na kompaktní potrubí.
Všechny konečně-dimenzionální vektorové prostory jsou jaderné (protože každý operátor v konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru je jaderný). Neexistují žádné Banachovy prostory, které jsou jaderné, s výjimkou prostorů konečných rozměrů. V praxi to často platí jakousi konverzací: pokud je „přirozeně se vyskytující“ topologický vektorový prostor ne Banachův prostor, pak je velká šance, že je jaderný.
Původní motivace: Schwartzova věta o jádře
Hodně z teorie jaderných prostorů vyvinulo Alexander Grothendieck při vyšetřování Schwartzova věta o jádře a publikováno v (Grothendieck 1955 ). Nyní tuto motivaci popisujeme.
Pro všechny otevřené podmnožiny a , kanonická mapa je izomorfismus TVS (kde má topologie jednotné konvergence na omezených podmnožinách ) a navíc jsou oba tyto prostory kanonicky TVS-izomorfní (kde od je jaderný, tento tenzorový produkt je současně injekční tenzorový produkt a projektivní tenzorový produkt ).[1] Stručně řečeno, Schwartzova věta o jádru uvádí, že:
kde všechny tyto TVS-izomorfismy jsou kanonické.
Tento výsledek je nepravdivý, pokud nahradíte mezeru s (což je reflexní prostor který je dokonce izomorfní s jeho vlastním silným duálním prostorem) a nahrazuje s duálem tohoto prostor.[2] Proč takový pěkný výsledek platí pro prostor distribucí a testovacích funkcí, ale ne pro Hilbertův prostor (který je obecně považován za jeden z „nejhezčích“ TVS)? Tato otázka vedla Grothendiecka k objevu jaderných prostorů, jaderné mapy a injekční tenzorový produkt.
Motivace z geometrie
Další sada motivačních příkladů pochází přímo z geometrie a teorie hladkého potrubí[3]příloha 2. Vzhledem k hladkému potrubí a lokálně konvexní Hausdorffův topologický vektorový prostor, pak existují následující izomorfismy jaderných prostorů
Používání standardních tenzorových produktů pro jako vektorový prostor, funkce
nelze vyjádřit jako funkci pro . To poskytuje příklad, který ukazuje, že existuje přísné zahrnutí sad
Definice
Tato část uvádí některé z běžnějších definic jaderného prostoru. Níže uvedené definice jsou ekvivalentní. Všimněte si, že někteří autoři používají přísnější definici jaderného prostoru přidáním podmínky, že prostor by měl být Fréchet. (To znamená, že prostor je kompletní a topologie je dána a počitatelný rodina seminářů.)
Následující definici použil Grothendieck k definování jaderných prostorů.[4]
Definice 0: Nechte X být lokálně konvexní topologický vektorový prostor. Pak X je jaderná, pokud pro jakýkoli lokálně konvexní prostor Y, vkládání kanonického vektorového prostoru (z projektivní tenzorový produkt do vesmírného prostoru samostatně spojitých bilineárních forem na obdařen topologie rovnoměrné konvergence na ekvikontinuální podmnožiny ) je vložení TVS, jejichž obraz je v doméně hustý.
Začneme tím, že si vybavíme nějaké pozadí. A lokálně konvexní topologický vektorový prostor PROTI má topologii, která je definována nějakou rodinou semináře. Pro jakýkoli seminář je jednotková koule uzavřená konvexní symetrická čtvrť 0 a naopak každá uzavřená konvexní symetrická čtvrť 0 je jednotková koule nějaké semináře. (U složitých vektorových prostorů by měla být podmínka „symetrická“ nahrazena „vyrovnaný ".) Pokud str je seminář o PROTI, píšeme PROTIstr pro Banachův prostor dáno vyplněním PROTI pomocí semináře str. Existuje přirozená mapa z PROTI na PROTIstr (ne nutně injekční).
Li q je další seminář, větší než str (bodově jako funkce na PROTI), pak existuje přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr tak, že první mapa faktory jako PROTI → PROTIq → PROTIstr. Tyto mapy jsou vždy spojité. Prostor PROTI je jaderná, když platí silnější podmínka, totiž že tyto mapy jsou provozovatelé jaderných zařízení. Podmínka být jaderným provozovatelem je subtilní a další podrobnosti jsou k dispozici v příslušném článku.
Definice 1: A jaderný prostor je lokálně konvexní topologický vektorový prostor takový, že pro jakýkoli seminář str můžeme najít větší seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je jaderný.
Neformálně to znamená, že kdykoli dostaneme jednotkovou kouli nějakého semináře, můžeme v ní najít „mnohem menší“ jednotkovou kouli jiného semináře, nebo že jakékoli sousedství 0 obsahuje „mnohem menší“ sousedství. U všech seminářů není nutné tuto podmínku kontrolovat str; stačí ji zkontrolovat na sadu seminářů, které generují topologii, jinými slovy, na sadu seminářů, které jsou podklad pro topologii.
Místo použití libovolných Banachových prostorů a provozovatelů jaderných elektráren můžeme uvést definici z hlediska Hilbertovy prostory a stopová třída operátory, kterým je snazší porozumět. (V Hilbertově prostoru se jaderní operátoři často nazývají operátory trasovací třídy.) Řekneme, že seminár str je Hilbertův seminář -li PROTIstr je Hilbertův prostor, nebo ekvivalentně pokud str pochází ze sesquilineární pozitivní semidefinitní formy dne PROTI.
Definice 2: A jaderný prostor je topologický vektorový prostor s topologií definovanou rodinou Hilbertových seminorm, takový, že pro jakýkoli Hilbertův seminorm str najdeme větší Hilbertovu seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je stopová třída.
Někteří autoři dávají přednost použití Operátoři Hilbert – Schmidt spíše než sledovat operátory třídy. To dělá malý rozdíl, protože jakýkoli operátor třídy trasování je Hilbert – Schmidt a produkt dvou operátorů třídy Hilbert – Schmidt je třídy trasování.
Definice 3: A jaderný prostor je topologický vektorový prostor s topologií definovanou rodinou Hilbertových seminorm, takový, že pro jakýkoli Hilbertův seminorm str najdeme větší Hilbertovu seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je Hilbert – Schmidt.
Pokud jsme ochotni použít koncept jaderného operátora z libovolného místně konvexního topologického vektorového prostoru do Banachova prostoru, můžeme uvést kratší definice takto:
Definice 4: A jaderný prostor je lokálně konvexní topologický vektorový prostor takový, že pro jakýkoli seminář str přírodní mapa z PROTI na PROTIstr je jaderný.
Definice 5: A jaderný prostor je lokálně konvexní topologický vektorový prostor takový, že jakákoli spojitá lineární mapa do Banachova prostoru je jaderná.
Grothendieck použil definici podobnou té následující:
Definice 6: A jaderný prostor je lokálně konvexní topologický vektorový prostor A takové, že pro jakýkoli lokálně konvexní topologický vektorový prostor B přirozená mapa od projektivního k injektivnímu tenzorovému součinu A a B je izomorfismus.
Ve skutečnosti to stačí zkontrolovat pouze pro Banachovy prostory B, nebo dokonce jen pro jediný Banachův prostor l1 absolutně konvergentních řad.
Charakterizace
Nechat X být lokálně konvexním prostorem Hausdorff. Pak jsou ekvivalentní následující:
- X je jaderná;
- pro jakýkoli lokálně konvexní prostor Y, vkládání kanonického vektorového prostoru je vložení TVS, jejichž obraz je v doméně hustý;
- pro všechny Banachův prostor Y, vkládání kanonického vektorového prostoru je surjektivní izomorfismus TVS;[5]
- pro jakýkoli lokálně konvexní Hausdorffův prostor Y, vkládání kanonického vektorového prostoru je surjektivní izomorfismus TVS;[5]
- kanonické vložení v je surjektivní izomorfismus TVS;[6]
- kanonická mapa je surjektivní TVS-izomorfismus.[6]
- pro jakýkoli seminář str můžeme najít větší seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je jaderný;
- pro jakýkoli seminář str můžeme najít větší seminář q takže kanonická injekce je jaderná;[5]
- topologie X je definována rodinou Hilbertových seminářů, tak, že pro jakýkoli Hilbertův seminář str najdeme větší Hilbertovu seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je stopová třída;
- X má topologii definovanou rodinou Hilbertových seminářů, taková, že pro jakýkoli Hilbertův seminář str najdeme větší Hilbertovu seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je Hilbert – Schmidt;
- pro jakýkoli seminář str přírodní mapa z PROTI na PROTIstr je jaderný.
- jakákoli spojitá lineární mapa do Banachova prostoru je jaderná;
- každý nepřetržitý seminář dne X je jednojaderný;[7]
- každý rovnocenný podmnožina je jednojaderný;[7]
- každou lineární mapu z Banachova prostoru do který přeměňuje jednotkovou kouli na souběžnou množinu, je jaderný;[5]
- dokončení X je jaderný prostor;
Li X je Fréchetový prostor pak následující jsou ekvivalentní:
- X je jaderná;
- každá sčítatelná sekvence v X je absolutně sčítatelný;[6]
- silná dvojka X je jaderná;
Dostatečné podmínky
- Lokálně konvexní Hausdorffův prostor je jaderný právě tehdy, je-li jeho dokončení jaderné.
- Každý podprostor jaderného prostoru je jaderný.[8]
- Každý Hausdorffův kvocientový prostor jaderného prostoru je jaderný.[8]
- Indukční limit spočetné sekvence jaderných prostorů je jaderný.[8]
- Lokálně konvexní přímý součet spočetné posloupnosti jaderných prostorů je jaderný.[8]
- Silným duálem jaderného prostoru Fréchet je jaderná energie.[9]
- Obecně platí, že silná dvojice jaderného prostoru nemusí být jaderná.[9]
- Fréchetský prostor, jehož silná dvojka je jaderná, je sám o sobě jaderný.[9]
- Limit rodiny jaderných prostorů je jaderný.[8]
- Produkt rodiny jaderných prostorů je jaderný.[8]
- Dokončení jaderného prostoru je jaderné (a vesmír je ve skutečnosti jaderný právě tehdy, když je jeho dokončení jaderné).
- The tenzorový produkt dvou jaderných prostorů je jaderný.
- The projektivní tenzorový produkt, stejně jako jeho dokončení, dva jaderné prostory jsou jaderné.[10]
Předpokládejme to X, Y, a N 'jsou lokálně konvexní prostor s N je jaderná.
- Li N je jaderný, pak vektorový prostor spojitých lineárních map obdařen topologií jednoduché konvergence je jaderný prostor.[9]
- Li X je semi-reflexivní prostor, jehož silná dvojka je jaderná a pokud N je jaderný, pak vektorový prostor spojitých lineárních map (obdařen topologií jednotné konvergence na ohraničených podmnožinách X) je jaderný prostor.[11]
Příklady
- Li je tedy množina mohutnosti a jsou oba jaderné prostory.[12]
- Jednoduchým nekonečným dimenzionálním příkladem jaderného prostoru je prostor všech rychle se snižujících sekvencí C=(C1, C2, ...). („Rychle klesající“ znamená to Cnstr(n) je omezen na jakýkoli polynom str.) Pro každé reálné číslo s, můžeme definovat normu || · ||s od ||C||s = sup |Cn|ns
- Pokud je dokončení v této normě Cs, pak existuje přirozená mapa z Cs na Ct kdykoli s≥t, a to je kdykoli jaderné s>t+1, v podstatě proto, že série Σnt−s je pak naprosto konvergentní. Zejména pro každou normu || · ||t můžeme najít další normu, řekněme || · ||t+2, takže mapa z Ct+2 na Ct je jaderná. Vesmír je tedy jaderný.
- Prostor plynulých funkcí na jakémkoli kompaktním potrubí je jaderný.
- The Schwartzův prostor plynulých funkcí zapnuto pro které deriváty všech řádů rychle klesají, je jaderný prostor.
- Prostor celých holomorfních funkcí na komplexní rovině je jaderný.
- The distribuční prostor , silná dvojka , je jaderná.[11]
Vlastnosti
Jaderné prostory jsou v mnoha ohledech podobné prostorům konečných rozměrů a mají mnoho svých dobrých vlastností.
- Fréchetský prostor je jaderný právě tehdy, je-li jeho silná dvojice jaderná.
- Každý omezená podmnožina jaderného prostoru je precompact (připomeňme, že sada je precompact, pokud je její uzavření v dokončení prostoru kompaktní).[13] To je analogické s Heine-Borelův teorém. Naproti tomu žádný nekonečný rozměrný normovaný prostor nemá tuto vlastnost (i když konečné trojrozměrné prostory ano).
- Li X je kvazi-kompletní (tj. všechny uzavřené a ohraničené podmnožiny jsou úplné) jaderný prostor poté X má Vlastnictví Heine-Borel.[14]
- Jaderná kvazi-kompletní sudový prostor je Prostor Montel.
- Každá uzavřená ekvikontinuální podmnožina duálu jaderného prostoru je kompaktní metrizovatelná množina (pro silnou duální topologii).
- Každý jaderný prostor je podprostorem produktu Hilbertových prostorů.
- Každý jaderný prostor připouští základ seminářů skládajících se z Hilbertových norem.
- Každý jaderný prostor je prostorem Schwartz.
- Každý jaderný prostor má vlastnost přiblížení.[15]
- Jakýkoli podprostor a jakýkoli kvocientový prostor uzavřeného podprostoru jaderného prostoru je jaderný.
- Li A je jaderná a B je jakýkoli lokálně konvexní topologický vektorový prostor, pak přirozená mapa z projektivního tenzorového součinu A a B pro injekční tenzorový produkt je izomorfismus. Zhruba to znamená, že existuje pouze jeden rozumný způsob, jak definovat tenzorový součin. Tato vlastnost charakterizuje jaderné prostory A.
- V teorii opatření na topologických vektorových prostorech základní věta říká, že jakýkoli spojitý válec nastavit míru na duálu jaderného Fréchetova prostoru se automaticky rozšíří na a Radonová míra. To je užitečné, protože je často snadné vytvořit míry válcových sad na topologických vektorových prostorech, ale ty nejsou pro většinu aplikací dost dobré, pokud se nejedná o radonové míry (například nejsou obecně ani spočetně aditivní).
Věta o jádře
Hodně z teorie jaderných prostorů vyvinulo Alexander Grothendieck při vyšetřování Schwartzova věta o jádře a publikováno v (Grothendieck 1955 ). Máme následující zobecnění věty.
Schwartzova věta o jádře:[9] Předpokládejme to X je jaderná, Y je místně konvexní a proti je spojitá bilineární forma na . Pak proti pochází z prostoru formuláře kde a jsou vhodné ekvivalentní podmnožiny a . Ekvivalentně proti je ve formě,
- pro všechny
kde a každý z nich a jsou rovnocenné. Dále lze tyto sekvence považovat za nulové sekvence (tj. Konvergující k 0) v a , resp.
Bochnerova-Minlosova věta
Kontinuální funkční C na jaderném prostoru A se nazývá a charakteristický funkční -li C(0) = 1 a pro jakýkoli komplex a , j,k = 1, ..., n,
Vzhledem k charakteristice funkční v jaderném prostoru A, Bochnerova-Minlosova věta (po Salomon Bochner a Robert Adol'fovich Minlos ) zaručuje existenci a jedinečnost odpovídajících míra pravděpodobnosti na duálním prostoru , dána
To rozšiřuje inverzní Fourierova transformace do jaderných prostor.
Zejména pokud A je jaderný prostor
kde jsou Hilbertovy prostory, věta Bochner – Minlos zaručuje existenci míry pravděpodobnosti s charakteristickou funkcí , tj. existence Gaussovy míry na dvojí prostor. Takové opatření se nazývá bílý šum opatření. Když A je Schwartzův prostor, odpovídající náhodný prvek je náhodný rozdělení.
Silně nukleární prostory
A silně jaderný prostor je lokálně konvexní topologický vektorový prostor takový, že pro jakýkoli seminář str můžeme najít větší seminář q takže přirozená mapa z PROTIq na PROTIstr je silně jaderný.
Viz také
- Fredholmské jádro
- Injekční tenzorový produkt
- Lokálně konvexní topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s topologií definovanou konvexními otevřenými množinami
- Provozovatel jaderné energie
- Projektivní tenzorový produkt
- Pevný Hilbertův prostor - Konstrukce spojující studium „vázaných“ a spojitých vlastních čísel ve funkční analýze
- Sledovací třída
- Topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s představou blízkosti
Reference
- ^ Trèves 2006, str. 531.
- ^ Trèves 2006, str. 509-510.
- ^ Costello, Kevin (2011). Renormalizace a efektivní teorie pole. Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-5288-0. OCLC 692084741.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 170.
- ^ A b C d Trèves 2006, str. 511.
- ^ A b C Schaefer & Wolff 1999, str. 184.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 178.
- ^ A b C d E F Schaefer & Wolff 1999, str. 103.
- ^ A b C d E Schaefer & Wolff 1999, str. 172.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 105.
- ^ A b Schaefer & Wolff 1999, str. 173.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 100.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 101.
- ^ Trèves 2006, str. 520.
- ^ Schaefer & Wolff 1999, str. 110.
Bibliografie
- Grothendieck, Alexandre (1955). "Produkuje tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Monografie Americké matematické společnosti. 16.
- Diestel, Joe (2008). Metrická teorie tenzorových produktů: Grothendieckův životopis se vrátil. Providence, R.I: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773.
- Dubinsky, Ed (1979). Struktura jaderných Fréchetových prostorů. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156.
- Grothendieck, Grothendieck (1966). Produkuje tensoriels topologiques et espaces nucléaires (francouzsky). Providence: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788.
- Husain, Taqdir (1978). Sudovost v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665.
- Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Nlend, H (1977). Bornologie a funkční analýza: úvodní kurz z teorie topologie duality-bornologie a její využití ve funkční analýze. Amsterdam New York New York: Hospoda North-Holland. Jediní distributoři pro USA a Kanadu, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822.
- Nlend, H (1981). Jaderné a jaderné prostory: úvodní kurzy týkající se jaderných a jaderných prostor ve světle duality. Amsterdam New York New York, NY: North-Holland Pub. Jediní distributoři pro USA a Kanadu, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061.
- Gel'fand, I. M .; Vilenkin, N. Ya. (1964). Zobecněné funkce - sv. 4: Aplikace harmonické analýzy. New York: Academic Press. OCLC 310816279.
- Takeyuki Hida a Si Si, Přednášky o funkcích bílého šumu, World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0
- T. R. Johansen, Bochner-Minlosova věta pro jaderné prostory a abstraktní prostor bílého šumu, 2003.
- G.L. Litvinov (2001) [1994], „Jaderný prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Pietsch, Albrecht (1972) [1965]. Jaderné lokálně konvexní prostory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. PAN 0350360.
- Pietsch, Albrecht (1972). Jaderné lokálně konvexní prostory. Berlín, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
- Robertson, A.P .; W. J. Robertson (1964). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge University Press. str. 141.
- Robertson, A. P. (1973). Topologické vektorové prostory. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
- Ryan, Raymond (2002). Úvod do tenzorových produktů Banachových prostorů. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wong (1979). Schwartzovy prostory, jaderné prostory a tenzorové produkty. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.