Reflexní skupina - Reflection group

v teorie skupin a geometrie, a reflexní skupina je diskrétní skupina který je generován sadou odrazy konečně-dimenzionální Euklidovský prostor. Skupina symetrie a běžný mnohostěn nebo a obklady euklidovského prostoru shodnými kopiemi pravidelného polytopu je nutně reflexní skupinou. Reflexní skupiny také zahrnují Weylovy skupiny a krystalografické Skupiny coxeterů. Zatímco ortogonální skupina je generován odrazy (pomocí Cartan – Dieudonné věta ), je to spojitá skupina (ve skutečnosti Lež skupina ), nejedná se o samostatnou skupinu a obecně se posuzuje samostatně.

Definice

Nechat E být konečně-dimenzionální Euklidovský prostor. A skupina konečné reflexe je podskupinou obecná lineární skupina z E který je generován množinou ortogonálních odrazy přes hyperplány procházející počátkem. An afinní reflexní skupina je samostatná podskupina afinní skupina z E který je generován sadou afinní odrazy z E (bez požadavku, aby odrazové hyperplány prošly počátkem).

Odpovídající pojmy lze definovat nad jinými pole, vedoucí k komplexní reflexní skupiny a analogy reflexních skupin nad a konečné pole.

Příklady

Letadlo

Ve dvou dimenzích jsou skupinami konečných odrazů dihedrální skupiny, které jsou generovány odrazem ve dvou liniích, které tvoří úhel ${ displaystyle 2 pi / n}$ a odpovídají Coxeterův diagram ${ displaystyle I_ {2} (n).}$ Naopak cyklický skupiny bodů ve dvou dimenzích jsou ne generovány odrazy a skutečně neobsahují žádné odrazy - jsou to však podskupiny indexu 2 vzepětí skupiny.

Mezi nekonečné skupiny reflexe patří vlysové skupiny ${ displaystyle * infty infty}$ a ${ displaystyle * 22 infty}$ a skupiny tapet ${ displaystyle **}$ , ${ displaystyle * 2222}$ , ${ displaystyle * 333}$ , ${ displaystyle * 442}$ a ${ displaystyle * 632}$ . Pokud je úhel mezi dvěma liniemi iracionálním násobkem pí, je skupina generovaná odrazy v těchto liniích nekonečná a nediskrétní, nejedná se tedy o reflexní skupinu.

Prostor

Skupiny konečné reflexe jsou bodové skupiny C_nv, D_nha skupiny symetrie z pěti Platonické pevné látky. Duální pravidelný mnohostěn (krychle a osmistěn, stejně jako dvanáctistěn a dvacetistěn) dávají vznik izomorfním skupinám symetrie. Klasifikace skupin konečných odrazů R³ je instancí Klasifikace ADE.

Kaleidoskopy

Reflexní skupiny mají hluboké vztahy kaleidoskopy, jak je popsáno v (Goodman 2004 ).

Vztah se skupinami Coxeter

Reflexní skupina Ž připouští a prezentace zvláštního druhu objeveného a studovaného H. S. M. Coxeter. Odrazy na tvářích pevné základní „komora“ jsou generátory r_i z Ž řádu 2. Všechny vztahy mezi nimi formálně vyplývají ze vztahů

{ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {c_ {ij}} = 1,}

vyjadřující skutečnost, že produktem odrazů r_i a r_j ve dvou hyperplanech H_i a H_j setkání pod úhlem ${ displaystyle pi / c_ {ij}}$ je otáčení o úhel ${ displaystyle 2 pi / c_ {ij}}$ upevnění podprostoru H_i ∩ H_j codimension 2. Z pohledu abstraktní skupiny je tedy každá reflexní skupina a Skupina coxeterů.

Konečná pole

Při práci nad konečnými poli definujeme „odraz“ jako mapu, která opravuje nadrovinu (jinak by například v charakteristice 2 nebyly žádné odrazy, protože ${ displaystyle -1 = 1}$ odrazy jsou identita).^{[Citace je zapotřebí ]} Geometricky to znamená zahrnutí nůžky v nadrovině. Reflexní skupiny nad konečnými poli charakteristiky ne 2 byly klasifikovány v (Zalesskiĭ & Serežkin 1981 ).

Zobecnění

Oddělený izometrické skupiny obecnější Riemannovy rozdělovače zohledněny byly také generované odrazy. Nejdůležitější třída vychází z Riemannovy symetrické prostory hodnosti 1: n-koule Sⁿ, což odpovídá konečným reflexním skupinám, euklidovský prostor Rⁿ, odpovídající afinním reflexním skupinám, a hyperbolický prostor Hⁿ, kde jsou volány odpovídající skupiny hyperbolické reflexní skupiny. Ve dvou rozměrech, trojúhelníkové skupiny zahrnují reflexní skupiny všech tří druhů.

Viz také

Reference

Standardní reference zahrnují (Humphreys 1992 ) a (Grove & Benson 1996 ).

Coxeter, H.S.M. (1934), "Diskrétní skupiny generované odrazy", Ann. matematiky., 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi:10.2307/1968753, JSTOR 1968753
Coxeter, H.S.M. (1935), „Úplný výčet konečných skupin formuláře ${ displaystyle r_ {i} ^ {2} = (r_ {i} r_ {j}) ^ {k_ {ij}} = 1}$ ", J. London Math. Soc., 10: 21–25, doi:10.1112 / jlms / s1-10.37.21
Goodman, Roe (duben 2004), „Matematika zrcadel a kaleidoskopy“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 111 (4): 281–298, CiteSeerX 10.1.1.127.6227, doi:10.2307/4145238, JSTOR 4145238
Humphreys, James E. (1992), Reflexní skupiny a skupiny Coxeter, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7
Zalesskiĭ, Aleksandr E .; Serežkin, V N (1981), „Konečné lineární skupiny generované odrazy“, Matematika. SSSR Izv., 17 (3): 477–503, Bibcode:1981IzMat..17..477Z, doi:10.1070 / IM1981v017n03ABEH001369
Kane, Richard, Reflexní skupiny a invariantní teorie (recenze) (PDF)
Hartmann, Julia; Shepler, Anne V. (2004), Jacobians of reflect groups, arXiv:matematika / 0405135, Bibcode:2004math ...... 5135H
Dolgachev, Igor V. (2006), Skupiny odrazů v algebraické geometrii, arXiv:math.AG/0610938

externí odkazy

Média související s Reflexní skupiny na Wikimedia Commons
„Reflexní skupina“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]