Hyperbolický trojúhelník - Hyperbolic triangle

Hyperbolický trojúhelník vložený do a sedlovitý povrch

v hyperbolická geometrie, a hyperbolický trojúhelník je trojúhelník v hyperbolická rovina. Skládá se ze tří úsečky volala strany nebo hrany a tři bodů volala úhly nebo vrcholy.

Stejně jako v Euklidovský případě tři body a hyperbolický prostor libovolného dimenze vždy ležet ve stejné rovině. Rovinné hyperbolické trojúhelníky proto také popisují trojúhelníky možné v jakékoli vyšší dimenzi hyperbolických prostorů.

An objednávka-7 trojúhelníkové obklady má rovnostranné trojúhelníky s radiánem 2π / 7 vnitřní úhly.

Definice

Hyperbolický trojúhelník se skládá ze tříkolineární body a tři segmenty mezi nimi.^[1]

Vlastnosti

Hyperbolické trojúhelníky mají některé vlastnosti, které jsou analogické těm z trojúhelníky v Euklidovská geometrie:

Každý hyperbolický trojúhelník má vepsaný kruh ale ne každý hyperbolický trojúhelník má a opsaná kružnice (viz. níže). Jeho vrcholy mohou ležet na a horocykl nebo hypercyklus.

Hyperbolické trojúhelníky mají některé vlastnosti, které jsou analogické s vlastnostmi trojúhelníků v sférický nebo eliptická geometrie:

Dva trojúhelníky se stejným součtovým úhlem mají stejnou plochu.
Existuje horní mez pro oblast trojúhelníků.
Existuje horní mez pro poloměr vepsaný kruh.
Dva trojúhelníky jsou shodné, právě když odpovídají konečnému součinu odrazů čar.
Dva trojúhelníky se stejnými úhly jsou shodné (tj. Všechny podobné trojúhelníky jsou shodné).

Hyperbolické trojúhelníky mají některé vlastnosti, které jsou opakem vlastností trojúhelníků ve sférické nebo eliptické geometrii:

Součet úhlů trojúhelníku je menší než 180 °.
Plocha trojúhelníku je úměrná deficitu jeho úhlového součtu od 180 °.

Hyperbolické trojúhelníky mají také některé vlastnosti, které se v jiných geometriích nenacházejí:

Některé hyperbolické trojúhelníky nemají žádné opsaná kružnice, to je případ, kdy alespoň jeden z jeho vrcholů je ideální bod nebo když všechny jeho vrcholy leží na a horocykl nebo jednostranně hypercyklus.
Hyperbolické trojúhelníky jsou tenké, je maximální vzdálenost δ od bodu na hraně k jedné z dalších dvou hran. Tento princip dal vzniknout δ-hyperbolický prostor.

Trojúhelníky s ideálními vrcholy

Tři ideální trojúhelníky v Poincaré model disku

Definici trojúhelníku lze zobecnit, což umožňuje vrcholy na ideální hranice roviny při zachování stran v rovině. Pokud je dvojice stran omezující paralelně (tj. vzdálenost mezi nimi se blíží nule, protože mají sklon k ideální bod, ale neprotínají se), pak končí u ideální vrchol reprezentován jako bod omega.

O takové dvojici stran lze také říci, že tvoří úhel nula.

V trojúhelníku s nulovým úhlem je nemožné Euklidovská geometrie pro rovný strany leží na odlišných liniích. Takové nulové úhly jsou však možné s tečné kruhy.

Trojúhelník s jedním ideálním vrcholem se nazývá omega trojúhelník.

Speciální trojúhelníky s ideálními vrcholy jsou:

Trojúhelník paralelismu

Trojúhelník, kde jeden vrchol je ideálním bodem, jeden úhel je pravý: třetí úhel je úhel rovnoběžnosti pro délku strany mezi pravým a třetím úhlem.

Schweikartův trojúhelník

Trojúhelník, kde dva vrcholy jsou ideální body a zbývající úhel je že jo, jeden z prvních hyperbolických trojúhelníků (1818), který popsal Ferdinand Karl Schweikart.

Ideální trojúhelník

Trojúhelník, kde jsou všechny vrcholy ideální body, je ideální trojúhelník největší možný trojúhelník v hyperbolické geometrii kvůli nulovému součtu úhlů.

Standardizované Gaussovo zakřivení

Vztahy mezi úhly a stranami jsou obdobné jako u sférická trigonometrie; měřítko délky pro sférickou geometrii i hyperbolickou geometrii lze například definovat jako délku strany rovnostranného trojúhelníku s pevnými úhly.

Stupnice délky je nejvhodnější, pokud jsou délky měřeny pomocí absolutní délka (speciální jednotka délky analogická se vztahy mezi vzdálenostmi v sférická geometrie ). Tato volba pro tuto délkovou stupnici zjednodušuje vzorce.^[2]

Z hlediska Poincarého polorovinový model absolutní délka odpovídá nekonečně malá metrika ${ displaystyle ds = { frac {| dz |} { operatorname {Im} (z)}}}$ a v Poincaré model disku na ${ displaystyle ds = { frac {2 | dz |} {1- | z | ^ {2}}}}$ .

Z hlediska (konstantní a negativní) Gaussovo zakřivení $K.$ hyperbolické roviny odpovídá jednotka absolutní délky délce

{ displaystyle R = { frac {1} { sqrt {-K}}}}

.

V hyperbolickém trojúhelníku součet úhlů A, B, C (respektive naproti straně s odpovídajícím písmenem) je přísně menší než a rovný úhel. Rozdíl mezi mírou přímého úhlu a součtem měr úhlů trojúhelníku se nazývá přeběhnout trojúhelníku. The plocha hyperbolického trojúhelníku se rovná jeho vadě vynásobené náměstí z $R$ :

{ displaystyle ( pi -A-B-C) R ^ {2} {} {} !}

.

Tato věta, poprvé prokázána Johann Heinrich Lambert,^[3] je spojen s Girardova věta ve sférické geometrii.

Trigonometrie

Ve všech vzorcích uvedených pod stranami $A$ , $b$ , a $C$ musí být změřeno v absolutní délka, jednotka, takže Gaussovo zakřivení $K.$ roviny je -1. Jinými slovy, množství $R$ ve výše uvedeném odstavci se má rovnat 1.

Trigonometrické vzorce pro hyperbolické trojúhelníky závisí na hyperbolické funkce sinh, cosh a tanh.

Trigonometrie pravoúhlých trojúhelníků

Li C je pravý úhel pak:

The sinus úhlu A je hyperbolický sinus strany naproti úhlu děleno hyperbolický sinus z přepona.

{ displaystyle sin A = { frac { textrm {sinh (naproti)}} { textrm {sinh (hypotenuse)}}} = { frac { sinh a} {, sinh c ,}} . ,}

The kosinus úhlu A je hyperbolická tečna sousední nohy děleno hyperbolická tečna přepony.

{ displaystyle cos A = { frac { textrm {tanh (sousedící)}} { textrm {tanh (hypotenuse)}}} = { frac { tanh b} {, tanh c ,}} . ,}

The tečna úhlu A je hyperbolická tečna opačné nohy děleno hyperbolický sinus sousední nohy.

{ displaystyle tan A = { frac { textrm {tanh (naproti)}} { textrm {sinh (sousedící)}}} = { frac { tanh a} {, sinh b ,}} }

.

The hyperbolický kosinus sousední nohy k úhlu A je kosinus úhlu B děleno sinus úhlu A.

{ displaystyle { textrm {cosh (sousedící)}} = { frac { cos B} { sin A}}}

.

The hyperbolický kosinus přepony je produktem hyperbolické kosiny nohou.

{ displaystyle { textrm {cosh (přepona)}} = { textrm {cosh (sousední)}} { textrm {cosh (naproti)}}}

.

The hyperbolický kosinus přepony je také produktem kosiny úhlů děleno součinem jejich sines.^[4]

{ displaystyle { textrm {cosh (přepona)}} = { frac { cos A cos B} { sin A sin B}} = cot A cot B}

Vztahy mezi úhly

Máme také následující rovnice:^[5]

{ displaystyle cos A = cosh a sin B}

{ displaystyle sin A = { frac { cos B} { cosh b}}}

{ displaystyle tan A = { frac { postýlka B} { cosh c}}}

{ displaystyle cos B = cosh b sin A}

{ displaystyle cosh c = dětská postýlka A dětská postýlka B}

Plocha

Oblast pravoúhlého trojúhelníku je:

{ displaystyle { textrm {Area}} = { frac { pi} {2}} - úhel A- úhel B}

taky

{ displaystyle { textrm {Area}} = 2 arctan ( tanh ({ frac {a} {2}}) tanh ({ frac {b} {2}}))}}

^{[Citace je zapotřebí ]}^[6]

Úhel paralelismu

Příklad instance omega trojúhelník s pravým úhlem poskytuje konfiguraci pro zkoumání úhel rovnoběžnosti v trojúhelníku.

V tomto případě úhel B = 0, a = c = ${ displaystyle infty}$ a ${ displaystyle { textrm {tanh}} ( infty) = 1}$ , což má za následek ${ displaystyle cos A = { textrm {tanh (sousední)}}}$ .

Rovnostranný trojúhelník

Trigonometrické vzorce pravoúhlých trojúhelníků také dávají vztahy mezi stranami s a úhly A z rovnostranný trojúhelník (trojúhelník, kde všechny strany mají stejnou délku a všechny úhly jsou stejné).

Vztahy jsou:

{ displaystyle cos A = { frac {{ textrm {tanh}} { frac {1} {2}} s} {{ textrm {tanh}} (s)}}}

{ displaystyle cosh { frac {1} {2}} s = { frac { cos ({ frac {1} {2}} A)} { sin (A)}} = { frac { 1} {2 sin ({ frac {1} {2}} A)}}}

Obecná trigonometrie

Zda C je pravý úhel nebo ne, platí následující vztahy: hyperbolický zákon kosinů je následující:

{ displaystyle cosh c = cosh a cosh b- sinh a sinh b cos C,}

Své duální věta je

{ displaystyle cos C = - cos A cos B + sin A sin B cosh c,}

Je tam také sinusový zákon:

{ displaystyle { frac { sin A} { sinh a}} = { frac { sin B} { sinh b}} = { frac { sin C} { sinh c}},}

a čtyřdílný vzorec:

{ displaystyle cos C cosh a = sinh a coth b- sin C cot B}

který je odvozen stejným způsobem jako analogický vzorec ve sférické trigonometrii.

Viz také

Pro hyperbolickou trigonometrii:

Reference

^ Stothers, Wilson (2000), Hyperbolická geometrie, University of Glasgow, interaktivní výukový web
^ Needham, Tristan (1998). Vizuální komplexní analýza. Oxford University Press. str. 270. ISBN 9780198534464.
^ Ratcliffe, John (2006). Základy hyperbolických potrubí. Postgraduální texty z matematiky. 149. Springer. str. 99. ISBN 9780387331973. To, že oblast hyperbolického trojúhelníku je úměrná jeho úhlové vadě, se poprvé objevilo v Lambertově monografii Theorie der Parallellinien, který byl vydán posmrtně v roce 1786.
^ Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.433. ISBN 0-387-90694-0.
^ Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometrie. Moskva 1982: Mir Publishers. str. 63.CS1 maint: umístění (odkaz)
^ "Oblast pravoúhlého hyperbolického trojúhelníku jako funkce délek stran". Stack Exchange Matematika. Citováno 11. října 2015.

Další čtení

Svetlana Katok (1992) Fuchsijské skupiny, University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5

[1] Stothers, Wilson (2000), Hyperbolická geometrie, University of Glasgow, interaktivní výukový web

[2] Needham, Tristan (1998). Vizuální komplexní analýza. Oxford University Press. str. 270. ISBN 9780198534464.

[3] Ratcliffe, John (2006). Základy hyperbolických potrubí. Postgraduální texty z matematiky. 149. Springer. str. 99. ISBN 9780387331973. To, že oblast hyperbolického trojúhelníku je úměrná jeho úhlové vadě, se poprvé objevilo v Lambertově monografii Theorie der Parallellinien, který byl vydán posmrtně v roce 1786.

[4] Martin, George E. (1998). Základy geometrie a neeuklidovské roviny (Opraveno 4. tisk. Vyd.). New York, NY: Springer. str.433. ISBN 0-387-90694-0.

[5] Smogorzhevski, A.S. Lobachevskian geometrie. Moskva 1982: Mir Publishers. str. 63.CS1 maint: umístění (odkaz)

[6] "Oblast pravoúhlého hyperbolického trojúhelníku jako funkce délek stran". Stack Exchange Matematika. Citováno 11. října 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]