Střídavý uzel - Alternating knot

Jeden ze tří nestřídavých uzlů s číslo křížení 8

v teorie uzlů, a uzel nebo odkaz diagram je střídavý pokud se přechody střídají pod, nad, pod, nad, jak jeden cestuje podél každé součásti odkazu. Odkaz je střídavý pokud má střídavý diagram.

Mnoho uzlů s číslo křížení méně než 10 se střídá. Tato skutečnost a užitečné vlastnosti střídavých uzlů, jako je Tait dohady, bylo to, co umožnilo časným uzlovým tabulátorům, jako je Tait, vytvářet tabulky s relativně malým počtem chyb nebo opomenutí. Nejjednodušší bez střídání primární uzly mít 8 přechodů (a existují tři takové: 819, 820, 821).

Předpokládá se, že s rostoucím počtem křížení klesá procento uzlů, které se střídají, exponenciálně rychle na 0.

Střídavé odkazy nakonec hrají důležitou roli v teorii uzlů a 3-potrubí teorie, kvůli jejich doplňuje mající užitečné a zajímavé geometrické a topologické vlastnosti. To vedlo Ralph Fox zeptat se: „Co je to střídavý uzel?“ Tím se ptal, jaké nestematmatické vlastnosti uzlového doplňku budou charakterizovat střídavé uzly.[1]

V listopadu 2015 publikoval Joshua Evan Greene předtisk, který stanovil charakterizaci střídavých odkazů, pokud jde o určité rozpětí povrchů, tj. Definici střídavých odkazů (z nichž alternativní uzly jsou zvláštním případem) bez použití konceptu schéma propojení.[2]

Různé geometrické a topologické informace jsou odhaleny ve střídavém diagramu. Prvotnost a rozdělitelnost odkazu je snadno vidět z diagramu. Křížové číslo a snížena, střídavý diagram je číslo křížení uzlu. Tento poslední je jedním z oslavovaných Taitových domněnek.

Střídavý uzlový diagram je v osobní korespondenci s a rovinný graf. Každé křížení je spojeno s hranou a polovina spojených komponent doplňku diagramu je spojena s vrcholy způsobem šachovnicové desky.

Trefle.jpg

Frise.jpg

Tait dohady

Hlavní článek: Tait dohady

Tait dohady jsou:

  1. Jakékoli zmenšené schéma střídavého spoje má co nejmenší počet přechodů.
  2. Jakékoli dva redukované diagramy stejného střídavého uzlu mají stejné svíjet se.
  3. Vzhledem ke dvěma redukovaným střídavým diagramům D1 a D.2 orientovaného primárního střídavého spoje: D1 mohou být transformovány na D.2 pomocí posloupnosti určitých jednoduchých tahů flypy. Také známý jako Taitův letmý dohad.[3]

Morwen Thistlethwaite, Louis Kauffman a K. Murasugi prokázal první dva dohady Tait v roce 1987 a Morwen Thistlethwaite a William Menasco prokázal Taitův letmý dohad v roce 1991.

Hyperbolický objem

Menasco, přihlašování Thurston je věta o hyperbolizaci pro Haken potrubí, ukázal, že jakýkoli primární nerozdělený alternativní odkaz je hyperbolický, tj. komplement odkazu má a hyperbolická geometrie, pokud odkaz není a torusový odkaz.

Hyperbolický objem je tedy invariantem mnoha střídavých odkazů. Marc Lackenby ukázal, že svazek má horní a dolní lineární meze jako funkce počtu zkroucené regiony redukovaného střídavého diagramu.

Reference

  1. ^ Lickorish, W. B. Raymond (1997), „Geometry of alternating links“, Úvod do teorie uzlů, Postgraduální texty z matematiky, 175, Springer-Verlag, New York, s. 32–40, doi:10.1007/978-1-4612-0691-0_4, ISBN  0-387-98254-X, PAN  1472978; viz zejména str. 32
  2. ^ Greene, Joshuo. Msgstr "Střídavé odkazy a určité plochy". arXiv:1511.06329.
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Tait's Knot Conjectures“. MathWorld. Přístup: 5. května 2013.

Další čtení

  • Kauffman, Louis H. (1987). Na uzlech. Annals of Mathematics Studies. 115. Princeton University Press. ISBN  0-691-08435-1. Zbl  0627.57002.
  • C. Adams, Kniha uzlů: Základní úvod do matematické teorie uzlů. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. xiv + 307 pp. ISBN  0-8218-3678-1
  • William Menasco, Uzavřené nestlačitelné povrchy ve střídajících se uzlech a článcích. Topology 23 (1984), č. 1 1, 37–44.
  • Marc Lackenby, Objem hyperbolického střídavého odkazu se doplňuje. S dodatkem od Iana Agola a Dylana Thurstona. Proc. London Math. Soc. (3) 88 (2004), č. 1, 204–224.

externí odkazy