Arbelos - Arbelos


v geometrie, an arbelos je rovinná oblast ohraničená třemi půlkruhy se třemi vrcholy tak, že každý roh každého půlkruhu je sdílen s jedním z ostatních (spojených), všechny na stejné straně přímka (dále jen základní linie), který obsahuje jejich průměry.[1]
Nejdříve známý odkaz na toto číslo je v Kniha lemmatů, kde jsou některé jeho matematické vlastnosti uvedeny jako Propozice 4 až 8.[2]Slovo arbelos je řecké pro „obuvnický nůž“.
Vlastnosti
Dva z půlkruhů jsou nutně konkávní s libovolnými průměry A a b; třetí půlkruh je konvexní, s průměrem A+b.[1]

Plocha
The plocha arbelos se rovná ploše kruhu s průměrem .
Důkaz: Pro důkaz odražte arbely přes čáru skrz body a , a pozorujte, že dvojnásobná plocha arbelos je to, co zůstane, když oblasti dvou menších kruhů (s průměry ) jsou odečteny od oblasti velkého kruhu (s průměrem ). Protože plocha kruhu je úměrná druhé mocnině průměru (Euklid je Elementy, Kniha XII, Proposition 2; nepotřebujeme vědět, že konstanta proporcionality je ), problém se redukuje na to, že to ukazuje . Délka se rovná součtu délek a , takže tato rovnice algebraicky zjednodušuje tvrzení, že . Tedy tvrzení je, že délka segmentu je geometrický průměr délky segmentů a . Nyní (viz obrázek) trojúhelník , který je zapsán do půlkruhu, má v bodě pravý úhel (Euclid, Book III, Proposition 31), a následně je skutečně „průměrný poměrný“ mezi a (Euclid, Book VI, Proposition 8, Porism). Tento důkaz se blíží starořeckému argumentu; Harold P. Boas cituje článek z Roger B. Nelsen[3] kteří tuto myšlenku implementovali následujícím způsobem důkaz beze slov.[4]

Obdélník
Nechat a být body, kde jsou segmenty a protínají půlkruhy a , resp. The čtyřúhelník je ve skutečnosti obdélník.
- Důkaz: Úhly , , a jsou pravé úhly, protože jsou vepsány do půlkruhů (o Thalesova věta ). Čtyřúhelník proto má tři pravé úhly, takže se jedná o obdélník. Q.E.D.
Tečny
Linie je tečna k půlkruhu na a půlkruh na .
- Důkaz: Protože úhel BDA je pravý úhel, úhel DBA se rovná π / 2 minus úhel DAB. Úhel DAH se však také rovná π / 2 minus úhel DAB (protože úhel HAB je pravý úhel). Proto trojúhelníky DBA a DAH jsou podobný. Úhel DIA se tedy rovná úhlu DOH, kde I je střed BA a O je střed AH. Ale AOH je přímka, takže úhel DOH a DOA jsou doplňkové úhly. Součet úhlů DIA a DOA je tedy π. Úhel IAO je pravý úhel. Součet úhlů v libovolném čtyřúhelníku je 2π, takže v čtyřúhelníku IDOA musí být úhel IDO pravý úhel. Ale ADHE je obdélník, takže střed O AH (úhlopříčka obdélníku) je také středem DE (druhá úhlopříčka obdélníku). Protože já (definovaný jako střed BA) je střed půlkruhu BA a úhel IDE je pravý úhel, pak je DE tečna k půlkruhu BA v D. Analogickým uvažováním DE je tečna k půlkruhu AC v E. Q.E.D.
Archimédovy kruhy
Nadmořská výška rozděluje arbelos do dvou oblastí, z nichž každá je ohraničena půlkruhem, přímým segmentem a obloukem vnějšího půlkruhu. Kruhy napsaný v každé z těchto oblastí známých jako Archimédovy kruhy arbelos, mají stejnou velikost.
Variace a zevšeobecnění

The parbelos je postava podobná arbelos, která používá parabola segmenty místo půlkruhů. Zobecnění zahrnující jak arbelos, tak parbelos je F-blos. který používá určitý typ podobných diferencovatelných funkcí.[5]
Etymologie

Název arbelos pochází z řecký ἡ ἄρβηλος on árbēlos nebo ἄρβυλος árbylos, což znamená „obuvnický nůž“, nůž používaný ševci od starověku po současnost, jejíž čepel se podobá geometrickému obrazci.
Viz také
- Archimédovy čtyřčata
- Bankoffův kruh
- Ideální trojúhelník
- Schochovy kruhy
- Schochova linie
- Woo kruhy
- Řetěz Pappus
- Salinon
Reference
- ^ A b Weisstein, Eric W. "Arbelos". MathWorld.
- ^ Thomas Little Heath (1897), Díla Archimeda. Cambridge University Press. Návrh 4 v Kniha lemmatů. Citát: Pokud AB je průměr půlkruhu a N jakýkoli bod na AB, a pokud jsou půlkruhy popsány v prvním půlkruhu a mají AN, BN jako průměry, pak je údaj zahrnutý mezi obvody tří půlkruhů „to, co Archimedes nazýval arbelos“ ; a jeho plocha se rovná kružnici na PN jako průměru, kde PN je kolmá na AB a odpovídá původnímu půlkruhu v P. („Arbelos - Obuvnický nůž“ )
- ^ Nelsen, R B (2002). "Důkaz beze slov: Oblast arbelos". Matematika. Mag. 75 (2): 144. doi:10.2307/3219152.
- ^ Boas, Harold P. (2006). "Úvahy o Arbelos". Americký matematický měsíčník. 113 (3): 236–249. doi:10.2307/27641891. JSTOR 27641891.
- ^ Antonio M. Oller-Marcen: „The f-belos“. V: Fórum Geometricorum, Svazek 13 (2013), s. 103–111.
Bibliografie
- Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: Elementární pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu (dotisk edice z roku 1929 Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. str. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Ogilvy, C. S. (1990). Exkurze v geometrii. Doveru. str.51–54. ISBN 0-486-26530-7.
- Sondow, J. (2012). "Parbelos, parabolický analog arbelos". arXiv:1210.2279 [matematika ]. Americký matematický měsíčník, 120 (2013), 929-935.
- Wells, D. (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.5–6. ISBN 0-14-011813-6.